例谈“整合教材”进行高三数学一轮复习

范友玉

回归教材，宏观感悟——积定才有和的最小值

人教版教材必修5第98页讲到：“√（ab ）≤（a+b）/2（a>0，b>0）（*）是一个基本不等式，它在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具。”随后第99页有两个例题，此处选择例1再做分析：（1）用篱笆围一个面积为100m^2的矩形菜園，问这个矩形菜园的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个菜园的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？（选修4-5第6页例3类似）

教师：面积不确定的矩形，能求出其周长吗？能得到其周长的最小值吗？其中面积不确定不是面积可测量而没测量，而是面积不能通过测量得到，是一个变化的值。

学生甲：面积不确定的矩形，不可能确定其周长，更不可能得到其最小值。（众生认同）

教师：结论完全正确，理由呢？

学生乙：设矩形两邻边分别为a、b，则基本不等式（a+b）/2≥√（ab ）（a>0，b>0）（*）可形象的理解为：矩形周长/4≥√矩形面积，显然面积不确定的矩形，不可能得到其最小值。由此可知，对基本不等式（*），若没有ab为定值就不会有a+b的最小值。

实践操作—限制条件的深入理解，保过三关

1.调整符号，化负为正，使之适合“一正”条件，保过第一关

例1，教材101页第一题求最大面积及相应小x的值，由题意列出函数解析式并化简得到面积S=-6x-432/x+108 （0

学生甲： S=-6x-432/x+108

=-（6x+432/x）+108

≤-2√（6x?432/x）+108

=108-36√2

当且仅当6x=432/x即x=6√2时取等号，即当x=6√2时面积有最大值108-36√2。

教师点评：此处自然过渡，本来x>0，显然-6x与-432/x乘积为定值，但都是负数，要想利用基本不等式提出负号自然过渡为正，但要注意不等号的方向。

2.拆添配凑、变动为定，使之适合“二定”条件，保过第二关

例2，求函数y=x+4/（x-1）+1（x>1）的最小值。

学生乙：y=x+4/（x-1）+1≥2√（x?4/（x-1））+1，当且仅当 x=4/（x-1）即x=（1+√17）/2时函数有最小值1+√17。

学生丙：y=x+4/（x-1）+1= x+1+4/（x-1）≥2√（（x+1）?4/（x-1）），当且仅当 x+1=4/（x-1）即x=√5时函数有最小值6+2√5

学生丁：y=x+4/（x-1）+1= x-1+4/（x-1）+2≥2√（（x-1）?4/（x-1））+2=6，当且仅当 x-1=4/（x-1）即x=3时函数有最小值6。

教师点评：你们的解答无外乎这几种，看起来方法似乎差不多，可结果不一样！到底谁的解法正确呢？原因何在？请看下这组变形式y=x+4/（x-1）+1= x+1+4/（x-1）= x-1+4/（x-1）+2= x+2+4/（x-1）-1=…，有问题吗？

学生：没有问题，解析式类似的变形举不胜举。

教师：那你们清楚问题在哪了吗？

学生：乘积为定值的变形只有一种，最小值唯一，学生丁的解答完全正确。和或积若不为定值，我们要拆添配凑，保证定值方可验证等号是否可以取得。

3.化归转化，寻求相等，保过第三关

例3，已知x>0，求y=（x+1）?（2+1/x）的最小值。

学生A： y=（x+1）?（2+1/x）≥2√x?2√（2/x）=4√2，∴函数的最小值为4√2。

学生B：y=（x+1）?（2+1/x）=2 x+1/x+3≥2√2+3， ∴函数的最小值为2√2+3。

学生C点评：两种做法看似都对，但忽略了等号是否成立，学生A的解答若要取得最小值，当且仅当x=1且2= 1/x 成立，显然此时x无解，所以4√2无法取到，学生B的解答正确，但必须要考虑等号何时取得。

4.“三关”难过，前进受阻，应另寻出路

例4，已知a、b∈R^+， 1/a+1/b=1，求y=a+b的最小值。

解1：由1/a+1/b=1得b=a/（a-1 ） ，则y=a+b=a+a/（a-1 ）=a+1+1/（a-1 ） ，以下解答同例2。

解2：由1/a+1/b=1得a+b=ab≤〖（（a+b）/2）〗^2 ，又因为a、b∈R^+，解a+b≤〖（a+b）〗^2/4得a+b≥4，当且仅当a=b且 1/a+1/b=1即a=b=2时，取得最小值4。

另解：由1/a+1/b=1得a+b=ab，又因为a、b∈R^+，ab=a+b≥2√ab，所以√ab≥2，则a+b≥4，当且仅当a=b且 1/a+1/b=1即a=b=2时，取得最小值4。

解3：y=a+b=（a+b）（1/a+1/b）=2+b/a+a/b≥2+2=4，当且仅当b/a=a/b 且 1/a+1/b=1，即a=b=2时，取得最小值4。

学生：这个题的解答中，ab与a+b都不是定值，却也利用基本不等式求得最值，是否与前面讲的三关有矛盾呢？

老师点评：其实从本质上讲，对于一个不等式问题，可以随意利用任何一个成立的不等式，连着用多次也没关系，但要保证不等号的方向一致，且到最后一定能放缩到一个定值，并且等号成立的条件一致，就可以取得最值。

三、结束语

本文研究的问题其实是历届学生学习过程中共有的困惑，对于学生提出的质疑，难住了不少老师。本文笔者已基本解决了基本不等式（*）应用过程中的所有困惑，实施过程中效果良好。当然还需继续实践，继续改进。