美国数学问题提出：是非与评述

于文华



美国数学问题提出：是非与评述

于文华

（山东师范大学 数学科学学院，山东 济南 250014）

从微观与宏观两个视角，对美国数学认知领域内问题提出研究进行了述评．从宏观研究视角出发，可以分为以下几个方面：问题提出与问题解决的关系、问题提出与数学理解、问题提出的认知策略、问题提出的能力培养及教学模式．从微观视角出发，可以分为以下几方面：数学问题提出的类型、问题提出的情境、问题提出的策略、问题提出的干预手段、对所提问题的评估与分析等．对于国内的相关研究，有很好的借鉴意义，期望每个方面都有进一步更为优化的研究．

数学问题提出；述评；是是非非

国内研究者，对于美国数学问题提出的研究，是存在一些误读的．其一，美国数学教育领域中，自20世纪80年代提出“问题解决”的口号以来，很多人认为“问题解决”是主流的研究领域和方向，而“问题提出”貌似作为“问题解决”的一个附属领域，或是为了更好地“问题解决”而产生的非主流的方向．真的是这样吗？实际上，在美国数学教育领域，“问题提出”一直是一个非常受欢迎并且横跨理论研究、模型建构研究、教学研究等多方面的“热门方向”，且硕果累累，与“问题解决”之间的瓜葛只是其研究的一个小分支而已．因此，在数学教育领域中的“问题提出”研究是名副其实的“主流”．其二，国内仍然有很多旨在考察与借鉴美国数学问题提出的研究，但实际上研究范围过窄．例如《中美两国小学数学教材中问题提出的比较研究》等研究对于美国数学教育领域内“问题提出”的研究只局限于教材的视域之内；即使有针对课堂教学中问题提出的研究，也很多只与数学课堂的引入环节即数学情境创设相关联，例如，夏小刚、汪秉彝的《数学情境的创设与数学问题的提出》，而很少考虑到数学问题提出作为探测学生数学理解的窗口等更微观具体的层面．

为了辨别是非，全面了解美国数学教育中有关问题提出的方方面面，从宏观、微观两个角度，对美国数学认知领域中的问题提出进行述评，旨在从大的方面把握其脉络，从小的方面找寻其具体．

1 美国数学认知领域对问题提出的宏观考察与述评

1.1 美国数学认知领域对问题提出的宏观研究视角

在美国数学认知领域，对问题提出的研究主要基于四大视角．

其一，基于问题提出与问题解决关系视角：Silver等（1989）[1]对美国中学数学教师的问题提出进行测试发现，与问题解决之前提出的问题相比，问题解决之后提出的问题与他们解决过的问题更加相像，这说明问题提出受到了问题解决的影响，此外没有发现其它关于问题提出和问题解决之间的关系．Silver等（1996）[2]对中学生问题提出的测试表明，好的问题解决者提出的数学问题的数量与复杂度都更大．也有一些研究考察了不同文化背景下学生的问题提出与问题解决之间的关系．Cai等（2002）[3]发现中美学生在问题提出方面的经验都明显少于他们在问题解决方面的经验，提出的问题与其解题策略有关；中国学生比美国学生问题提出与问题解决的相关性要高．Cai（2003）[4]发现大多数新加坡学生能够选择合适的策略来解决问题，并且能够提出一些抽象的数学问题．与中美两国学生的数学思维相比，新加坡学生的数学思维与中国学生更加相似．

其二，基于问题提出与数学理解关系的的视角：Ellerton（1986）[5]认为，问题提出作为一个窗口，可以用来探测学生的数学理解能力，可以通过学生创造出的问题检验他们数学理解的深度．数学问题提出不仅展示了他们对数学概念发展的理解和水平，而且也反映了他们对数学本质的理解．Hashimotto（1987）[6]也发现：要求学生提出一些类似他们解决的问题是一个有用的教学技巧，因为它提供了学生对数学概念理解的一面镜子．

