相关系数与相关指数的产生和关系

由偏差平方和分解公式我们知道，残差平方和越小，回归平方和就越大，回归变量[y]（亦即解释变量x）对预报变量y的贡献就越大，用回归变量[y]作为预报变量y的估计值就越准确，从而x与y的线性相关性就越强。在偏差平方和分解公式的两边同除以[i=1n（y1-y）]2，我们得到：

[i=1n（yi-yi）2i=1n（yi-y）2]+[i=1n（yi-y）2i=1n（yi-y）2]=1。

等式左边第一项是随机误差ε对预报变量的贡献率，第二项是回归变量[y]（亦即解释变量x）对预报变量y的贡献率。记：

[R2=i=1n（yi-y）2i=1n（yi-y）2]=1-[i=1n（yi-y）2i=1n（yi-y）2]。

[R2]叫做相关指数。

学习《数学（选修）》，感觉相关系数与相关指数是两大难点，只要突破这两点，线性回归的学习就容易多了。本文沿着课本上用最小二乘法求线性回归方程的系数的推导做下去，揭示相关系数与相关指数的来龙去脉和它们的关系。

已知n组数据[xi，yi]，[i=1，2，3，…，n]，设线性回归模型为：[y=y+ε]。其中[y=a+bx]，将这n组数据代入回归模型得：

[yi=yi+εi]，[i=1，2，3，…，n]，其中[yi=a+bxi]。

残差平方和[Qa，b]=[i=1nε2i]=[i=1n（yi-yi）2]=[i=1n（yi-a-bxi）2]。

记[x=1ni=1nxi]，[y=1ni=1nyi]，则

[Qa，b]=[i=1nyi-y+y-a+bx-bxi-x2]

=[i=1nyi-y2]+[ny-a+bx2]+[b2i=1n（xi-x）2]

+[2y-a+bx·i=1nyi-y-2by-a+bx·i=1nxi-x]

-[2bi=1nxi-xyi-y]，

其中，[2y-a+bx·i=1nyi-y-][2by-a+bx·i=1nxi-x]

=[2y-a+bxi=1nyi-y-bxi+bx]

=[2y-a+bxi=1nyi-bxi-y-bx]

=[2y-a+bxi=1nyi-bxi-ny-bx]=0

所以，[Qa，b]

=[i=1nyi-y2+ny-a+bx2+b2i=1nxi-x2-2bi=1nxi-xyi-y]

=[i=1nyi-y2+ny-a+bx2+i=1nxi-x2b2-2bi=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2]

=[i=1nyi-y2+ny-a+bx2+i=1nxi-x2b-i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x22]

[-i=1nxi-xyi-y2i=1nxi-x2]。

由于[xi，i=1，2，3，…，n]这n个数据一般不会相等（否则这n对数据已经在一条平行于y轴的直线上了，再求回归直线已失去意义），所以

[i=1nxi-x2≠0]

观察上面最后的表达式，其中[yi，y，n，x，xi]都是常数，而含a，b的兩项是非负数，当且仅当它们等于0时，[Qa，b]取最小值，这就是说，当

[b=i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2]，[a=y-bx]

时[Qa，b]达到最小值。

以上是课本上利用最小二乘法求线性回归方程系数的过程。我们沿着这个思路继续下去，就能得到相关系数和相关指数。

一、相关系数r的产生

由上面的推导可知，在[b=i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2]，[a=y-bx]

时，[Qa，b]达到最小值，最小值为

[m=i=1nyi-y2-i=1nxi-xyi-y2i=1nxi-x2]=

[i=1nyi-y2[1-i=1nxi-xyi-y2i=1nxi-x2i=1nyi-y2]

记[r=i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2i=1nyi-y2]，则[m=i=1nyi-y21+r2]。

m的值就是残差平方和的最小值，m的大小就能描述变量[x，y]的线性相关的程度，m越小，变量[x，y]的线性相关程度就越强，m越大，变量[x，y]的线性相关程度就越弱，但是，m是一个有单位的量，同时m的值受样本容量的影响很大，为了使不同的样本和不同的样本容量的数据有一个统一的评判标准，我们选择r来刻画变量[x，y]的线性相关程度，r叫做相关系数，它是一个没有单位的量，并且无论样本容量多大，总有[-1≤r≤1]，所以，用r来描述变量[x，y]的线性相关程度显得更方便一些[∣r∣]。越大，m的值就越小，两个变量的线性相关性就越强，[∣r∣]越小，m的值就越大，两个变量的线性相关性就越弱，通常，当[∣r∣>0.75]时认为两个变量有很强的线性相关关系，当[0.30≤∣r∣<0.75]时认为两个变量相关性一般，而当[∣r∣<0.30]时认为两个变量不具有线性相关性。

由m与r的关系式我们还可以得到：因为[m≥0]，[i=1nyi-y2≥0]，所以[1-r2≥0]，所以，[∣r∣≤1]。由此可以得出著名的柯西不等式。

若[∣r∣=1]，则[m=0]，样本数据[xi，yi，i=1，2，3，…，n]全部落在直线[y=a+bx]上，这时变量x，y的关系已经不是相关关系而是函数关系。所以，函数关系是相关关系的一种极限状态，是一种特殊的相关关系。

由r和b的表达式我们得到r和b的关系式：[bi=1nxi-x2=ri=1nyi-y2]，由此看到，r和b的符号是相同的，当r>0时，b>0，[y=a+bx]是增函数，所以x与y是正相关关系，当r<0时，b<0，[y=a+bx]是减函数，所以x与y是负相关关系。

