基于Matlab的SAW模态耦合模型的仿真研究

李志鹏， 马龙祥，孟 旭，史松卓

(东北林业大学 交通学院， 哈尔滨 150040)

随着谐振型的声表面波(SAW)技术的日益成熟，因其具有小型、高可靠性、多功能及高频特性等优点，SAW传感器成为传感器中重要的分支之一[1]。早期的SAW传感器由于延迟线的结构比较简单，设计时侧重考虑基片的材料、切向选择对传感器的稳定性及灵敏度的影响，所以大都采用延迟线型SAW传感器[2]。近年来，由于性能上的优势，SAW谐振器越来越引起研究人员的重视。因其结构的复杂性以及原理上的不同，SAW谐振器设计比延迟线要复杂得多，所以制作实物前的仿真是不可避免的[3]。最初，人们采用δ函数模型、脉冲响应模型对传感器的频率响应进行粗略的预计，但是这些模型不能把叉指换能器(IDT)内反射、端口阻抗的影响也包含进去[4]。20世纪后期，人们广泛应用LCR等效电路模型进行深入研究。虽然LCR等效电路模型对带内的频率响应仿真比较准确，但是对带外的频率响应仿真相对较差。根据模态耦合仿真模型假设条件少、相对精度高、自身具有透明性等特点，本文提出了谐振型SAW传感器的初值条件、边界条件，采用模态耦合模型对谐振型SAW传感器进行理论分析和模型建立，仿真、实验结果表明：利用模态耦合模型对谐振型SAW传感器进行分析是可行的。

从设计和仿真工具的角度来讲，由于 Pspice软件不能仿真复阻抗，还需采用Foster理论再进行一次电路等效，建模的复杂度明显增加[5]。采用Matlab对传感器进行建模，具有自由度高、可操作性强、简单、快捷等特点，所以本文采用Matlab对SAW传感器的频率响应进行分析。

1 模态耦合模型原理

模态耦合模型是对波在周期性介质中传播研究的一个分支，最早是由Suzuki等[6]提出。20世纪90年代末，Abbott等[7]提出了基于钽酸锂晶体的声表面波模态耦合模型的理论参数。模态耦合模型是将整个声表面波器件分为3个不同的矩阵，包括3×3的IDT传输矩阵、2×2分别反射栅声波传输矩阵以及IDT与反射栅极之间的传输线传输矩阵。

1.1 IDT传输矩阵

一个3×3的传输矩阵与每一个叉指换能器(IDT)电极的声电参数相关，传输矩阵[T]可用式(1)来表示。

(1)

图1 IDT的电端与声端的示意图

式(1)中的IDT矩阵如式(2)所示

(2)

式中s为对称参数，在IDT中根据电极对数为奇数还是偶数确定：为奇数时设s=1，偶数时s=-1。将式(2)分解成声端和电端两个子矩阵，可以分别表示为：

[Wi-1]=[ti][Wi]+ai[τi]

(3)

(4)

式中：ai为第i个参考平面的输入电信号；[ti]为声波子矩阵，它的组成如下：

(5)

式中τi为电信号子矩阵，具体形式为:

(6)

从IDT的分散矩阵可得得式(2)中的详细组成[5-2]:

(7)

假设电极反射效应可以忽略，辐射电导Ga和辐射电纳Ba可以分别表示为:

(8)

(9)

式中G0=8K2CSf0是机电耦合系数，为辐射电纳。将这些值代入式(9)中运算，就可以求出IDT的频率响应图形。由传输矩阵方法可以很容易求出声表面波器件的频率响应[8]。

1.2 反射栅传输矩阵

(10)

(11)

(12)

1.3 传输线矩阵

设计声表面波谐振器时，需要一个2×2的矩阵，这个矩阵用来表示分离IDT与金属栅极之间的传输线

[W(d)]=[D][W(0)]

(13)

式中[D]复数矩阵的成分为

(14)

其中：d为延迟线长度；β=2π/λ。

2 谐振型SAW传感器的模型建立及边界条件

谐振型SAW传感器分为单端口谐振型SAW传感器和双端口谐振型SAW传感器。单端口谐振型SAW传感器由1个放置在中间的IDT和两边对称放置的反射栅组成，如图2所示[9]；双端口谐振型SAW传感器由1个输入IDT和1个输出IDT及两组反射栅组成[10]，如图3所示。

图2 单端口SAW谐振器

图3 双端口SAW谐振器

2.1 单端口SAW传感器模型

为了降低插入损耗值、提高反射信号的能力，在数学模型的建立时要考虑能否准确反映损耗值。单端口谐振型声表面波模态耦合模型(如图4所示)的全声学矩阵可以用一系列矩阵相乘来描述 ：

[M]=[G1][D1][T1][D2][G2]

(15)

