光子的旋量波动方程

刘继平, 吴向尧, 孟祥东, 张斯淇, 张晓茹, 刘 晗, 李 宏, 马 季, 梁 禺

(1. 吉林师范大学 物理学院, 吉林 四平 136000； 2. 吉林大学 物理学院, 长春 130012)

目前, 关于光子局域化与光子波函数的关系已引起人们广泛关注[1-4]. 文献[5]研究表明, 光子局域化问题与光子位置算符密切相关; 文献[6-7]研究表明, 用Riemann-Silberstein(RS)矢量可描述光子波函数; 文献[8-9]研究表明, 在量子场论中,可用Klein-Gordon描述自旋为0的Boson标量波动方程; 文献[10]研究表明, 用Proca方程描述自旋为1的Boson矢量波动方程; 文献[11]研究表明, 可用Dirac方程描述自旋为1/2的Fermion旋量波动方程. 自Dirac发现自旋为1/2粒子的相对论波动方程后, 利用Lorentz群理论研究旋量和矢量已取得较大进展[12]. 在四维时空旋转下, 旋量可更好地描述Lorentz不变性的概念[13-14]. 利用光子的旋量波动方程, 可以研究光在真空和介质中的量子特性[15-16]. 基于此, 本文提出自由和非自由光子的旋量波动方程, 给出自旋算子、 自旋与空间波函数及光场的Lagrange密度. 由单光子自旋波函数得到两光子或多光子自旋波函数, 并给出多光子自旋纠缠态.

1 自由光子旋量方程

Dirac方程描述的是自旋为1/2的粒子, Dirac通过分解Einstein色散关系方程, 得到了时间空间一阶导数的旋量波动方程, 将Einstein色散关系因子化为

(1)

从而

E-cα·p-m0c2β=0.

(2)

(3)

其中α和β为Dirac矩阵.

由Dirac的因子化方程, 可得自由光子的旋量波动方程. 由于光子的静质量m0=0, 因此方程(2)可变为

E-cα·p=0,

(4)

由正则量子化方程, 可得光的旋量方程为

(5)

其中:H=-icħα·为光子的Hamilton算符;ψ为光子的旋量波函数. 对正则Lorentz群LP, 自旋为1光子的不可约表示为D10,D01,D1/2,1/2, 其对应的维数分别为3,3,4. 选择光子的旋量波函数作为三维不可约表示的基矢：

(6)

α矩阵可选为

(7)

显然,α矩阵是厄米的,α+=α, 光子的Hamilton算符也是厄米的,H+=H. 方程(5)～(7)为自由光子的旋量波动方程(自旋s=1, 静质量m0=0).

2 光子的自旋算符

下面证明方程(7)中α矩阵选取的合理性, 方程ψ可写为

(8)

其中H=cp·α. 光子的轨道角动量满足

(9)

即

[L,H]=iħc(α×p).

(10)

式(10)表示光子的轨道角动量不是守恒量, 由于自由光子的总角动量应守恒, 因此光子应存在固有角动量, 即自旋角动量s, 光子的总角动量J为

J=L+s,

(11)

其中J是守恒的, 即

[J,H]=0.

(12)

利用式(10)和式(12)可得

[s,H]=-[L,H]=-iħc(α×p),

(13)

即

[sx,H]=[sx,cα·p]=-iħc(α×p)x=iħc(αzpy-αypz),

(14)

从而

比较方程(15)两边可得

[sx,αx]=0, [sx,αy]=iħαz, [sx,αz]=-iħαy,

(16)

类似可得

利用式(16)和式(18)可计算光子自旋矩阵s, 先定义sx矩阵为

(19)

通过对易关系式(16), 计算可得

(20)

类似地, 由对易关系式(17)和式(18)可得

(21)

可证明光子的自旋矩阵sx,sy,sz的本征值均为±ħ, 如sx的本征值为

(22)

其特征值方程为

(23)

即

(a-λ1)[(a-λ1)2-ħ2]=0.