二、相关指数R2的产生

由上面的推导可知，残差平方和的最小值[m=i=1nεi2=i=1nyi-y2=i=1nyi-y21-r2=i=1nyi-y2-r2i=1nyi-y2][=i=1nyi-y2-b2i=1nxi-x2=i=1nyi-y2-i=1nbxi-bx2=i=1nyi-y2][-i=1na+bxi-a+bx2=i-1nyi-y2-i=1nyi-y2]，

即：[i=1nyi-y2=i=1nyi-yi2+i=1nyi-y2]。

这个公式叫做偏差平方和分解公式，我们对它的统计意义作一点分析。

在一元线性回归模型[y=y+ε=a+bx+ε]中，预报变量y值的变化效应由回归变量[y]（即解释变量x）和随机误差ε共同决定。我们知道，描述一个随机变量的变化、分散程度的量是这个随机变量的方差，我们用随机变量的样本方差估计它的方差。

预报变量y的样本方差为[1ni=1nyi-y2]，其中[i=1nyi-y2]叫做总偏差平方和。

下面我们来求随机误差ε的样本方差。由上面的推导可知，[y=a+bx+ε]，并且[y=a+bx]，所以，[ε]=0，即隨机误差ε的样本均值为零，所以，由样本方差的定义得[σ2=1ni=1nεi2]，所以，随机误差ε的样本方差为[1ni=1nεi2]，其中[i=1nεi2=i=1nyi-yi2]就是残差平方和。

我们来看[i=1nyi-yi2]：因为[1ni=1nyi=1ni=1na+bx][=a+b1ni=1nxi][=a+bx=y]，所以[y]不仅是预报变量y的样本均值，也是回归变量[y]的样本均值，所以[1ni=1nyi-y2]就是回归变量[y]的样本方差，我们把[i=1nyi-y2]叫做回归平方和。所以，偏差平方和分解公式的意思就是：

总偏差平方和=回归平方和+残差平方和。

偏差平方和分解公式精确的刻画了这样一个事实：预报变量y变化的总效应是由回归变量[y]（即解释变量x）与随机误差ε的变化效应的和决定的。

由偏差平方和分解公式我们知道，残差平方和越小，回归平方和就越大，回归变量[y]（亦即解释变量x）对预报变量y的贡献就越大，用回归变量[y]作为预报变量y的估计值就越准确，从而x与y的线性相关性就越强。在偏差平方和分解公式的两边同除以[i=1nyi-y2]，我们得到：

[i=1nyi-yi2i=1nyi-y2+i=1nyi-yi2i=1nyi-y2=1]

等式左边第一项是随机误差ε对预报变量y的贡献率，第二项是回归变量[y]（亦即解释变量x）对预报变量y的贡献率。记

[R2=i=1nyi-y2i=1nyi-y2=1-i=1nyi-yi2i=1nyi-y2]

定义：[R2]叫做相关指数。

显然有[R2≤1]，[R2]表达的是回归变量[y]（即解释变量x）对预报变量y的贡献率，[R2]越大，即回归平方和越大，残差平方和就越小，表明回归变量[y]（即解释变量x）对预报变量y的贡献率就越大，这也就表明了变量x，y的线性相关程度越强。[R2]越小，即回归平方和越小，残差平方和就越大，表明回归变量[y]（即解释变量x）对预报变量y的贡献率就越小，这也就表明了变量x，y的线性相关程度越弱，所以，用[R2]的大小可以检验变量x，y的线性相关程度的强弱。

三、相关系数与相关指数的关系

定理：[R2=r2]。其中r是相关系数，[R2]是相关指数。

证法一：[m=i=1nyi-yi2][=i=1nyi-y21-r2r2=][1-i=1nyi-yi2i=1nyi-y2][=i=1nyi-y2i=1nyi-y2=R2]。

证法二：

因为当[∣r∣>0.75]时认为两个变量有很强的线性相关关系，所以，一般认为当[R2>0.752=0.5625]时，认为两个变量有很强的线性相关关系。

用相关系数r和相关指数[R2]检验两个变量的线性相关性各有优缺点，由于相关指数表示解释变量x对预报变量y的贡献率，所以用相关指数

进行检验，显得直观一些，但是相关指数[R2]的计算需要先求出线性回归方程，计算它太麻烦，一旦两个变量不线性相关，求出的线性回归方程就变得毫无意义。用相关系数r进行检验，只需用原始的数据，显得更方便一些，如果经检验两个变量不线性相关，就不必求回归方程了，免得走弯路。

上面借助最小二乘法论述了相关系数和相关指数是怎样产生的，揭示了这两个量的来龙去脉，同时打通了回归系数b，相关系数r和相关指数[R2]的关系，即：

[b=i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2?ri=1nyi-y2=bi=1nxi-x2]

[?i=1nyi-yi2?i=1nyi-y21-r2?i=1nxi-x2][=i=1nyi-yi2+i=1nyi-y2?R2=r2]。

指导教师点评：线性回归内容是从大学教材上下放下来的，在下放的过程中，原有的知识体系和原有的逻辑被打破了，这些下放的知识不能只是一放了之，必须重新整合，新旧知识要加以熔合和整改，重塑新的知识体系和逻辑体系，只有这样，才能被中学生接受，否则，中学生对这些知识的学习必成夹生饭，对学生的发展，对中学数学教学是无益的。有鉴如此，本文作者在这方面所做的努力和尝试，是值得肯定的。

参考文献

[1]高中数学2-3（A版）[M].人民教育出版社，2016.

[2]高中数学2-3（B版）[M].人民教育出版社，2016.

[3]刘婉如，徐信之.概率与统计[M].高等教育出版社，2010.

作者简介

马锦赫（1999.09—），男，汉族，北京市海淀区，现就读于中国人民大学附属中学分校高三4班，在学习上喜欢独立思考。