长大下坡道区间地铁列车节能操纵方法

柏　赟，周雨鹤，邱　宇，贾文峥，毛保华

(1.北京交通大学 城市交通复杂系统理论与技术教育部重点实验室，北京　100044；2.交通运输部 科学研究院， 北京　100029)

由于地铁具有安全、准点、环保等特点，近年来得到了快速发展。在建设里程和客运量增长的同时，地铁系统的能耗也在迅速上升。列车运行能耗占地铁系统总能耗的50%左右。通过合理的操纵方法降低运行能耗，对降低运营成本、促进可持续发展有重要的现实意义。

列车运行控制节能优化问题是指在给定的线路条件、信号系统和运行时分下，研究使牵引能耗最小的列车操纵方法。FIGUERA[1]证明了列车在平缓区间内的节能操纵包括牵引、惰行和制动3种工况。随后LEE等[2]和ASNIS等[3]证明了列车在较长区间内运行时还存在巡航工况。HOWLETT[4]基于极大值原理证明了平直线路上的列车最优操纵应包含最大牵引、巡航—惰行、最大制动4个阶段，并给出了各工况转换点的求解方法。王青元等[5]给出了低于限速及触及限速时的最优控制工况间的最优切换规则，以及操纵工况间最优的切换时机。荀径等[6]考虑了多列车相互影响条件下的列车运行控制最佳策略。丁勇等[7]研究了在起伏坡道和定时约束条件下的列车节能运行控制方法，建立了站间惰行次数和惰行点的优化模型并用遗传算法进行求解。牟瑞芳等[8]针对高速动车组优化操纵问题，利用广义乘子法搜索目标速度值及对应的速度集合，将有约束非线性规划求解问题转化为无约束极值求解问题。当列车运行在陡下坡区段时，杨杰等[9]提出平均速度等效的处理方法，即通过陡坡区段所消耗的时间等于以平均速度通过该区段所消耗的时间。张守帅等[10]针对CTCS-2级列控系统下高速列车在长大下坡地段运行的情形，对车载设备参数取值及监控制动距离的计算方法进行优化。HOWLETT等人[11]对干线铁路货物列车在长大坡道的节能操纵进行了研究，基于极大值原理研究了列车在长大坡道上的节能操纵方法。虽然有学者对长大坡道上的列车操纵方法进行了研究，但是其研究对象主要是在下坡段无法维持巡航的货物列车。而地铁列车拥有更好的牵引制动性能，且其牵引质量较小，一般不存在无法保持巡航的情况，因此在下坡段既使用制动、又保持巡航并不是最节能的操纵方法。因此，有必要对列车在长大下坡的操纵方法进行优化。

本文在标准四阶段操纵方法的基础上，通过进一步优化操纵工况序列及其转换点，减少地铁列车(简称列车)在长大下坡道上制动的时间，并充分利用坡道势能为列车加速，从而减少牵引能耗。

1　问题描述和改进

图1标准四阶段操纵方法与改进操纵方法下的列车速度位移曲线示意图

针对标准四阶段操纵方法在长大下坡无法充分利用坡道势能的不足，本文提出了改进操纵方法。该操纵方法由最大牵引、巡航—惰行、最大制动工况组成，其中巡航—惰行工况根据线路条件及列车运行状态可以多次出现，允许列车在惰行工况下达到限速时再次转入巡航工况，当驶离大下坡或与终点的制动反推曲线相交时退出巡航工况。改进操纵方法下的列车速度位移曲线如图1中的实线所示。图1中，xcr和xco分别为改进操纵方法中开始巡航和初次惰行的起始位置，是改进操纵方法中的决策变量。vcr为改进操纵方法下的牵引末速度，在使用最大牵引力的情形下由xcr决定。改进操纵方法中可能出现多次惰行或巡航以适应坡道的变化，因此用xco-cr和xcr-co来表示后续工况的转换位置。