其三，基于问题提出的认知策略研究的视角：Brown等（1983）[7]得到提出问题的一个很有用的方法——“否定假设法”（what-if-not），这种对原问题的条件和限定进行改变来产生新问题的方法在Lavy等（2003）[8]的研究中得到运用．Kilpatrick（1987）[9]也提出了一些数学问题提出策略：观念的联结、类比、一般化、反驳、换位思维法和观念组合法等，通过运用这些策略，可以帮助学生提出更多的好问题．Silver等（1996）[2]在对算法问题的提出做研究时提出问题的产生包括两个：接受已知条件（accepting the givens）和挑战已知条件（challenging the givens）．

其四，基于问题提出的能力培养及教学模式视角：Kilpatrick（1987）[9]认为：问题提出不仅应当作为教学的目标，而且还应该作为教学的手段．English（1997）[10]在问题提出训练中提出了一些行之有效的方法，对问题进行分类、识别和利用问题的结构等．Crespo（2003）[11]发现：职前教师在培训后敢于提出一些有多种解法、开放性和探究性的、认知更为复杂的问题．Contreras（2003）[12]的PPM（problem posed model）教学模式认为教师可以通过例题来讲授提出问题的一般模式，激发学生提出问题．

1.2 宏观研究视角述评与启示

从宏观来看，美国数学认知领域中的研究涉及的方面较为广泛，从问题提出与问题解决的关系的讨论到问题提出与数学理解关系的挖掘，再到如何引导问题提出者利用各种策略去提出问题，到最终的实践中的培养与教学模式．

上述很多研究涉及问题提出与问题解决之间的关系研究，但Silver（2013）[13]阐述了二者间关系的研究进展因一直缺乏一个明确的理论且符合现有证据的基础解释而受阻，并指出，现在已经非常接近于能够提供这样一个解释，而且一些研究在这个特殊问题上提供了一些有前途的方向追求．未来会继续为解决这个问题而努力．

对于国内的相关研究来说，借鉴的意义在于，首先，可以从研究思路上进行拓展．从不同的民族、地域、文化背景之下的问题提出与问题解决间的关系是否一致，各方的特点所在；依据其特点，如何把问题提出作为一种探测学生数学理解的手段；在具体教学中，如何通过进行行之有效的策略，寻找可行的教学模式，帮助学生提出更多的好问题，而非为了提出问题而提出问题，只要提出问题即可的满足感．方法与模式对学生形成问题提出的意识、培养问题解决的能力是很重要的．

2 美国数学认知领域问题提出的微观考察与述评

2.1 数学问题提出的类型

美国数学问题提出的相关研究中，数学问题提出的类型是非常丰富的，按照不同的标准，可以把它们做如下梳理．

考虑到数学问题相对于教材中封闭型题目的开放程度，Vacc（1993）[14]在评估教师提出的问题时将问题分为事实型的（factual）、推理型的（reasoning）和开放型的（open）．Cai等（2002）[15]将学生提出的问题分为可延伸的问题（extension）和不可延伸的问题（non-extension）．Lowrie（2002）[16]研究发现，在一个问题提出活动的开放性的任务中，许多学生发明的数学问题类似于他们的教科书中的问题（similar to those found in their textbooks），还有一些独创性问题（original）、开放性问题（open）和多种解决方案的问题（more than one solution）．

考虑到数学问题的新奇度，Lowrie（2002）[17]发现，实习教师将学生提出的问题分为一步文字题（one-step word）、二步文字题（two-step word）、非典型应用问题（non-typical word）和新奇问题（novel）．

考虑到数学问题的条件充足与否或可解性，Silver等（1996）[2]研究中学生提出有关算法问题的类型时，对中学生进行检测，把他们提出的问题类型分为：可解性的（solvability）、语言学的（linguistic）和数学复杂性的（mathematical complexity）．Leung（2013）[18]主要报告了一项一位教师教育者和许多教师参与的研究，在第一阶段，教师将学生提出的问题分为5大类：非问题（not a problem）、非数学问题（non-math）、不可能问题（impossible）、条件不充足问题（insufficient）、条件充足问题（sufficient or extraneous）．

