基于变分原理选择法的一种改进

赵明亮

摘要：在反問题的第一类算子方程中，为了解决应用变分原理选择法在解空间不连续性，未能逆算子在解空间连续的这一问题，提出了一种基于泛函延拓定理、应用其稠密子集来对逆算子连续定理进行改进，并给出其理论的证明。一个例子说明了这种方法的有效性。

关键词：反问题；变分原理；选择法；泛函延拓；逆算子连续定理

中图分类号：TP391.4 文献标识码：A 文章编号：1007-9416（2018）01-0235-02

反问题是数学领域中一个重要的分支，在生物医学、地球物理、工程控制和金融工程中都有广泛的利用[1]。大量的反问题都以不同的形式出现在材料学、流体学、热传导以及工程科学的实际应用中。变分原理选择法[2-3]在求解反问题的基础上提出了相应的理论公式，本文利用了选择法对第一类算子方程的反问题进行了改进，提出了该问题相应的解法。

1 泛函延拓

设与是两个度量空间，是到的连续算子，且具有单值的逆算子不连续，即条件，满足，但不满足条件，这是由于逆算子在上不连续所导致的[5-7]。本文利用泛函延拓的方法，利用逆算子连续定理，找到解空间的一个解集，再把解空间的求解范围延拓在的一个稠密子集上，使在上连续，因而保证上述问题对于空间偶上是适定的。

2 改进的选择法的证明

试样在方程（1）中， 设与是两个度量空间，是到的连续算子，由逆算子连续定理[8-9]可知，方程（1）在原空间的一个解集上是可行的，然而，该解集却未达到饱和状态，基于这种情形，利用解空间的一个子集，由引理1可知，在其子空间内，存在泛函延拓，使得逆算子在的一个稠密子集上连续，由引理2可知逆算子在上具有保泛性，保证算子在解空间上收敛。因此，我们有如下定理：

定理1：设是一个连续具有单值的算子，且为的稠密子集，则逆算子在上连续。

3 实例

4 结语

本文在讨论反问题适定的基础上，提出了一种基于选择法的泛函延拓，使其在所求解空间问题上也是适定的。运用这种方法既能将原问题的解空间延拓在一个新的领域内，又能保证它的收敛性，是一种非常方便的方法。

参考文献

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