对新式测高方法的研究

■ 寇天翊

北京市密云区第二中学 101500

1 仪器制作

示意图（图1）：

图1

2 仪器使用方法（默认待测物高于人眼）

（1） 测出正方形边长 k，人眼高 L。将仪器竖直放置，使得细线 AD 紧贴正方形 OABC，眼置于 O ，调整角度，使得眼、A 点、物体最高点处于同一直线，记录人位置为 M 以及细线与正方形某条边的交点 E。

E 点可能：（1）在线段 OC 上（不含两端点）；（2）在线段 BC 上（不含两端点）；（3）恰好与 C 点重合。

（2）E、E’点组合统计如表1所示。

表1

3 公式推导

①当（1）（1）时，如图2

图2

已知：AO=A'O'=k FQ=L 测量出 OO'=MM'=m，OE=a，

O'E'=b ，由于重垂线，AE//A' E'//PQ。

设 M’Q=c PF=d

tan∠OPQ-tan∠O'PQ=m/d

∵OA⊥OC,O'A'⊥O'C',OF⊥PQ

②当（2）（1）时，如图3

图3

已知：AO=A'O'=k FQ=L，测量得 MM'=m,BE=a,O'E'=b,

由于重垂线，AE//A'E'//PQ；

设 M'Q=c PF=d

tan∠OPQ- tan∠O'PQ=m/d

∵OA⊥OC,O'A'⊥O'C',OF⊥PQ

∴90°-∠BAE=∠OAE=∠AEB=∠OPQ

③当（2）（2）时，如图4

图4

已知：AO=A'O'=k FQ=L，测量得 MM'=m，BE=a，B'E'=b，由于重垂线，AE//A'E'//PQ

设 M'Q=c PF=d

∵tan∠OPQ -tan∠O'PQ=m/d；

又因为OA⊥OC,O'A'⊥O'C',OF⊥PQ；

④当（2）（3）时，如图5

图5

已知：AO=A'O'=k FQ= L，测量得 MM'=m，BE=a，

由于重垂线，AE//A'E'//PQ；

设 M'Q=c PF=d；

因为=tan∠OPQ- tan∠O'PQ=m/d；

又因为OA⊥OC,O'A'⊥O'C',OF⊥PQ

所以tan∠OPQ- tan∠O'PQ=m/d；

⑤当（3）（1）时，如图6

图6

已知：AO=A'O'=k FQ= L，测量得 MM'=m， O'E'=a

由于重垂线，AE//A'E'//PQ；

设M'Q=c PF=d；

又因为tan∠OPQ-tan∠O'PQ=m/d；

OA⊥OC,O'A'⊥O'C',OF⊥PQ；

4 实际测试

因为只是粗略进行测量，我们决定，如果误差在 20%以下，

就算成功。现以一次测量为例。

时间：2017 年 2 月 14 日下午 2：30

地点：北京密云二中

人员：寇天翊、齐勇

被测：第二教学楼从地面到二层楼顶的高度

过程：

第一步，用放绳子的方法测出楼的实际高度 H0=8.32m；

第二步，使用工具测量；

情况同（1）（1），测得

L=175cm，k=36cm,OO’=MM’=m=200cm，

OE=a=25.3cm，O’E’=b=15.6cm；

ΔH=0.85 误差=0.85/8.32=10%

误差容许范围之内，成功此后，我们针对这几种情况又进行了大量实验，发现误差均保持在±15%内。这对日常简单测量已经足够。

结论：日常情况下，公式推导和实际验证均成立，新式测高方法成立，且具有可行性。

5 改进措施

第一点：眼睛、A点、物体最高点三点一线有偏差。

第二点：仪器不方便携带。

对于第一点，我们决定在 OA边上沿射线 OA放置激光笔，利用激光进行校准。

对于第二点，我们找到了 k=36cm 的较好长度，可以兼顾小型与精确。