学材设计：相异构想调正的重要策略——以“三角形面积计算公式的推导”教学为例

□ 刘善娜

儿童总是基于前期积累的经验去解决新遇到的问题，但方法、路径可能是片面的、浅层次的，可能是偏离了科学概念的相异构想。如“三角形的面积”一课，学生会基于原有的经验去推导面积的计算公式，这些经验都与最终的认知形成息息相关。

三角形面积计算公式推导的原初经验

平行四边形转化为长方形时进行的是等积转化，而三角形转化成平行四边形则需要加倍，学生需要面对一个三角形想到去虚构另一个与之全等的三角形，使之拼成学过的规则图形。根据克莱门兹等人对图形构造能力层次的划分，可以发现前者属于层次一“前构造者”（只能操作单一的图形，而不能把它们组合成更大的图形）与层次二“堆砌者”（能够按照要求或根据模型把一些简单的图形组合在一起，看到的只是整体的形状，而不是图形之间或图形的部分元素之间的几何关系）；而后者则需要达到层次五“合同构图者”（学生能够有意识地合成图形，能够充分认识和运用图形的合同或全等关系，如知道两个全等的梯形可以构成一个六边形）。这其中的差异，导致学生的原初构想与最终构想之间存在难以想到“从加倍（×2，倍拼法推导）到消去一半（÷2，运用公式准确计算）”的相异构想。本文从学习材料的合理选择与设计入手进行阐述。

一、典型学材设计与相应调正流程

教材选用不同的素材，激活的就是不同的原初经验。从不同的原初经验出发的相异构想，经由不同的学习材料的运用，就会形成不同的调正教学流程。利用不同的学习材料进行的调正教学主要有以下三种典型设计。

调正了什么？

学材设计灵感来自于人教版教材的“操作”倍拼转化。教材是直接给予两个完全一样的三角形，暗示过于明显，如果放手让学生操作，学生又找不到探究的切入口。这一学材的使用，把学生的思维从“1个三角形沿高剪开来拼”引导到用“2个完全相同的三角形来拼”，学生从“只会转化等腰三角形→能转化任意三角形”。

欠缺了什么？

典型学材设计2：提供以方格为背景的直角、锐角、钝角三角形各1个。

调正了什么？

学材设计灵感来自浙教版和日本启林版。借助直角三角形这个特殊图形，引导学生完成“倍拼”构想，将研究直角三角形面积的活动作为突破“倍拼法”的关键环节。这一学材的使用，使得学生能在以方格为背景的情况下，用“中位线割补法”“倍拼法”将三角形转化成学过的图形，算出面积。

欠缺了什么？

这一学材激活了较多的原初经验，学生能顺利转化，但由于从直角三角形出发到锐角三角形、钝角三角形的尝试、探究、反馈、提炼过程较长，以及学生始终在方格背景下探索公式，导致学生在面对无数据的任意三角形需要自己测量关键数据时，就出现了很多的错误。

典型学材设计3：提供以平行四边形为背景的直角三角形1个。

调正了什么？

学材设计灵感来自苏教版。借助平行四边形与三角形之间的特殊关系，引导学生完成“加倍”构想，让学生能从计算平行四边形中的三角形的面积出发去推导公式，逐步达成任意三角形面积的计算，且对公式中的“÷2”印象特别深刻。

欠缺了什么？

学生面对这份学材，推导的方法比较单一，紧扣平行四边形÷2得到三角形。

对比三份典型学材与相应的教学流程，可以得到两点启示：

1.格子图的优势。格子图为不同层次的学生提供不同的表达素材,人人都可以动手去探究。且格子图本身就与面积的本质有关联，比其他的学习素材都要直观形象。

2.“切”“合”动态感知的优势。学生在利用学材1和学材3时，都用较长时间感受了两个完全一样的三角形拼成平行四边形、一个平行四边形均分成两个完全一样的三角形的过程，这一过程对接了面积计算公式中的“÷2”，有助于相异构想的转化，降低学生在后续计算过程中“÷2”的遗忘率。