式中：[G1]、[G2]为反射栅传输矩阵；[D1]、[D2]为传输线矩阵；[T1]为IDT传输矩阵。

如图4所示，假设将外界激励进来的瞬间记作起始条件，显然可以得到a1不为0，b1=0，考虑到反射栅之外没有声波到达，边界条件为W0-、W1+不为0，W0+=W1-=0；假设将信号反射出的瞬间作为最终条件，则b1不为0，a1=0，边界条件仍然为W0-、W1+不为0，W0+=W1-=0。

图4 单端口SAW传感器矩阵元模型

2.2 双端口SAW传感器模型

双端谐振型声表面波模态耦合模型(如图5所示)的全声学矩阵可以用一系列矩阵相乘来描述：

(16)

式中：[T3]和[T5]为IDT传输矩阵；[D2]、[D4]、[D6]为传输线矩阵；[G1]和[G7]为反射栅传输矩阵。

图5 双端口声表面波谐振器矩阵元模型

由IDT传输矩阵的定义可以得到

[W2]=t3[W3]+α3τ3

(17)

对双端口谐振型SAW谐振器仿真时不仅要考虑声波沿基片传播的带来的影响,而且考虑IDT的起始条件。如图5所示,假设将外界激励进来的瞬间记作起始条件,那么a3不为0,b3=0，考虑到反射栅之外没有声波到达，边界条件为W0-、W7+不为0，W0+=W7-=0；假设将信号反射出的瞬间作为最终条件,那么b5不为0,a5=0，同样不考虑反射栅之外的声波，边界条件仍然为为W0-、W7+不为0，W0+=W7-=0。由以上条件可以得出输入端

(18)

由于T3、T5分别是输入和输出换能器，在输出换能器处的传输矩阵可以写为：[W5]=[D6][G7][W7]，可以得到整个谐振器输出电压和全相位响应为

(19)

3 仿真及实验验证

仿真选取两种不同基底材料、不同切型，不同中心频率的谐振器分别进行仿真，采用CS36110A数字标量网络分析仪(如图6所示)对仿真结果进行验证。

图6 CS36110A数字标量网络分析仪

仿真及验证1：选用单端对谐振器型号为R433.92，中心频率为433 MHz,基底材料为石英，切型为ST切型。叉指换能器为铝电极，叉指宽度p=1.7 μm,指间距和叉指宽度为1∶1，孔径宽度是W=680 μm,叉指对数Nt=65。使用Matlab软件对谐振器输出响应进行模拟，得到的频率响应如图7所示。

图7 R433.92谐振器输出频率响应

为了验证模型仿真的准确性，设置R433.92型谐振器等效电路为：电感L=80.788 5 μH;电容C=1.666 9 fF;电阻R=19 Ω;电容C0=1.95 pF。等效电路如图8所示。图9为其频谱特性，即输入频率为其谐振频率时获得的最大增益倍数。

图8 R433.92等效电路

图9 R433.92频谱特性

仿真及验证2：选用的谐振器型号为F8310,中心频率为815 MHz,基底材料及切型为YZ-铌酸锂。使用Matlab软件对谐振器输出响应进行模拟，得到的频率响应如图10所示。

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图10 F8310输出频率响应

R8310型谐振器等效电路为：电感L1=98.781 9 μH;电容C0=C1=2.5 pF,C2=0.340 5 fF;电阻R1=99.5 Ω;电容、等效电路如图11所示。图12为其频谱特性，即输入频率为其谐振频率时获得的最大增益倍数。

图11 F8310等效电路

图12 R433.92频谱特性

4 结束语

模态耦合模型本质上讲是一种能量模型，其模型的建立关键在于正确提出其初值条件和边界条件，从而保证仿真结果的准确性。本文对SAW传感器的每一结构分别建模，提出了基于模态耦合模型的单端口谐振型SAW传感器和双端口谐振型SAW传感器模型，进行Matlab频率响应仿真，验证了模态耦合模型用于SAW传感器仿真的可行性。最后选用型号为R433.92的单端口谐振器和型号为F8310的双端口谐振器，根据谐振器参数建立两种谐振器的等效电路，利用等效电路模型对仿真结果进行实验验证。实验结果和仿真结果相吻合，从而证明了应用模态耦合模型对谐振型SAW传感器建模的准确性、可靠性。

参考文献：

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[4] 曹亮.声表面波滤波器技术及发展[C]//中国电子学会元件分会.中国电子学会第十四届电子元件学术年会论文集.北京：中国电子学会元件分会,2006:10.

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[6] 潘峰.声表面波材料与器件[M].北京：科学出版社，2012.

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[8] 徐晟.金刚石衬底上压电薄膜的制备研究[D].天津：天津理工大学,2005.

[9] 童锐.声表面波扭矩检测研究[D].南京：南京航空航天大学,2016：7-9.

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