考虑到数学问题与情境或任务是否相符，Cai等（2013）[19]把学生提出的问题分为有效问题（valid）、适合情境的问题（situated in a context）、反映线性关系的问题（reflected linearity）、符合至少一个条件（matched at least one condition）的问题．文章主要是利用问题提出测量不同的初中学习课程对高中学习的影响．通过两项任务来评估：方程式和图象．这两项任务都包括问题解决和问题提出，而且问题解决在问题提出之前．关于学生问题提出方面，仅有三分之一的学生尝试提出方程式问题，三分之二的学生提出图象的问题．

也有研究充分考虑上述各方面因素，Bonotto（2013）[20]为了探究使用实际物体对问题提出活动的影响，做了两项探索性研究．第一项研究中学生们提出的问题包括对原有问题的改变和对原有问题进行批判．第二项研究问题提出活动中，要求学生选择4个问题进行解决，主要包括3种类型，一个多步问题（multi-step），两个开放型问题（open-ended）和一个包含错误数据的问题（with incorrect data）．学生们提出的所有问题分为数学问题（mathematical）和非数学问题（non-mathematical），数学问题又被分为貌似数学问题的数学问题（plausible mathematical）和不像数学问题的数学问题（implausible mathematical），而貌似数学问题的数学问题又分为有充足的信息的问题（with sufficient information）和没有充足的信息的问题（with insufficient information）．

有研究另辟蹊径，根据被试的回答进行数学问题的分类．Crespo等（2008）[21]邀请22位职前教师完成4项任务并进行两次干预，任务1中职前教师所提问题分为3种：分配问题（assignment）、关系问题（relational）、条件问题（conditional）．任务2中职前教师所提出的问题分为：引出信息的问题（elicit information）、理解形状的问题（shape understanding）、推动反思的问题（press for reflection）．在做任务3时将教师分成两组，但这两组提出问题的类型都是采用了Vacc（1993）[14]的问题类型分法．在第二次干预时又将问题分成有营养的（nutritious）问题和有趣的（tasty）问题．

2.2 数学问题提出的情境

2.2.1 根据情境的结构化程度分类

Stoyanova和Ellerton（1996）[22]将问题提出的情境分为3种：自由的（free）、半结构化的（semi-structured）、结构化的（structured）．自由的提出问题情境是指让学生无限制地提问题；半结构化的情境也是开放的，让学生探索情境的结构并完成它；结构化的情境是指学生重新用公式表示已解决问题或改变条件．

2.2.2 根据问题的数学化水平分类

其一，问题情境为数学情境．

Crespo等（2008）[21]的4项任务中的两项任务都是在数学图形的情境下提出一系列的问题．Xianwei（2013）[23]的研究包含两个测试：数学内容测试和数学问题提出测试．数学问题提出测试涉及3个任务，其中第二个任务是在半结构问题提出情境下，要求学生尽可能多地提出与图片（图片中有一个三角形和其内切圆）有关的问题．

其二，问题情境为模拟情境．

Koichu和Kontorovich（2013）[24]模拟了桌球任务的情境，要求学生提出问题．Ellerton（2013）[25]要求本科师范生根据握手问题创造其它问题以及这些问题的逆问题．Bonotto（2013）[20]的两项探索性研究中以广告传单打折信息和海报宣传单为情境，得出结论“如果选用宣传单、机票这样的材料作为提出问题的情境，则不会因为文字问题而受限”．Xianwei和Bharath（2013）[23]中的数学问题提出测试中的第一个任务是在排队情境下要求学生尽可能多的提出问题．第三个任务是在晚会情境下针对门铃响数问题要求学生回答所提问题并尽可能多地提出有关问题．Cristian和Singer（2013）[26]提供了一个关于黑白瓷砖覆盖地板的模拟情境，让学生进行问题修改．通过修改已知问题提出新问题的能力来测量学生的认知灵活性．

其三，数学情境与相应的生活模拟情境相结合．

Cai等（2013）[19]主要是利用问题提出测量不同的初中学习课程对高中学习的影响．问题提出作为评估工具，通过两个任务来评估，每个任务都包含了问题解决和问题提出．第一个任务是先以数学线性方程组为数学情境解出这个方程组的答案，然后提出可以用以上方程组解决的生活中的情境．第二个任务是先以一个数学图形为情境解出图中曲线的方程，然后同第一个任务一样提出可以用此图形表示的现实生活情境．

