整体把握平面解析几何

孙青龙

[摘要]解析几何的基本思想是用代数的方法研究几何问题.整体把握平面解析几何对提高教学效果有明显作用.

[关键词]解析几何；整体；把握

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2018）05002401

平面解析几何是高中数学的一个重要模块.它既涉及数学计算又涵盖了图形分析，一直是高考考查的重点内容.有些教师在教学这一章内容时由于缺乏对平面解析几何的整体把握，导致教学过程中侧重点不明确，教学效果不理想.下面笔者结合自己的教学经验，对高中平面解析几何的整体把握谈几点认识.

一、教材解读

1.坐标法是核心

（1）强调数形结合思想.

（2）强调经历用坐标法解决问题的完整过程.

直线与圆——基础，强调与平面几何研究方法的比较是坐标法的体验；圆锥曲线——坐标法的深入，体现坐标法的价值.

2.解析几何主要有四大问题

（1）点的坐标；（2）线的方程；（3）几何性质；（4）位置关系.

二、高考题导向

通过对近五年全国卷的高考题研究，我们得到以下一些规律.

题目一般为“2小1大”，分值22分.小题一般以考查直线、圆及圆锥曲线的性质为主，结合定义，借助于图形可容易求解.大题一般以直线与圆锥曲线位置关系为命题背景，并结合函数、方程、数列、不等式、平面向量等知识，考查求轨迹方程问题，探求有关曲线性质，求参数范围，求最值与定值，探求存在性等问题.

解答题的特点：

（1）大都安排在第20题或第21题.

（2）每年都有一问是求曲线标准方程.常用方法：主要是根据定义和几何条件用待定系数法.

（3）考查知识.侧重点是圆和椭圆，考查了椭圆的定义、标准方程、离心率、直线和圆、椭圆位置关系，双曲线考查较少符合新课标要求.

（4）注重通性、通法的考查.比如，涉及直线和圆锥曲线相交，则联立消元及韦达定理，Δ>0；涉及OA⊥OB，则x1x2+y1y2=0；涉及弦长，则用弦长公式等；涉及直线和圆相切，则有d=r等.

（5）后两问考查学生综合运用知识分析和解决问题的能力，和向量、基本不等式等知识综合的比较多.

三、教学建议

（一）直线和圆部分的教学建议

强调用代数的方法解决问题，但同时也要抓住问题的几何要素.

例如，确定直线的几何要素是指：一点一方向（斜率），不应刻意让学生去区分和记忆几种方程的形式，而要让学生掌握在直角坐标系下如何确定直线的几何要素，如何根据几何要素确定直线的方程.

又如，确定圆的几何要素是指圆心和半径.圆的标准方程明确显示了几何要素a、b、r，所以要强调配方法把圆的一般方程化为标准方程.

在教学中提倡学生画图，不要单纯用代数恒等变形的方法研究几何问题.例如，对于两圆的位置关系，单纯用解方程组的方法不能准确判断其位置关系.如果两圆的方程构成的方程组无解，表明这两个圆不相交.但是，到底是相离关系还是内含关系，从解方程组中是无法判断的.若利用刻画两圆位置关系的几何要素——圆心距，就很容易判断出.

（二）圆锥曲线与方程部分的教学建议

1.把握教学要求

本章共分四大节.第一节的重点是掌握求曲线方程的一般步骤，后三节分别研究了椭圆、双曲线、抛物线的概念和简单几何性质.其中穿插用坐标法解决直线与圆锥曲线的位置关系问题.

教学时力求突出主干知识，精选内容.

（1）主要介绍标准方程，不涉及一般方程.

（2）利用方程研究几何性质时，只讨论最简单、最主要的性质，满足基本的需要，使学生在此过程中学会研究曲线性质的一般方法.

（3）根据问题的难易度及学生的认知水平.只要求掌握椭圆、抛物线的定义，对双曲线的定义只要求了解.

2.突出基本思想

（1）解析几何的基本思想是曲线与方程、方程与曲线的关系；突出用方程研究曲线，用代數方法研究曲线的性质.

（2）在建立椭圆、双曲线、抛物线的方程时，不必涉及方程的解与曲线上的点的对应关系的两个方面，重点放在“如何建立曲线方程”及“怎样用曲线方程研究曲线的几何性质”上，不要在定义的两个方面做过多研究.

（3）课程标准中多次提到“让学生体会和感受数形结合的思想”，应在本章中得到较好的落实.

3.在平时的课堂教学中，切实抓好“三基”，夯实数学基础.

（责任编辑黄桂坚）