与标准四阶段速度曲线相比，采用改进速度曲线后列车只需牵引至较低速度vcr，巡航至xco后开始惰行并在xco-cr处达到限速，再次转入巡航，在xcr-co处驶离长大下坡，之后由巡航转入惰行，最后与制动曲线交于xbr处。相比标准四阶段操纵方法，改进操纵方法以更低的速度进入巡航，并提升惰行工况的比例、减少巡航阶段下列车采取制动工况的时间，可以实现牵引节能。

2　模型构建

改进操纵方法的决策变量为使用最大牵引力的牵引终止位置xcr和初次巡航终止位置xco；优化目标为列车运行总牵引能耗最小。总牵引能耗可表示为

(1)

式中：E为总牵引能耗，k·Wh；F(v,x)为列车以速度v运行在x处所需要的外力矢量，kN；θ为单位换算系数，取3 600。

外力矢量F(v,x)用于衡量列车在运行过程中所受牵引力或制动力的大小，既有大小也有方向。由于牵引力和制动力不同时存在，且牵引力做正功，制动力阻碍运动做负功。因此，矢量外力的正负和数值分别代表牵引力或制动力及其大小，该外力矢量的取值范围为

F(v,x)∈[-Fbr(v),Ftr(v)]

x∈[xstart,xend]

(2)

式中：Fbr(v)为列车在速度v时所能获得的最大制动力，kN；Ftr(v)为列车在速度v时所能获得的最大牵引力，kN。

由于列车在运行过程中存在多种工况，且每种工况的外力矢量均有不同，因此在确定决策变量xcr和xco后，需要根据运行状态的变化，计算列车在各距离步长下的外力矢量F，为

(3)

其中，

式中：Fcr(v,x)为列车以速度v在x处保持巡航所需的外力矢量，kN；xbr为地铁列车转入最大制动工况转换点；η(x)为运行状态变量；FR(v,x)为列车以速度v在x处行驶所受到的阻力；vlim(x)为列车在x处的限速；s为距离的步长。

在出站牵引和进站制动阶段，外力矢量F分别为列车最大牵引力和制动力；在途中运行阶段，工况序列及持续时间的不确定性给模型求解和能耗计算带来了一定难度。因此，在式(3)中引入变量η(x)表示列车在xco

当列车处于惰行工况时，外力矢量为0。当列车处于巡航工况时，需要根据列车受力情况计算外力矢量。列车在各运行状态下所受合力Ftotal(v,x)为

Ftotal(v,x)=F(v,x)-FR(v,x)

(4)

其中，

FR(v,x)=Fgrad(x)+Fv(v)+Fc(x)

Fgrad(x)=1 000sinθ

Fv(v)=a+bv+cv2

式中：Fgrad(x)为坡道附加力；θ为x处的坡度，上坡为正，下坡为负；Fv(x)为基本阻力；a，b和c为列车基本阻力系数；Fc(x)为曲线附加阻力；rx为x处的曲线半径。

当列车处于巡航工况时其所受合力为零，此时的外力矢量在数值上等于阻力之和，即

(5)

列车在区间运行时还应该满足计划运行时分、列车限速等约束条件，为

(6)

式中：v(x)为列车在位置x处的速度，列车在运行区间起终点的速度应为0且在运行途中不超过限速；T为区间内的给定运行时分；δ为运行时分的允许误差。

3　模型求解

列车操纵优化是一个复杂的非线性优化问题，难以直接采用解析方法进行求解。遗传算法(Genetic Algorithm)作为一种全局搜索方法，具有简单、鲁棒性强等特点，在此类问题中应用广泛。然而，在有限的迭代次数内遗传算法并不能保证获得解的质量。因此，本文在遗传算法的基础上加入邻域搜索模块，以提高算法的求解效率和效果；为了验证改进遗传算法的效果，采用Brute Force算法进行对比计算。