(24)

为得到本征值λ1=±ħ, 令a=0. 由sy和sz的本征值方程可得b=c=0. 因此, 光子的自旋矩阵为

(25)

式(25)为描述光子自旋s=1的自旋矩阵, 其本征值为±ħ, 矩阵的平方为

(26)

比较式(7)和式(26)可得

sx=αx,sy=αy,sz=αz.

(27)

3 光子的螺旋性

螺旋性由在动量方向自旋投影定义, 即

(28)

由

(29)

知α·p的本征值方程为

(30)

从而

(31)

即

λ(p2-λ2)=0,

(32)

本征值λ的解为

λ=±|p|,0.

(33)

因此光子螺旋度h为

h=+1,-1,0.

(34)

当h=+1时, 对应横向右手圆极化螺旋态, 称为右旋光子； 当h=-1时, 对应横向左手圆极化螺旋态, 称为左旋光子； 当h=0时, 为纵向极化态, 由实验结果可知, 只存在横向极化光子, 不存在纵向极化光子.

4 光子的几率守恒方程

下面给出光子的几率密度与几率守恒方程, 式(5)的Hermitian共轭方程为

(35)

式(35)右乘ψ变为

(36)

式(35)左乘ψ+变为

(37)

式(37)与式(36)相减可得

(38)

即

(39)

从而光子的几率守恒方程为

(40)

其中:ρ=ψ+ψ为光子的几率密度;J=cψ+αψ为光子的几率流密度.

5 自由光子的平面波解

自由光子的旋量方程为

(41)

其中:

(42)

(43)

其中

(44)

将式(43)和式(44)代入式(41)可得

cα·pu(p)=Eu(p),

(45)

即

(46)

展开式(46)可得

(47)

由u1,u2,u3的非零解条件可得

(48)

E的解为

E1=+c|p|,E2=-c|p|.

(49)

由式(47)可得

由式(50),(51)可得

(52)

则u(p)为

(53)

其中N为归一化常数. 将u(p)归一化可得

归一化常数

(55)

则

(56)

从而自由光子的平面波解为

(57)

6 光子的自旋波函数

由式(25),(26)可知s2与sx,sy,sz对易, 下面计算s2和sz共同的本征态为χμ, 本征方程为

其共同的本征值(χμ)T=(φ1,φ2,φ3), 式(59)可表示为

(60)

其非零解条件为

(61)

即

-μ(μ2-1)=0,

(62)

μ的解为

μ1=0,μ2=1,μ3=-1.

(63)

将μ=0代入式(60)可得

(64)

即

φ1=φ2=0,φ3≠0,

(65)

从而归一化的自旋波函数为

(66)

将μ=1,-1代入式(61)分别可得到对应的自旋波函数为

(67)

(68)

自旋波函数满足的正交条件为

(69)

7 非自由光子的自旋波函数

下面给出非自由光子的旋量波动方程. 非自由粒子的Einstein色散关系为

(70)

将式(70)的因子变为

(71)

由于光子的m0=0, 因此式(71)可变为

(E-V)2-c2p2=(E-V-cp·α)(E-V+cp·α)=0,

(72)

则

(E-V-cp·α)=0.

(73)

将式(73)正则量子化为

(74)

由于光在介质中的势能[14]为

V=ħω(1-n),

(75)

因此光在介质中的旋量方程为

(76)

通过分离变量法

ψ(r,t)=ψ(r)f(t),

(77)

式(76)变为

[-icħα·+ħω(1-n)]ψ(r)=Eψ(r),

(78)

其中E为光子的总能量. 式(76)和式(78)分别为含时和不含时光在介质中的旋量波动方程,n为介质折射率, 因此由式(76)和式(78)可研究光在介质中的量子特性.

综上, 本文利用Einstein色散关系方程, 提出了自由和非自由光子的旋量波动方程, 并给出了单个光子自旋算符与自旋波函数. 通过计算光子的螺旋度, 证明存在左旋和右旋光子. 由单光子自旋波函数得到两光子或多光子的自旋波函数, 并给出了多光子自旋纠缠态, 该纠缠态可进一步应用于量子信息和量子计算中.

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