求生成子空间的交的一种方法

陈之辉

(沧州师范学院 数学与统计学院，河北 沧州 061001)

研究线性空间的子空间，经常会遇到子空间的交和子空间的和．如果V是数域F上线性空间，V1和V2是V的子空间，那么V1与V2的交V1∩V2和V1与V2的和V1+V2也是V的子空间．如果V1是由V中向量α1，α2，…，αt生成的，V2是由V中向量β1，β2，…，βs生成的，即

V1=L(α1，α2，…，αt)，V2=L(β1，β2，…，βs)，

容易知道，V1+V2=L(α1，α2，…，αt，β1，β2，…，βs)．那么怎样求出V1∩V2？

定理[1][2]设α1，α2，…，αt和β1，β2，…，βs都是数域F上线性空间V中向量，

V1=L(α1，α2，…，αt)，V2=L(β1，β2，…，βs)．

取V的线性无关的向量γ1，γ2，…，γn，又设

(α1，α2，…，αt)=(γ1，γ2，…，γn)A，(β1，β2，…，βs)=(γ1，γ2，…，γn)B，

其中A是n×t矩阵，B是n×s矩阵．作齐次线性方程组

(A，-B)X=0，

其中X=(x1，x2，…，xt，y1，y2，…，ys)T．

如果该齐次线性方程组只有零解，那么V1∩V2={0}．

如果该齐次线性方程组有非零解，求出它的一个基础解系η1，η2，…，ηk，其中

ηi=(ci1，ci2,…，cit,di1,di2,…,dis)T(i=1,2,…,k)．

以x1,x2,…，xt在每个ηi中的分量ci1,ci2,…，cit与α1,α2,…，αt作线性组合，构造向量

ξi=ci1α1+ci2α2+…+citαt(i=1,2,…,k)，

或者以y1,y2,…,ys在每个ηi中的分量di1,di2,…,dis与β1,β2,…,βs作线性组合，构造向量

ξi=di1β1+di2β2+…+disβs(i=1,2,…,k)，

那么V1∩V2=L(ξ1,ξ2,…,ξk)．

特别地，如果α1,α2,…,αt和β1,β2,…,βs都是数域F上n元数组空间Fn中向量，那么依次以α1,α2,…,αt为第1,2,…,t列作矩阵A，依次以β1,β2,…，βs为第1,2,…，s列作矩阵B即可．

证明设α1,α2,…，αt和β1，β2，…，βs都是数域F上线性空间V中向量，

V1=L(α1,α2,…，αt)，V2=L(β1，β2，…，βs)．

现在求V1∩V2．

任意ξ∈V1∩V2，有ξ∈V1，ξ∈V2，设

ξ=x1α1+x2α2+…+xtαt，ξ=y1β1+y2β2+…+ysβs，

那么

x1α1+x2α2+…+xtαt-y1β1-y2β2-…-ysβs=0．

(1)

令X=(x1,x2,…，xt，y1,y2,…,ys)T，那么(1)式可以写成

(α1，α2，…，αt，-β1，-β2，…，-βs)X=0．

(2)

取V中线性无关的向量γ1，γ2，…，γn，并求出矩阵A，B使

(α1，α2，…，αt)=(γ1，γ2，…，γn)A，(β1，β2，…，βs)=(γ1，γ2，…，γn)B，

其中A是n×t矩阵，B是n×s矩阵，就有

(-β1，-β2，…，-βs)=(γ1，γ2，…，γn)(-B)．

于是(α1，α2，…，αt，-β1，-β2，…，-βs)=(γ1，γ2，…，γn)(A，-B)，代入(2)有

(γ1，γ2，…，γn)(A，-B)X=0，

(3)

其中(A，-B)是n×(t+s)矩阵．因为γ1，γ2，…，γn线性无关，所以得齐次线性方程组

(A，-B)X=0．

(4)

如果齐次线性方程组(4)只有零解，就说明ξ=0，即V1∩V2={0}．

如果齐次线性方程组(4)有非零解，求出它的一个基础解系η1，η2，…，ηk，其中

ηi=(ci1,ci2，…，cit,di1,di2，…,dis)T(i=1,2,…,k),

以x1,x2,…，xt在每个ηi中的取值ci1,ci2,…，cit与α1,α2,…，αt作线性组合，构造向量

ξi=ci1α1+ci2α2+…+citαt(i=1,2,…，k)，

(5)

或者以y1,y2,…,ys在每个ηi中的取值di1,di2,…，dis与β1，β2，…，βs作线性组合，构造向量

ξi=di1β1+di2β2+…+disβs(i=1，2，…，k)．

(6)

因为ξ∈V1∩V2，所以ξ∈V1，ξ∈V2，存在c1,c2,…，ct,d1,d2,…，ds，使

ξ=c1α1+c2α2+…+ctαt，ξ=d1β1+d2β2+…+dsβs，

所以

c1α1+c2α2+…+ctαt-d1β1-d2β2-…-dsβs=0．

这说明x1=c1,x2=c2,…，xt=ct,y1=d1,y2=d2,…，ys=ds满足(1)，进而满足(2)、(3)和(4)，所以

η=(c1,c2,…,ct,d1,d2,…,ds)T

是(4)的解，可以由η1,η2,…，ηk线性表示．设

η=u1η1+u2η2+…+ukηk．

(7)