3.1　改进遗传算法

改进操纵方法中的2个决策变量分别是牵引终止位置xcr和初次惰行的起始位置xco，由于二者都是连续变量，所以在遗传算法中采用格雷码编码。这种编码技术有利于提高遗传算法的搜索能力，避免传统二进制编码可能出现的海明(Hamming)悬崖和难以收敛的问题[12]。此外，在遗传算法的基础上加入了邻域搜索模块，对种群中每个个体的邻域进行搜索，遗传算法的求解流程如图2所示。

由图2可见：初始种群为随机产生，种群中的各个个体由一串基于格雷码编码的染色体表示，每条染色体包含2个部分，分别对应2个决策变量。在获得初始种群后，对每个个体进行邻域搜索，搜索规则为保持每条染色体的第一部分不变，对第二部分进行变换。即在保持牵引不变的情况下，尝试不同的初次惰行起始位置。在个体评价模块中，取目标函数(1)的倒数为适应度值，从而将牵引能耗最小化问题转化为最大化问题。对于不满足区间运行时分约束但牵引末速度和惰行位置在可行域内的个体赋予较小的适应度值，为

图2　列车节能操纵方法的遗传算法求解流程图

(7)

式中：P(i,j)为算法种群中第i个个体的第j个邻域解的适应度值；E为牵引能耗；Δt为实际运行时分与给定运行时分之差。

对种群各个体的邻域进行搜索得到一组局部最优解集后更新全局最优解。然后，对局部最优解集对应的操纵方案进行遗传交叉、变异操作，更新后的种群进入下一次邻域搜索，直到达到最大迭代次数并输出最优解。

3.2　Brute Force算法

Brute Force是一种暴力算法，其主要特点是没有预处理过程，能够搜索所有的可行解来获得精确解。该方法被成功应用于列车节能操纵问题的求解[13-14]。

改进操纵方法中的决策变量c包括牵引终止位置和初次惰行起始位置，其解空间为χ。Brute Force算法通过遍历所有的c∈χ并计算能耗，以保证获得全局最优优解，计算流程如图3所示。

图3　Brute Force算法流程图

4　案例分析

选取北京地铁5号线和亦庄线中的2个长大下坡区间进行案例分析，线路参数如图4所示，运行列车的基本参数见表1。遗传算法中初始种群为30个，交叉概率为0.8，变异概率为0.1，最大迭代次数为80次。

表1　列车基本特性参数

图4　实际运行区间的坡长和坡度值

列车区间运行时分取为最小运行时分的1.1倍，其中各区间的最小运行时分可以通过最大牵引、巡航和最大制动的节时操纵方案获得。使用Brute Force算法分别求解给定运行时分下的操纵方案和能耗水平，结果见表2。

表2　标准四阶段操纵方法和改进操纵方法能耗对比

由表2可知：在不考虑再生制动能利用的情况下，采用改进操纵方法在区间一可以取得较好的节能效果，节能率达34.22%。如果考虑再生制动利用，根据既有文献[15]可知再生制动能的利用率一般不超过2/3，则采用改进操纵方法在区间一的可以在再生能减少量不超过2.05 kW·h(3.08 kW·h的2/3)的前提下仍可节约牵引能耗，依然可以实现节能。

为进一步说明改进操纵方法节能的原理，列车在区间一内采用2种操纵方法对应的速度位移曲线的对比如图5所示。由图5可见：改进操纵方法将惰行位置提前，可以较好地利用长大下坡为列车加速，在达到限速后转入巡航，从而减少了加速阶段的牵引工况时长、增加了惰行工况比例，实现了列车牵引节能。

图5　　　　标准四阶段和改进操纵方法在区间一的速度曲线对比(富余时分比例10%)

