导数题中的一类证明题

程立清　侯长慧

摘要：函数与导数部分对学生能力考察的载体：恒成立问题（或证明不等式或函数的零点）；函数与导数试题是历年高考的压轴题，是增加考生之间数学成绩区分度的重要载体，函数与导数试题中往往是条件在给定一个函数的基础上在问题的第二问通过等式或不等式来研究新的函数性质，在研究函数性质的基础上把握函数的结构特征能够取到简化解题过程得到结果的目的。把握函数的结构特征体现了对函数解析式的研究，体现了化简变形过程中从整体到局部的研究，体现了化简变形的方向性，体现了从解析式到函数性质的研究与把握.构造好函数、特殊自变量对应的函数值等都是对函数结构特征的本质研究.

关键词：导数；一类；证明题

在高考压轴题21题的整理过程中，有一类证明题结论中与x1，x2有关，现将它们总结如下：

一、 能放入同一单调区间内的变量

2016新课标Ⅰ.21

已知f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点。

（1） 求a的范围；

（2） 设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2<2。

分析（2），由（1）知x1<1，x2>1，∴2-x2<1。

要证x1+x2<2，即证x1<2-x2，也就是f（x1）>f（2-x2）。

而f（x1）=0，即证f（2-x2）<0。

f（2-x2）=-x2e2-x2-（x2-2）ex2。而f（x2）=0用x2表示出a。

在此方法中，通过变形将x1及2-x2放入同一单调区间内。

练1：已知f（x）=ax2+bx-c-lnx（x>0）在x=1处取得极值，若a>0且f（x）有两个不等零点x1，x2，

证明：x1+x2>2。

二、 构造函数法

1. 已知g（x）=ex-ax2-ax恰有两个不同极值点x1，x2（x1>x2）。

求证：x1+x22

分析：g′（x）=ex-2ax-a，

g′（x1）=0g′（x2）=0，∴2a=ex1-ex2x1-x2，

要证x1+x22

同除以ex2，即ex1-x22

令x1-x2=t>0，即证et2

2. 已知g（x）=x-1-lnx-k（x-1）有两个零点x1，x2（x1>x2），求证：g′x1+x22>0。

分析：g（x1）=0g（x2）=0，k=x1-x2-lnx1x2x1-x2，

g′x1+x22=1-2x1+x2-k=1x1-x2-2x1x2-1x1x2+1+lnx1x2，

令x1x2=t>1，令f（t）=-2（t-1）t+1+lnt，即證f（t）>0。

函数与导数试题核心是对函数性质的研究，但前提是提供一个什么样的函数，在解题过程中如何构造一个好函数进行研究，构造好函数的基本要求：（1）分式函数向整式函数转化；（2）常用对数函数系数为x或1的转化；（3）解决恒成立问题分离参数法中构造不含参数的函数。一般地，当函数类型与指数函数有关时，构造以x1-x2为元的函数，当函数类型与对数函数有关时，构造以x1x2为元的函数。

练2：已知f（x）=ex，x∈R。

（1） 证明：y=f（x）与y=12x2+x+1有唯一公共点；

（2） 设a

练3：已知f（x）=lnxx图像为曲线C，g（x）=12ax+b图像为直线l。

（1） 当a=2，b=-3时，求F（x）=f（x）-g（x）的最大值；

（2） 设l与C交点横坐标为x1，x2，且x1≠x2，求证：（x1+x2）·g（x1+x2）>2。

三、 数形结合法

已知f（x）=（x2-x）ex。

（1） 求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；

（2） 若f（x）-ax+e≥0恒成立，求a的范围；

（3） 若f（x）=m（m∈R）有两个正实根x1，x2，求证：x1-x2

分析：（1）y=-x；

（2） 0≤a≤e；

（3） 这道题用法一、法二都很难完成，所以要想到数形结合。结合（1）（2），当x>0时，f（x）>-x，且f（x）≥ex-e，所以x1，x2位于f（x）与直线y=-x，y=ex-e与y=m交点的两侧，所以x1-x2

练4：f（x）=lnx-x2+ax（a∈R，x∈（0，e]）。

当a≥1时，x1，x2∈（0，1），（x1

α=mx1+（1-m）x2，β=（1-m）x1+mx2，且α>0，β>0，

若f（α）-f（β）

对于导数大题的处理，是对学生能力的考查，平时备考的过程中尽量一题多解，从函数法、分离法、数形结合法等不同角度剖析题目，让学生加深对内容和解题方法的理解。函数与导数中学科思想汇总：1. 定义域思想；2. 分类讨论思想；3. 特殊自变量对应的函数值或导函数值思想；4. 构造一个好函数的思想；5. 把握函数结构特征的思想；6. 洛必达法则思想。

作者简介：程立清，中学特级教师，山西省临汾市，山西省临汾市翼城中学；

侯长慧，中学一级教师，山西省临汾市，山西省临汾市翼城中学。