积分原理在初中数学中的应用

杨虎成

[摘要]微积分是高等数学的学习范畴.在初中数学中渗透一些积分思想，能降低解题难度，开阔学生视野.

[关键词]积分原理；初中数学；应用

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2018）05002602

微积分是高等数学的学习范畴，但在初中数学中有时也可渗透一些积分思想.下面举例谈谈我们在实际教学活动中用到的积分思想，希望能对读者有所启示.

一、背景

在学习一元二次方程及平移之后，经常会出现下面这样一道题.

【例1】如图1，在宽为20m、长为30m的长方形花园中，要修建两条同样宽的矩形道路，余下部分进行绿化，绿化部分面积为551平方米，请求出小路的宽度.

分析与解答：学生有两种做法.第一种方法是用长方形的面积减去两条道路的面积等于551平方米（要注意中间两条道路重叠的地方中能计算一次面积）.具体解法为：设路宽为x米，列方程20×30-30x-20x+x2=551，解得x1=1，x2=49（舍去），得出小路宽为1米；

另一种解法为平移法.即将图1中的两条道路平移成图

2中靠边的两条道路，这样计算就简单了，不需要考虑重叠部分计算两次的问题，只须计算出左下块矩形面积即可.具体解法为：设路宽为x米，列方程（30-x）（20-x）=551，解得x1=1，x2=49（舍去）.

[点评]此类题通过平移转化成单纯求剩下部分（矩形）的面积，大大降低了难度，不失为一种好方法.

二、引入

正是基于“平移”这种方法，学生才在学习中不自觉地将下面一题用平移来做.

【例2】如图3，有一块长30m，宽20m的矩形花园，现要在内修一条等宽（EH=FG）的人行通道，方便行人通过，其余部分种植草皮，要使草皮面积为551平方米，求路宽EH.

误区：学生会将图3中的道路EFGH平移成图4情形，然后计算出图4中的矩形ABFE的面积.

分析与解答：1.这种做法的结果是对的.因为图3中的平行四边形EFGH与图4中的矩形EFGH面积是相等的（同底等高类型）.2.这种理解成平移的方法是错的.是因为平移是不改变图形的形状和大小的，而从图3中的平行四边形EFGH平移到图4中成了矩形EFGH，改变了图形的形状.3.具体解法：由于图3中平行四边形的面积等于图4中矩形EFCD的面积（同底等高），设路宽为x米，列方程（30-x）（20-x）=551，解得x1=1，x2=49（舍去）.

[点评]解此类题时可以借用平移的方法，将图3的平行四边形道路转变成图4中矩形面积.必须指出，它们是同底等高，面积相等，否则会使人产生误解.

三、拓展

1.思考：可不可以用上面例2的经验解决下面这种类型的试题？

【例3】如图5，在长32米、宽20米的矩形ABCD草坪上建有一条等宽的弯曲小路，若草坪实际面积为540平方米，求小路的宽度.

误区：学生会认为图5中的小路是曲线，不同于例2中的平行四边形，因此不能用例2的方法来解决.

分析：可以將图5中的曲线分成若干个平行四边形（如图6），每个平行四边形都可以按照前面例2的办法平移至矩形草坪右边，这样无数多个平行四边形都移到右边，便成了图7中的矩形EFGH.因此，图7中矩形ABFE的面积等于540平方米.具体解法为：设路宽为x米，列方程（30-x）×20=540，从而可得出正确结果.

[点评]将曲线路划分成无数多个平行四边形，这些平行四边形的面积就等同于曲线小路的面积，其实就是高等数学中的积分思想.虽然学生不知高等数学中微积分知识，但学生发挥其丰富的想象力，是可以理解这种面积的转变方法的.

2.应用

有了上面知识的铺垫，我们就可以解决下面这道题.

【例4】如图8，在长32米、宽20米的矩形草坪上建两条等宽的弯曲小路，

若草坪实际面积为540平方米，求小路的宽度.

分析：根据上面例3的积分原理，可以将图8中的两条小路平移至图9中阴影部分的位置，利用“剩下部分的面积等于540平方米”来列方程求解.其解法为：设小路宽为x米，列方程（32-x）（20-x）=540，解得x1=2，x2=50（舍去）.故小路宽为2米.

[点评]借助平移和积分思想解决此类问题，会给学生的学习带来便捷.只要在日常的学习中不断加强练习，学生对此类问题便会得心应手.

（责任编辑黄桂坚）