虽然改进操纵方法在区间一内获得了较好的节能效果，但是2种操纵方法在区间二的能耗相同。这说明改进操纵方法的节能效果与区间内的坡道情况有关。此外，理论分析可以得知改进操纵方法的能耗表现还与运行时分和线路限速有关。为了研究运行时分和限速对改进操纵方法节能效果的影响，计算不同富余时分比例下改进操纵方法在不同坡道上(2个区间)的节能率，并分别取线路限速为70，80和90 km·h-1，计算结果如图6和图7所示。

图6　节能率随富余运行时间变化趋势图

图7　　　　标准四阶段和改进操纵方法在区间二的速度曲线对比(富余时分比例4%)

当限速为80或90 km·h-1时，节能率呈现先增加后减少的变化趋势，最后与标准四阶段法的能耗相同。富余时分比例为4%时2种操纵方法下的列车速度位移曲线如图7所示。由图7可见：改进操纵方法采用2次惰行和2次巡航，相比标准四阶段可以更加充分地利用坡道势能为列车提速，从而减少牵引工况的持续时间，实现节能；但随着富余时分的持续增加，标准四阶段法中惰行工况所占的比例将增加，因此改进操纵方法的节能效果逐渐减小；富余时分增加到一定程度后2种操纵方法所得列车速度位移曲线会重合，其牵引能耗也相同。

当限速为70 km·h-1时，改进操纵方法总是能获得更加节能的操纵方案，这是因为列车即使从起点开始惰行依然会在运行过程中达到限速。以富余时分比例为10%的情况为例，列车运行在区间一的速度曲线如图8所示。由图8可见：由于区间内都是长大下坡且限速较低，即使惰行也会很快达到限速，因此标准四阶段法采用牵引至一定速度再巡航较长距离的操纵方式来保证不超限速且满足运行时分的要求；而改进操纵方法将操纵序列调整为最大牵引—惰行—巡航—最大制动，在满足运行时分要求的前提下充分利用坡道势能，不需长距离牵引，通过提高惰行比例以实现节能。

图8限速70 km·h-1情况下不同操纵方法时速度位移曲线(富余时分比例10%)

因为遗传算法并不能保证获得最优解，所以引入Brute Force算法计算精确解，并对改进遗传算法的计算结果进行评价。以限速为80 km·h-1、富余时分比例10%下改进操纵方法在2个区间的操纵方法为例，不同计算时分下采用改进遗传算法与采用Brute Force算法获得的能耗和计算时间见表3。从表3可知：改进遗传算法经过45 s计算就能获得较优解(离精确最优解仅差6%)。

表3改进遗传算法与BruteForce算法的求解对比(富余时分比例)

运行区间采用BruteForce算法时能耗/(kW·h)计算时间/s采用改进遗传算法时不同计算时间下的能耗/(kW·h)15s30s45s区间一59410863690645623区间二5759658662640605

区间一在上述条件下使用改进遗传算法求解的适应度变化趋势如图9所示。由图9可见：种群随着迭代次数的增加逐渐收敛。

图9　遗传算法适应度变化趋势

5　结　论

(1) 针对标准四阶段法在含有长大下坡区间不能充分利用坡道势能的问题对其进行改进，在不改变四阶段操纵工况组成的前提下对工况的序列进行优化，尽可能减少运行途中制动工况的出现。

(2) 使用实际线路和车辆参数对标准四阶段和本文改进操纵方法在不同坡道、不同限速、不同运行时分下的列车运行能耗进行了对比分析。结果表明，在部分长大下坡道区间，本文方法比传统四阶段方法可以节能30%以上；本文方法的节能效果随着富余时分的增加呈现先增加后减小的变化趋势，随着限速的降低而增加。

(3) 分别采用改进遗传算法和Brute Force算法对改进操纵模型进行求解，结果表明改进遗传算法可以在45 s内获得较优解，且该解与Brute Force算法求到的精确最优解差异约为6%。

(4) 本文尚未考虑列车区间限速的变化，含长大下坡的变限速区间的改进操纵方法还有待进一步研究。

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