利用这两个学材的优势，就能助推学生对“从加倍（×2，倍拼法推导）到消去一半（÷2，运用公式准确计算）”的相异构想进行调正。

二、调正相异构想的学材设计与调正教学片段

显然，要引导学生掌握倍拼法，掌握计算公式，需要利用学生“最近”的经验，使其相异构想的“异”度在一定程度上降低，就可以让学生在方格图背景下研究三角形面积计算公式。在得出多样化的转化方法之后，通过沟通、对比，提炼出面积计算公式，并在公式习得后，设计“三角形从平行四边形中‘单飞’求面积”“‘单身’三角形求双的想象画图”“没有方格图自测数据求三角形面积”等即时跟进练习，以助推方格图背景学材在公式运用时达到“平行四边形一分为二”的动态过程与公式中“÷2”的过程性对接的同等效果，从而顺利将相异构想调正为相同构想。

学材设计与调正教学1：直角三角形“打头阵”，方格背景从无到有。

师：有谁知道三角形的面积怎么算？

生：三角形的面积=底×高÷2。

师：你说的三角形，是指所有三角形吗？

生：是的。

师：三角形比较复杂，可以按边分，可以按角分，咱们是按边研究还是按角研究？

生：按角研究，因为三角形可以分成锐角、钝角、直角三角形，不重复不遗漏。

生：按边分，我们只认识特殊的等腰三角形和等边三角形，每条边都不一样长的三角形没有研究。

师：那就按角的分类来研究。要计算这三类三角形的面积（出示三角形：，你需要哪些数据？（课件出示每个三角形底和高的数据，学生迅速计算面积）为什么任意一个三角形的面积都是底×高÷2呢？

师：那我们从直角三角形开始研究。老师还请了一个助手，请睁大眼睛（方格图呈现），现在就请你在格子图上研究直角三角形的面积为什么是底×高÷2，把你想的过程表示出来。当然，你可以用很多种方法来解释。（学生有一整张以方格为背景的A4纸，先后印了3个三角形，彼此之间留有很多可再“创作绘图”的空白格子空间。）

【设计意图】（1）遵循着学生的起点，提出研究的内容。教师直接问“三角形面积怎么算→你要什么数据→算出结果”，能充分暴露学情，了解学生“公式”与“计算应用”的掌握程度。刚学了平行四边形面积，大部分学生在看教材、做作业的过程中自然地发现了公式并能进行操练性“应用”。那就让学生敞开了说公式，大大方方进行面积计算，学生发现这节课并不只是研究“怎么算”，研究的重点是“为什么”，这就明晰了新的挑战。（2）给予数据并凸显方格图的背景作用。在没有方格图的时候，学生根据公式和需要的数据已经求出了三角形面积。在求出具体面积的基础上，给三角形配上方格背景，有利于学生对照具体数据研究其中的道理。学生面对具体数据比面对“底”“高”这些抽象名称更容易说理、分析。而教师直接说“从直角三角形”开始研究，是因为学生在三角形内角和等课上，感受过以直角三角形为推进素材的学习，此时直接切入，简化过程。

师：谁上来汇报一下自己的研究结果，为什么6×4以后还要“÷2”？

方法：中位线割补——割补转化

师：6是长方形的长，4÷2是——[长方形的宽，板书：6×（4÷2）]。

师：好，他解释了之所以÷2，是因为高÷2了（动态配合，图1）。你们俩呢？

师：他们都说差不多，我们来看看到底有什么相同的地方？（图2、图3）怎样切割才能拼成平行四边形或者长方形？

图1

图2

图3

生：都要沿着中间的地方分割才行。（上来指着说）生1、生2是从高的中点到斜边的中点，生3是底的中点到斜边的中点。

生：我觉得他们就是用“一半”法来解释“÷2”的。高割掉一半，或者底割掉一半，拼成学过的平行四边形或者长方形。

【设计意图】根据经验分析，以方格图为背景，部分学生能利用平行四边形割补转化的方法，将单个直角三角形直接分割转化。又根据前面所做的后测分析，这种方法一旦离开格子图，学生“留痕”过浅，因此不作放大研究，而是让学生用自己朴素的话加以表达，并用预设好的课件配合学生的方法，帮助每个学生能理解单个图形的转化。