2.3 数学问题提出的策略

自从Brown和Walter（2005）[27]提出众所周知的“what-if-not”策略，很多研究致力于数学问题提出具体策略的研究．

一种方案是侧重于对原问题的修改，以生成新的问题．Martinez-Cruz等（2002）[28]提供了若干更加规范的策略，比如改变已知条件、改变限制条件、归纳和颠倒已知与未知．Cifarelli和Cai（2005）[29]的策略有依据数据处理（data-driven reasoning）和依据假设处理（hypothesis-driven reasoning）．Singer和Voica（2012）[30]的研究表明：当学生修改问题时，普遍会修改问题的背景主题（background theme）、参数（parameters）、数据（data）、一个或多个操作方案（one or more operating schemes）、对数据和操作方案的限制（constraints over the data and the operating schemes）和至少有一个未知参数的限制（constraints that involve at least one unknown value of the parameters）．Voica和Singer（2013）[26]运用了5种概念性框架来修改已知问题．第一种是初始框架（starting pattern frame），即使用已知问题的框架只是改变一些数据；第二种是棋盘框架（chess-board frame），即修改的问题中使用棋盘结构；第三种是新递归框架（new recursion frame），即使用一个新的不同的分配模式；第四种是网格框架（grid frame），即基于不同的对象来填充一个网格；第五种就是其他没有特定结构的框架．

另一种方案着眼于条件与目标之间的关联性，而提出问题．Silver等（1996）[2]提供的问题提出策略有：条件处理（constraint manipulation）、目标处理（goal manipulation）、条件和目标混合处理（symmetry），以及连环处理（chaining）．在问题提出的具体方法上，English（1997）[31]鼓励学生关注已有问题的核心原理并且考虑核心原理与问题的关系，然后给学生一些衍生的问题帮助他们提出新问题．Singer和Moscovici（2008）[32]，Singer（2009）[33]研究了问题提出的策略．主要包括使用各种交涉进行问题换位，通过添加新的操作和条件进行问题延伸，通过评估相似性和差异性比较问题，分析不完整或冗余的问题，提高学生提出有意义的问题的能力．Koichu和Kontorovich（2013）[24]认为问题提出的策略是对已给的问题提出任务的分析和条件变形以及对问题产生的系统性方法．它包含了Silver等（1996）[34]、Cifarelli和Cai（2005）[29]在桌球任务情况下的认知过程．

2.4 数学问题提出的干预手段

Lowrie（2002）[17]中，采用了如下干预：（1）提出问题；（2）讨论解决此问题的方法；（3）解决此问题；（4）反思解决此问题的方式与策略．显然，这种干预方法旨在让学生在讨论、解决、反思的过程中认识到解决问题的方式与策略．干预前，83%的学生提出一步问题和二步问题，但在老师和学生的一对一的干预之后，学生提出的问题更加偏向非典型问题和新奇问题，且复杂性更强，而且他们乐意去解决这些问题．可见此种干预手段对学生的提出问题能力的培育是有效果的．Crespo等（2008）[21]邀请22位职前教师完成4项任务，并进行两次干预．第一次干预是将研究对象分为两组：一组是直接提出问题（pose immediately），另一组是先探究（explore first）再提出问题．研究发现先探究干预组提出更多问题．第二次干预是给职前教师讲解评价问题有趣的美学标准，即惊奇（surprise）、新奇（novelty）、多实（fruitfulness）、简洁（simplicity）等．研究发现美学标准干预使得职前教师提出的问题更加有趣．

2.5 数学问题提出的评估与分析

美国数学问题提出的研究中，对于学生所提问题的评估与分析，主要着眼于流畅性和惊奇性两个方面．

着眼于问题的流畅性方面，Bonotto（2013）[20]为了评估提出问题的创造性（creativity），考虑了3方面：问题的流畅性（fluency）、问题的灵活性（flexibility）和问题的独创性（originality）．Xianwei（2013）[23]借鉴了此种方法．Cristian和Singer（2013）[26]采用连贯性（coherence）和一致性（consistency）来分析问题．将问题分为具有连贯性和一致性的问题（coherent and consistent）、不具有连贯性但具有一致性的问题（incoherent, but consistent）、具有连贯性但不具有一致性的问题（coherent, but inconsistent）和既不具有连贯性也不具有一致性的问题（inconsistent and incoherent）．

