高中数学应用题设计与学生能力培养指向分析

王 凡

(江苏省海门市第一中学 226100)

一、高中数学应用题教学基本情况

站在学生的角度分析，很多都会呈现出处理应用题时的恐惧心理，这既根源于应用题本身的题目复杂性，也是因为学生自身没能牢固掌握数学基础知识，在遇到问题时无法将之与有关的知识点联系起来.如果站在教师的角度分析，其在遇到应用题时讲解过于粗略，没能关注到学生解题思路的优化，让学生在对待问题时呈现出一知半解的窘境，再者，教师不能在课堂上进行教法的创新同样是一大弊端，因为教学手段的枯燥乏味，学生对于数学应用题的兴趣逐渐丧失，也是导致高中生数学应用题处理不够理想的因素之一.

二、高中数学应用题题型分析

高中时期数学学科会涉及到诸多方面的知识点，每个方面均可以给后来的深入学习奠定基础，所以本环节的学习便有着承前启后的作用，在进行应用题训练时需要注意到这一点.而通过观察近些年的情况，会发现学生学习效果不佳的原因也正在于此，即没能将应用题置于统一的知识板块之内，因而显得过于零乱.我们认为，研究高中阶段的数学应用题教学，应当在系统的分析与构建之下，让应用题题型得到合理分类，使知识点与集合、数列、函数方程、解析几何以及排列组合等项内容关联起来，最终形成知识指向明确的综合应用题.首先比较常见的为解析几何线面关系证明问题、线面距离与夹角求解问题.这方面问题形式不很复杂，难度也略低，主要是将基本知识点理解清楚，同时融纳数形结合思想，便能够完成解题任务.其次是复合性更强的应用题，像产出极值类问题、路程最省类问题等，它们往往和函数极值或者不等式等有关，因为学生对于概念的不够熟悉，难以有效构建数学模型，所以会让问题处理过程变得困难.再者，还有一类实际应用题，涉及到了生活中的产量、增长率等，其数学原理则是数列、排列组合等内容，也是比较易于出现错误的.除此以外，若是应用题不仅涉及到数学知识本身，而同其它学科产生交叉时，像对山高的计算，对净空高度的测量等，则要求学生既要有扎实的数学基础，也要有足够的跨学科知识，对于综合素质的考验比较严格.

三、基于能力培养的高中数学应用题教学设计策略

1.基于审题能力培养的分类归纳法

若想使学生处理应用题的能力得到提升，审题能力的提升是其关键.比如下面所列问题：一艘轮船在一定距离L区间内航行，其耗油量和速度平方呈正比例关系，如果轮船用每小时s海里的速度向前航行，它的耗油价值是m元，再假设轮船每向前航行1小时，在去除邮费之外所发生的其他费用是n元，试问此轮船的速度在多少的时候，航行本距离所用的总费最节省？在对此类应用题加以审题时，教师需要引导学生增强双向推理能力，亦即让应用题中所呈现出来的描述式语言朝数学思维进行转化，并使之以科学的态度纳入到相应的数学学科理论之内.

2.基于模型构建能力的实践操作法

在针对高中阶段的数学应用题教学处理时，教师应当注意使学生的数学模型构建能力得到培养.比如下面的问题：有一家企业上半年的某产品产量是50万个，每个产品定价20元，而其固定成本为12元.下半年，本企业一性投入80万元科技成本，并计划未来每半年多增加80万元科技成本，产量以半年计算，递增8万只，如果在产品销售价格不发生变化的情况下，在第n次投入之后，所形成的利润是f(n)万元，那么f(n)的表达式是什么？若由现在算起第几次投入后的利润最高？在对这样的问题进行处理的时候，教师需要引导学生进行实践操作，以实现模型构建能力的优化.

3.基于灵活应用的生活导向设计

教师应当把应用题带入到生活化的情境中去，尽可能使社会生活实践情境带动问题素材，让学生对于问题产生亲切感，使之灵活应用数学思维.比如下面的问题：某企业生产无盖圆柱形容器，该容器的底面半径是r(m)，与此同时制作底面所需要的材料费用是60元每平方米，制作容器壁所需要的材料费用是40元每平方米，材料厚度忽略不计.那么请将制作容器成本y(元)表示为r的函数；怎么样对容器尺寸进行设计，以达到成本最低的效果.本问题包含了立体几何的知识，但却有显著的生活化特点，非常有益于学生灵活应用能力的提升.

4.基于检验意识的解题后续引导

高中生在处理数学应用题时，因为各环节之间具有紧密的关联性，因而在解答时若是某个环节发生了错误，则会对接下来的若干个答案均产生不利影响，因此教师应当基于学生的检验意识强化目标，注意解题后续引导工作.像下面的问题：因为机构改革的深化进行，很多企事业单位都要完成一定的减员和增效目标，某公司目前有2a名员工，且保证140<2a<420，同时a是偶数，在每年每人能够创造利润为b万元的情况下，若经营环境一直保持不变，则每裁撤员工1名，那么在职员工便会每年多创造利润0.01b万元，而企业需要给裁撤员工安排0.4b万元每年的生活费，出于获取最优化经济效益的考虑，需裁员多少人最合适(所需人员应当大于或等于当前人员数量的3/4).本问题在各个计算环节的准确检验，会使问题的处理直达最后的完善准确之境.

如上面所言，高中时期的数学应用题教学设计始终都属于难点所在，此类课堂教学的效果，既关系于学生综合学习能力进步，也是对教学质量的直接影响因素.所以，高中数学教师应当在此过程中注意应用题和现实生活的联系，从多个渠道处理好学生的审题能力、解题能力等.