师：说得真好。那么大家看这两种方法，和刚才的方法一样吗？他们又是怎么想的？和原来的三角形又有怎样的联系？

生：我觉得这两个作品特别好理解。6×4，算出来的是长方形和平行四边形的面积。但这个长方形和平行四边形都是由2个一样的直角三角形拼成的，所以6×4后要再÷2。

生：我也觉得。6×4就是长方形的长×宽，是24平方厘米，三角形的底×高就是24平方厘米，但这是2个三角形的面积，所以6×4后要再÷2。

生：他们都是多画了1个一样的直角三角形，拼成了学过的图形，只不过这个拼在斜边上，这个拼在直角边上。

师：按他的说法，还能把这个多画的直角三角形往哪儿拼？

生：还有一条直角边上也可以拼。

师：你们在格子图上画画看，拼起来是什么样子的？

生：也是一个平行四边形，它的底是三角形的这条直角边，高是另一条直角边。

师：咱们以前这样拼过吗？

生：拼过。2副三角板，用尖尖的两个直角三角板，可以拼组成3个不同的平行四边形。

【设计意图】（1）利用最“同”构想，推进理解。格子图上的直角三角形，学生在四年级时就能想到加倍成长方形来数面积，课堂上自然有很多学生会想到这种方法，但很少有学生会想到倍拼成平行四边形。2个图放在一起比较，学生就能关注到“倍拼”的共同点，借助“长方形”的“容易理解”来推动不同形式但相同本质的“倍拼法”。（2）激活拼组法经验，让“倍拼法”有了“来处”。学生发现倍拼法原来是“老朋友”，之后的锐角三角形和钝角三角形就可以放手让学生自己研究，学生会在“割补法”和“倍拼法”的基础上，多一种将锐角三角形、钝角三角形“分割成2个直角三角形”，然后用直角三角形来解释说明的方法。

学材设计与推进教学2：强化公式感知，从平行四边形中来。

师：大家刚才用了很多方法，画画、写写、说说，也发现了用倍拼法把三角形转化成平行四边形（含长方形），特别好理解。那请大家看看，这个平行四边形中，你能看到三角形吗？

生：平行四边形的对角线可以把这个平行四边形平均分成2个三角形，这样可以，这样也可以。

生：都是6÷2等于3平方厘米，是平行四边形面积的一半。

师：是啊，三角形面积总是等底等高的平行四边形面积的一半，我们可以确认三角形面积=底×高÷2。如果我现在给你一个“单身”的三角形，你能找到它的平行四边形伙伴吗？好，想象出来了，比画一下。我们把这个过程一起来表演一下。

师生一起比画：单身的三角形求不出面积，需要依靠它的好朋友平行四边形，先底×高变成了平行四边形，再÷2，就得到了三角形的面积。

【设计意图】（1）对应公式，强化直观感知。先将一个已知面积是6平方厘米的平行四边形分割成2个三角形，求三角形面积；然后从单个三角形去想象拼成的平行四边形，再一分为二，这样由课件配合动态直观的感知过程，都是在帮助学生理解公式后进一步内化概念。（2）故事化语言，让学生牢记好朋友平行四边形。在后续的练习中，学生经常要忘记“÷2”，故事一串，手势一表演，学生就加深了印象，感受到了三角形必须依靠好朋友才能算出面积，底×高算的是平行四边形面积，要÷2才是三角形面积。

从前测到教材分析，从典型学材设计与经典教学流程到学生“学材”的选择，最终形成了相异构想理念下调正“差异”的学材设计，并在这样的学材基础上推进了三角形面积计算公式的推导教学。关注相异构想，就是关注学生的原初经验，设计有效的学习材料，就是基于学生的原初经验去引导、去沟通、去调正与知识的最终构想之间的差异，让学生经历从“不完整”的原初构想到“完整”的最终认知的调正过程。

参考资料：

[1]杨富民.“三角形面积”磨课历程[J].小学教学设计，2016（20）：52-53.

[2]陈敏.基于“重点·难点·关键点”的教材比较研究——以“三角形的面积”新授课为例[J].小学教学（数学版），2016（06）：7-10.

[3]陈敏.“三角形的面积”教学再尝试[J].小学教学(数学版)，2012（09）：38-40.

[4]郑维荣.基于思想导引的“殊途同归”——“三角形的面积计算”教学案例（一）[J].小学教学设计，2015（32）：16-17.