又设

ω=(c1,c2,…,ct)T,δ=(d1,d2,…，ds)T,

ωi=(ci1,ci2，…，cit)T,δi=(di1,di2,…,dis)T(i=1,2,…,k),

那么

这样(5)式可以写成

ξi=(α1,α2,…,αt)ωi(i=1,2,…，k)．

(7)式可以写成

可见ω=u1ω1+u2ω2+…+ukωk，于是

ξ=(α1，α2，…，αt)ω=(α1，α2，…，αt)(u1ω1+u2ω2+…+ukωk)

=u1(α1,α2,…，αt)ω1+u2(α1,α2,…，αt)ω2+…+uk(α1,α2,…，αt)ωk

=u1ξ1+u2ξ2…+ukξk.

这说明ξ∈L(ξ1,ξ2,…，ξk)．可见V1∩V2⊆L(ξ1,ξ2,…，ξk)．

反过来，对于每个ξi(i=1，2，…，k)，考虑ηi，因为

x1=ci1,x2=ci2,…，xt=cit，y1=di1，y2=di2，…，ys=dis

满足(4)，进而满足(3)，(2)和(1)．于是

ci1α1+ci2α2+…+citαt-di1β1-di2β2-…-disβs=0，

即

ci1α1+ci2α2+…+citαt=di1β1+di2β2+…+disβs．

而ξi=ci1α1+ci2α2+…+citαt，所以ξi=di1β1+di2β2+…+disβs．

这说明ξi∈V1，ξi∈V2，即ξi=V1∩V2．所以L(ξ1，ξ2，…，ξk)⊆V1∩V2．

这就证明了V1∩V2=L(ξ1，ξ2，…，ξk)．#

当然，在这个定理中，ξ1，ξ2，…，ξk的极大无关组即为V1∩V2=L(ξ1，ξ2，…，ξk)的基．

如果V是数域F上n维线性空间，那么在应用上述方法时可以把γ1，γ2，…，γn取为V的基．

因为V1，V2都是V1+V2的子空间，所以在应用上述方法时也可以把γ1，γ2，…，γn取为V1+V2的基．例如取γ1，γ2，…，γn为α1，α2，…，αt，β1，β2，…，βs的极大无关组．

例1对于数域F上多项式空间F[x]4中多项式

f1(x)=-x2-x+1,f2(x)=x3+x2-2x-2,f3(x)=3x3+5x2-3x-6,

g1(x)=-x3+2x2+2x-2,g2(x)=2x3+2x2-2x-3,g3(x)=x3+x2-x-1,

g4(x)=6x3+7x2-7x-12．

令V1=L(f1,f2,f3)，V2=L(g1,g2,g3,g4),求V1∩V2并求其一个基．

解任意h(x)∈V1∩V2，有h(x)∈V1,h(x)∈V2，设

h=x1f1+x2f2+x3f3，h=y1g1+y2g2+y3g3+y4g4，

那么

x1f1+x2f2+x3f3-y1g1-y2g2-y3g3-y4g4=0．

(8)

令X=(x1,x2，…，xt,y1,y2,…,ys)T，那么(8)式可以写成

(f1,f2,f3,-g1,-g2,-g3,-g4)X=0．

(9)

取F[x]4中线性无关的多项式x3,x2,x,1(它是F[x]4的一个基)，有

(f1,f2,f3)=(x3,x2，x,1)A，(g1,g2,g3,g4)=(x3,x2，x,1)B，

其中

由(-g1,-g2,-g3,-g4)=(x3，x2,x,1)(-B)，有

(f1,f2,f3,-g1,-g2,-g3,-g4)=(x3,x2,x,1)(A,-B)

代入(9)有

(x3,x2,x,1)(A,-B)X=0，

因为x3,x2,x,1线性无关，所以得齐次线性方程组(A,-B)X=0，即

解之，得其基础解系

η1=(1，-2，2，1，0，5，0)，η2=(-2，2，-1，0，1，-3，0)，η3=(-7，8，-3，0，0，-7，1)．

令

p1(x)=g1+0g2+5g3+0g4=4x3+7x2-3x-7,

p2(x)=0g1+g2-3g3+0g4=-x3-x2+x,

p3(x)=0g1+0g2-7g3+g4=-x3-5,

那么V1∩V2=L(p1,p2,p3)．

而(p1,p2,p3)=(x3,x2,x,1)P，其中

因为P的3个列向量线性无关(是其自身的极大无关组)，所以p1,p2,p3是其自身的极大无关组，是V1∩V2的基．

参考文献：

[1]陈之辉，张伟伟，高瑞．高等代数[M]．保定：河北大学出版社，2012．

[2]钱吉林．高等代数题解精粹[M]．北京：中国民族大学出版社，2010．