用概率学方法解决随机性抽奖是否公平的问题

张道广 刘元芬

摘 要：利用概率学解决随机性抽奖是否公平的问题，并建立概率模型，最终结果是每个人的中奖概率相等，且公平性不会被抽奖顺序、奖品个数影响。

关键词：条件假设;随机;抽中概率;中奖率

假设：从m个物体（物体和物体间不存在区别）中不放回的抽取，每次抽1个，由m个人一次抽取，并且设定其中一个物体为“奖”。

那么：m个人依次为：X1，X2，X3，...，Xm

抽中概率依次为：■，■，■，...，■，1.

取Xk（1≦k≦m）

則在前（k-1）个人都没有抽中的情况下

第k人抽中的概率P中奖=■

前（k-1）人抽不中的概率P未中奖=■·■…■=■

即：xk的中奖率=■

由此可得：x1，x2....xm他们每个人的中奖率均为■。

我们继续假设：原条件不变，“奖”的个数上调为n

那么：

由第一部分可得，中奖的概率与次序无关。

∴我们令m=tn+k

再将m个人分成n组

人数依次：t，t，t，.....t，t，t+k

并令每组，有且只有一人中奖

由第一部分的结论可得：每组内每人中奖概率相同为■

则每个人被分入一组并中奖的概率=■·■=■或■·■=■

共有n个分组，∴每人中奖概率=■

对于同一个问题，我们还有一种论证方法。我们将其看作一个连续进行n的，每次一人中奖的中奖，不重复中奖。这n轮抽奖中，每人抽中的概率均等

∴个人中奖率相等。

Pk=P1·P2=■

即人均中奖率=该场奖品/该场人数

在前（k-1）轮中不中P1=■·■···■

在第k轮中抽中P2=■

接下来，我们更改抽奖人数为a，且a≠m，有以下情况

①a>m ②am-n）

①a>m

我们将没能参与抽奖的人视作参与抽奖却未能中奖的人，即取Z，使m+z=a

我们便导出了在第二部分的结论：

人人中奖率相等且为P=■;

②a

我们将中奖人数列出：0，1，2，...，n，（n+1）种，依次分别为 B0，B1，B2，...，Bn种情况，在任意一种情况中，都可以套用第二部分的结论。即，人人中奖率相等，中奖率根据情况不同依次为：P0，P1，P2，...，Pn

每种情况中奖概率为■，且每种情况出现的概率为■。

③am-n

我们将中奖人数列出，（a-m+n），（a-m+n+1），...，n

依次分为Ba-m+n，...，Bn，共（m-a+1）种情况。

在任意一种情况中，我们都可以套用第二部分的结论：即从中奖率相等，中奖率根据情况不同依次为：Pa-m+n，Pa-m+n+1，...，Pn;并且每种情况出现的概率相等为■。

综上所述：随机性抽奖的公平性不会被抽奖人数，奖品个数，抽奖次顺序所影响，并且，人均中奖概率与上述变量存在一定关系，同时，我们可以得到一个数学模型：

在一次有m次抽奖机会，n个奖品，a个人参与的抽奖中，根据a与m的关系，可以代入：

①Pn （a≥m）

P中奖=②（P0+P1+P2+...+Pn）  （a

③（P0+P1+P2+...+Pn）  （am-n）

参考文献：

[1]李俊，中小学概率的数与学[M]，上海;华东师范大学出版社，2003.