着眼于问题的新奇性方面，Crespo等（2008）[21]采用美学标准进行评估，比如惊奇（surprise）、新奇（novelty）、多实（fruitfulness）、简洁（simplicity）等．Koichu和Kontorovich（2013）[24]认为问题有意义就是问题有趣或者出色．它包括简单（simplicity）、简洁（brevity）、清晰（clarity）、优雅（elegance）、多实（fruitfulness）、有数学深度和复杂度（mathematical deepness and complexity）、机灵的（cleverness）、符合认知要求的（cognitive demand）、新奇的（novelty）和让人惊讶的（surprise）等方面．

2.6 微观考察述评与启示

在问题提出的微观研究方面，有很多方面值得讨论与借鉴．

在数学问题提出的类型方面，由于不同的研究者出于不同的研究目的、研究对象、研究材料，致使对被试提出的问题的分类很不统一．百家争鸣一定程度上固然是好事，但是这也为后续的研究借鉴与研究的横向比较造成一定程度上的困扰．

在问题提出的情境方面，其一，相对于结构化的问题情境来说，自由的、半结构化的问题情境下的问题提出，是未来研究的一个发展点．Florence等（2013）[35]认为很多研究分析了学生解决结构问题的推理过程，只有少数研究集中在说明和解释被试在开放性问题情境下的数学探索的特性．依据目前来看，未来需要更多地研究当学生在开放性问题情境下或者任务的某些方面未被指明情境下，学生数学问题提出的过程．其二，相对于数学情境来说，近些年的研究更倾向于生活情境下问题提出的研究．但数学情境与相应的生活模拟情境相结合下的问题提出的研究却刚刚开始，而这其中的两种情境的比较与结合会衍生出更多的研究问题．

在问题提出的策略方面，问题提出需要很多的策略和方法，上述研究涉及这些方面，但还远远不够，因此未来需要更多研究来分析和扩展问题提出的策略．

在问题提出的干预手段方面，Florence等（2013）[35]提到很多实验表明一些干预手段，例如系统的训练、关注问题的修改及分析不完整或冗长的问题可以提高学生对问题一致性和问题本身的含义的认识，但是有些方面是有争议的，需要进一步研究．未来一定会给出严谨的证明来支持这些观点，并将其运用到课堂实践中去．

对所提问题的评估与分析方面，很多研究报道出学生和教师提出的问题不易表述或者不符合认知要求，所以未来需要更多的训练来使学生或老师提出更好的问题，更需要严谨而有效的评估与分析问题的工具与方法．

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A Review of Mathematics Problem Posing in the United States: Research and Practice

YU Wen-hua

(School of Mathematics Science, Shandong Normal University, Shandong Jinan 250014, China)

In the field of cognitive psychology in the United States, macroscopic research on mathematics problem posing could be categorized in the following ways: based on the relationship of problem solving and problem posing, based on the relationship of problem posing and mathematical understanding, based on cognitive strategies, and based on training and teaching models. Meanwhile, microscopic studied on problem posing in the field of mathematics cognition could be categorized in the following ways: problem-posing types, situations, strategies, and interventions as well as evaluation and analyses of posed problems. Future direction of research was discussed.

math problem-posing; macro; micro; review

[责任编校：周学智]

2018–03–26

山东省高等学校人文社会科学研究项目——数学问题提出认知机理的探寻（J14WH07）；教育部人文社会科学研究青年基金项目——基于数学问题解决的模式识别的认知机理与实验研究（10YJCXLX054）

于文华（1978—），女，山东乳山人，副教授，博士，硕士生导师，主要从事数学教育心理、数学课程与教学论研究．

G40–059.3

A

1004–9894（2018）02–0024–05

于文华．美国数学问题提出：是非与评述[J]．数学教育学报，2018，27（2）：24-28．