“正确答案”的背后

李文强

【关键词】数学;“正确答案”;教学

一、案例背景

数学这门学科由于具有很强的客观性，答案一般都是固定的，因此不少学生往往只关注答案的对错，而不去探索和钻研答案的由来，时常是“知其然，而不知其所以然”。“正确答案”常常具有较强的隐蔽性和迷惑性，学生正确的答案有可能是直接向别人问来的，别人直接告诉他答案，其实自己根本不知道这个答案是怎么思考得到的。也有可能答案是正确的，但思路和方法是完全错误的，属于“歪打正着”。显然，这不利于学生数学知识的掌握与学习能力的提高，同时也养成了不好的学习习惯。

二、案例描述

在我教五年级“因数和倍数”这一单元时，一节数学课上遇到这样一道填空题：一张长方形纸长18厘米，宽12厘米，将它剪成大小相同的正方形，要求正方形尽可能大，而且没有剩余，那么可以剪几个？

我让孩子们仔细思考，不一会儿，小手纷纷举了起来。“老师，答案是6。”看着孩子们激动而又自信的神情，我想考验一下他们，于是故意卖起了关子：“真的是6吗，有没有不同答案？”“没有……”孩子们几乎异口同声地回答。“这么确定呀，认为答案是6的请举手！”看着全班孩子们几乎不约而同地举起了手，毫不犹豫地坚持“6”这个正确答案，看到他们更加自信的表情，我暗暗欣喜：看来孩子们掌握得还真都不错呢。

正当我认为孩子们都已经掌握了该题，不需要再讲，准备切换到下一个环节时，底下不知谁说了句：“这题太简单了，不就是求18和12的最大公因数嘛。”一石激起千层浪，下面反对之声四起：“不对，不只是求18和12的最大公因数”“根本不需要求18和12的最大公因数，而是应该先求18和12的最小公倍数”。

我灵机一动：“这正是一个让孩子们共同研讨发现结论的契机。”于是我说：“同学们，大家把自己的思考方法和解题过程写在练习本上，等会儿我们一起来交流分享，看看什么样的方法才是正确的。”话音未落，孩子们就跃跃欲试，纷纷打开练习本动起笔来……

我在孩子们中间巡视着，看到果然有多种不同的解题过程。我还看到有一个刚刚也说答案是6的孩子此时却不知道应该怎么写过程，他不好意思地告诉我他是听其他同学说的。我让他自己先尝试思考，然后和组内的孩子交流。通过全班分组交流，我发现主要有这3种不同的做法：

第一，18和12的最大公因数是6。答：可以剪6个。

第二，18和12的最大公因数是6，因此正方形的边长是6厘米。每行可以剪18÷6=3（个），每列可以剪12÷6=2（个），3×2=6（个），答：可以剪6个。

第三，18和12的最小公倍数是36，因此正方形的边长是36厘米。每行可以剪36÷18=2（个），每列可以剪36÷12=3（个），2×3=6（个），答：可以剪6个。

做法不同，但最后答案居然都是6 1我把这三种不同的方法展示在了投影上。让这3种不同做法的孩子分别说说自己是怎么想的。第一种做法的孩子最先遇到了窘境，他们解释不清楚18和12的最大公因数为什么就是正方形的个数，第二种做法和第三种做法的孩子也争执不下，都坚持自己的做法是正确的。

这时一位孩子说道：“我觉得可以通过画图来解释自己的算式。”

不少紧皱眉头的孩子通过画图变得豁然开朗。我将孩子们画的图呈现在了展台上。第一种做法和第二种做法的孩子画的是图1，而第三种做法的孩子画的则是图2。

通过画图，第一种做法的孩子意识到了自己求的18和12的最大公因数其实是正方形的边长，而不是正方形的个数。

第三种做法的孩子画完图立刻发现了自己“剪出”的正方形竟然比原来的长方形还要大，从而很容易就明白了自己的错误原因。

但我并不想放过这样的生成性资源，问道：“大家仔细想一想，题目怎么修改就应该用這第一种做法或第三种做法呢？”

经过热烈的讨论，一位孩子答道：“如果问题改成：正方形的边长是多少厘米？这时用第一种做法就对了。如果把题意中的剪成正方形改为拼成正方形，问最少需要多少个这样的长方形，那么用第三种做法就对了。”其他孩子帮情不自禁地鼓起掌来。

三、案例反思

（一）课堂上充分挖掘和利用学生已经想到的有效资源

当学生提出一些“意外”的问题或是想法时，即使想法错误，也是一种有效资源。在这则案例中，有的学生认为问题就是在求最大公因数，有的认为问题就是在求最小公倍数，虽然这些想法并不正确，但如果教师完全不顾这些反应，或是急于否定，无疑会挫伤学生的学习兴趣。因此我并没有直接指出错误，而是让学生根据自己的思路，把自己所认为的过程写出来，然后共同探讨是否得当。一位学生提出“画图”的建议，也是本节课一个宝贵的生成性资源，顺着这位学生的思路，无须教师多说，就得到了圆满的解决。这给学生留下了适度的空间，体现出他们学习的生长点。