频率依赖性对黏弹性调谐质量阻尼器的影响

戴　军　 徐赵东　 盖盼盼

(东南大学混凝土与预应力混凝土结构教育部重点实验室, 南京 210096)

调谐质量阻尼器由质量块、弹性单元和阻尼单元构成,通过选取合适的设计参数,形成独特的调谐机制，从而有效地吸收和耗散结构的振动能量[1-3]．由于具有较强的参数敏感性,调谐质量阻尼器更适合控制单一模态的结构振动,且受控结构具有较弱的不确定性[3-5]．尽管多重调谐质量阻尼器能够减弱失调效应,但其复杂的构造、较高的安装空间要求限制了广泛的工程应用．

近年来,各类新型材料部分或者完全替代传统调谐质量阻尼器中的弹簧和黏滞阻尼器,以达到改善阻尼器性能的目的．黏弹性阻尼器在动力作用下能够同时提供刚度和阻尼,构造简单可靠且控制鲁棒性好[6]．所以,含有黏弹性阻尼器的黏弹性调谐质量阻尼器能够适用于大质量比、安装空间受限和强不确定性的结构振动控制．Rüdinger[7]分析了黏弹性调谐质量阻尼器控制结构地震响应的机制和最优设计参数取值,数值计算验证了阻尼器的有效性．de Espíndola等[8]将结构-黏弹性调谐质量阻尼器耦合系统等效为单自由度系统,简化了阻尼器设计参数优化问题．Doubrawa等[9]和Saidi等[10]分别采用黏弹性调谐质量阻尼器控制旋转系统振动和楼板振动,获得了很好的控制效果．薛启超等[11]设计出的黏弹性碰撞调谐阻尼器可以有效减小结构在地震作用下的响应,且减震效果优于普通的调谐质量阻尼器．

黏弹性材料的动态力学性能具有显著的频率依赖性,而调谐质量阻尼器是典型的频率敏感型阻尼器．因此,黏弹性调谐质量阻尼器需要考虑其频率依赖性的影响,以获得准确的控制效果评估．目前,国内外关于这方面的研究较少.本文采用等效分数阶开尔文模型考虑黏弹性材料的频率依赖性,建立结构-黏弹性调谐质量阻尼器系统的动力方程,研究剪切储能模量和损耗因子的频率依赖性对受控结构和阻尼器动力响应的影响．

1　黏弹性调谐质量阻尼器

1.1　阻尼器的动力方程

黏弹性材料在动力作用下应变滞后于应力,从而产生阻尼效应．由于黏弹性材料的剪切模量小于压缩模量,故黏弹性材料常被制作成剪切型阻尼器,以利于充分发挥材料的阻尼性能．黏弹性调谐质量阻尼器就是将剪切型黏弹性阻尼器兼作刚度单元和阻尼单元,如图1所示．将黏弹性调谐质量阻尼器等效为单自由度系统,其动力方程写成如下形式:

(1)

(2)

(3)

图1　黏弹性调谐质量阻尼器

1.2　结构阻尼器系统的动力方程

结构-阻尼器系统的动力方程写成如下形式:

(4)

式中,M,C和K分别为结构的质量、阻尼和刚度矩阵;F为结构所受的动力荷载;T为阻尼器的位置矩阵;f为阻尼器施加于结构的作用力．假设结构的动力响应由某一模态控制,结构阻尼器系统可以简化为两自由度系统,引入X=φsqs,其动力方程频域形式表示如下:

(5)

(6)

(7)

(8)

式中,rs和rv分别为结构和阻尼器位移响应的动力放大系数；A=(1-γ2)(β2-γ2)-μβ2γ2-2ξsηβ2γ,B=ηβ2(1-γ2-μγ2)+2ξsγ(β2-γ2)．从方程(7)、(8)和(2)可以看出,黏弹性材料的性能参数G1和η影响黏弹性调谐质量阻尼器的控制效果.大量试验表明,G1和η存在着明显的频率依赖性,等效分数阶开尔文模型[12]可以较准确地描述该性质，即

(9)

(10)

α=10-12(t-t0)/[525+(t-t0)]

(11)

式中,q0和q1分别为模型中线性弹簧的弹性模量和Abel黏壶的黏性系数;r为分数导数的阶次;t0和t分别为参考温度和测试温度;α为温度转换系数．综合上述推导,可以发现结构-阻尼器系统中的β和η为加载频率ω的函数,由于调谐质量阻尼器是典型的频率敏感型阻尼器,因而需要分析黏弹性材料的频率依赖性对控制效果的影响．

2　频率依赖性的影响

2.1　依赖性的强弱

(a) 剪切储能模量的开平方

(b) 损耗因子

(12)

(13)

(a) 剪切储能模量的开平方

(b) 损耗因子

2.2　剪切储能模量的影响

(a) 受控结构

(b) 黏弹性调谐质量阻尼器

图4不同剪切储能模量频率依赖性水平下系统的位移动力放大系数曲线

(a) 频率比的变化

(b) 不同频率比下的结构位移动力放大系数

图6　不同质量比下黏弹性调谐质量阻尼器的控制效果

2.3　损耗因子的影响

(a) 受控结构

(b) 黏弹性调谐质量阻尼器

图7不同损耗因子频率依赖性水平下系统的位移动力放大系数曲线

(a) 最优频率比

(b) 最优控制效果

图8不同受控频率下黏弹性调谐质量阻尼器的最优频率比和最优控制效果

3　数值算例

图9为2类调谐质量阻尼器控制效果的比较．从图中看出,相比普通调谐质量阻尼器,设置黏弹性调谐质量阻尼器结构的最大位移动力放大系数降低了7.65%．当最优刚度比为5%时,黏弹性调谐质量阻尼器的损耗因子由0.393降为0.374，阻尼比为0.187,接近由Den Hartog公式计算出的阻尼比0.185,使黏弹性调谐质量阻尼器的最优控制效果与普通调谐质量阻尼器的最优控制效果相当;当考虑G1的频率依赖性时，黏弹性调谐质量阻尼器的控制效果就优于普通调谐质量阻尼器的控制效果．由于黏弹性调谐质量阻尼器的频率比随加载频率的增加而增加,致使失调情况下黏弹性调谐质量阻尼器的最优频率比偏差相对普通调谐质量阻尼器的要小,产生了良好的控制鲁棒性．

(a) 最优控制效果

(b) 失调下的控制效果

4　结论

1) 定义的黏弹性材料频率依赖性指标可以很好地表征黏弹性材料对黏弹性调谐质量阻尼器性能的影响程度．

2) 黏弹性材料储能模量的频率依赖性有利于阻尼器性能的提高,其频率依赖性水平越高,黏弹性调谐质量阻尼器的控制效果越好,其自身的响应越小．黏弹性材料损耗因子的大小决定了黏弹性调谐质量阻尼器的最优频率比和最优控制效果．在工程设计中,在损耗因子相同的情况下,建议选取频率依赖性水平较高的黏弹性材料．

3) 通过增加刚度单元可以降低黏弹性调谐质量阻尼器的等效损耗因子,优化后的黏弹性调谐质量阻尼器控制效果优于普通调谐质量阻尼器控制效果．

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