一类冲击振动系统的动力学三维数值模拟分析

王永祥

摘 要 建立了一类冲击振动系统的力学模型，对其动力学行为使用庞加莱映射法进行了研究。并在三维空间中发现了混沌运动存在关于相位角 =0的虚拟平面空间对称的两部分混沌形态结构图，当激振频率发生变化时，其 >0的部分不复存在，仅保留 <0的部分。

关键词 冲击振动 庞加莱映射 混沌运动

中图分类号：TH113.1文献标识码：A

许多工程实际问题涉及到冲击振动。近几十年来，冲击振动系统的分岔与混沌研究取得了骄人的成绩。罗冠炜和谢建华分析了双质体冲击振动成型机的亚谐分岔与Hopf分岔。罗冠炜和张艳龙研究了冲击振动成型机的周期运动稳定性，分析了相关范式映射的局部分岔特征。

本文建立了一类三自由度冲击振动系统的力学模型。推到了系统周期运动的解析解，使用四阶龙格库塔法和庞加莱映射法，数值模拟了系统随激振频率变化而由周期一运动向混沌运动演化的过程。

1力学模型及运动微分方程

图1是一类三自由度冲击振动系统的力学模型，质量为M1、M2和M3的振子分别由刚度为K1、K2和K3的线性弹簧和阻尼系数为C1、C2和C3的线性阻尼器相联接，3个振子只作垂直的运动，并分别受到简谐激振力Pisin（ T+ ） （i=1，2，3）的作用（P2和P3可以等于零，此时振子M2和M3不受力）。以3个质量块的静平衡位置为各自的坐标原点建立动力学方程。以X1、X2和X3为M1、M2和M3的位移，向上为正方向，当质量块M1和M3的位移之差等于等于间隙△时，M1和M3将发生相互碰撞，改变速度方向后，又以新的初值运动，然后再次碰撞。假设模型中的阻尼满足：（K1/K2/K3=C1/C2/C3），碰撞过程由碰撞恢复系数R确定。

2系统的周期运动及混沌演化

选择该冲击振动系统的一组参数： m2=2.5， m3=5， k2=3.2， k3=8， =0.02，f10=1，f20=0，f30=0， =1。其振子M1的庞加莱映射图随 的的变化过程如图2-1、图2-2所示。

3结论

（1）当 =3.96时，系统做稳定的周期一运动，每次碰撞时，M1的无量纲位移，x1=0.895，无量纲速度v1=1.99，碰撞M1时所受简谐力的相位角 =2.0576;

（2）随 的增大，当 =3.98时，系统做q=1/1的准周期运动;当 =4.027时，系统做多周期运动;

（3）当 =4.0376时，系统处在结构离散的混沌运动状态;当 =4.0378时，离散的混沌结构连接在一起，形成连续的混沌结构;

（4）随着 的不断增大，振子M1的混沌结构图发生了很大的变化，其中当 =4.15時，形成了“蛇”型混沌结构;

（5）当 =4.2时，振子M1的庞加莱映射图中产生了两个全等的三维混沌结构图，上下两部分关于 =0的虚拟平面对称;

（6）当 =4.3时，三维混沌结构图中 >0的上面部分消失，仅保留 <0的下面部分。

参考文献

[1] 罗冠炜，谢建华.强共振情况下冲击成型机的亚谐与Hopf分岔[J].力学学报， 2003，35（05）： 92-98.

[2] 罗冠炜，张艳龙.冲击振动成型机周期运动的Hopf-flip余维二分岔与混沌[J].工程力学，2007， 24（09）： 140-147.