一类非线性系统的鲁棒扩展卡尔曼滤波算法

汤代佳 尚东方 章敏

摘 要为了提高对非线性系统状态的估计精度，针对传统滤波算法的不足，提出一种基于不确定矩阵表示的鲁棒扩展卡尔曼滤波方法。研究了一类噪声相关的非线性系统，首先对其非线性函数线性化并用不确定矩阵描述线性化产生的误差高阶项，然后推导出滤波器的估计误差协方差的表达式，接着利用两个差分方程构造该协方差的一个动态上界，再计算最优的滤波器增益，最后通过计算机仿真验证所提鲁棒扩展卡尔曼滤波算法的有效性。

【关键词】鲁棒滤波 非线性系统 协方差上界 扩展卡尔曼滤波

1 引言

状态估计是指以非直接的方式，根据传感器的测量信息在一定的估计准则下获取研究目标的内部状态。近年来，随着计算机技术和传感器技术的不断发展，状态估计理论在目标跟踪、模式识别、无源定位及故障诊断等诸多领域有着广泛的应用。合理的滤波器设计是实现精确状态估计的关键因素，卡尔曼滤波器由于实现简单、造价低廉等优点而被广泛采用。然而，由于机动目标的移动通常都是非线性的，而经典的卡尔曼滤波仅适用于线性系统，因而要求人们探索和研究新的滤波方法。近年来，学者们提出了扩展卡尔曼滤波技术，并将其成功应用到非线性领域。

扩展卡尔曼滤波的基本思想是利用泰勒展开将所研究的非线性系统线性化，保留线性项，舍弃高阶项，然后再利用卡尔曼滤波。虽然该方法能够实现状态估计，但舍弃高阶项损失了信息，导致估计精度不高，对一些对非线性较严重的系统，甚至会导致滤波器发散。为了减少线性化带来的影响，文献[12]针对一类参数不确定系统，通过保留高阶线性化误差项，提出新的扩展卡尔曼滤波方法。在此基础上，文献[13]进一步考虑了测量丢失和随机非线性的影响，文献[14]则提出了利用近似泰勒展开的二阶项进行滤波器设计的思想。需要指出的是，上述系统都假设系统噪声和测量噪声是互不相关的白噪声，但实际系统中，噪声相关非常普遍，很大程度上限制传统滤波器的应用，同时相关的噪声也为设计新的滤波器带来困难。

鉴于此，本文针对一类系统噪声和测量噪声相关的非线性系统展开状态估计方法的研究，利用不确定矩阵描述线性化误差，结合分析相关噪声导致的交叉项给出滤波误差协方差的一个上界，在此基础上设计这类非线性系统的鲁棒卡尔曼滤波器。

2 问题描述

考虑一类非线性离散时间系统：

（1）

（2）

其中、和分别表示目标的状态、输入和传感器测量输出，和分别为系统噪声和测量噪声，Bk、和Ck是合适维数的矩阵，wk和vk的统计特性为：

（3）

本文我们设计如下形式的滤波器：

一步预测：

（4）

测量更新：

（5）

其中是状态xk的估计值，是xk+1的一步预测值，Kk+1是待设计的滤波器增益，系統状态的初值为。

3 滤波器设计

3.1 模型变换

记k时刻xk的滤波误差和xk+1的预测误差分别为和，由（1）和（4）可得：

（6）

由于（6）中含有非线性函数，为了计算滤波误差协方差，将在点做泰勒展开：

（7）

其中

，是泰勒展开的高阶项。进一步的，高阶项可表示为：

其中Fk是尺度矩阵，Lk为设计滤波器增加了自由度，不确定的时变矩阵表示线性化误差，满足：

因此，（6）可重新写为：

（8）

进一步的，测量新息可表示为：

（9）

因此，我们有：

（10）

由（8）和（10），可得相应的预测误差协方差：

（11）

和滤波误差协方差：

（12）

其中

由式（11）和（12）可看出，不确定项导致无法直接计算预测误差协方差和滤波误差协方差的解析解，同时相关噪声导致的交叉项Dk和Gk+1为设计滤波器增益Kk+1带来了困难。为了刻画滤波器的性能，我们将找出滤波误差协方差的一个上界，并在此基础上设计合适的滤波器增益。

3.2 滤波器增益设计

在本小节我们将依次给出和的上界，接着设计相应的滤波器增益Kk+1使得该上界最小。在给出主要结果之前，我们引入以下两个有用的引理。

引理1：给定矩阵A，H，E和F，满足FFT≤1。令X是一个对称正定矩阵，γ是任意一个满足的常数，我们有如下不等式成立：

（13）

引理2：对任意向量和标量，有如下不等式成立

（14）

定理1：考虑滤波器（4）和（5）的预测误差协方差和滤波误差协方差。若存在标量、和矩阵，（），满足如下两个离散的黎卡提方程：

（15）

（16）

和不等式，其中初值的为，则矩阵和分别是和的上界，即：

证明：假设在k时刻有和成立，接下来将证明在k+1时刻，有成立。

首先，由引理1和式（11）可得：

（17）

然后，由引理2可知：

（18）

故由（17）和（18）可得

（19）

再由式（11）、（15）和不等式（19）可知

进而，根据式（12）和（16）可知：

（20）

得证。

在定理1中，滤波器增益Kk+1可取任意维数合适的矩阵，接下来，我们将设计合适的Kk+1使得滤波误差协方差的上界最小。

定理2：考虑系统（1）和滤波器（4）-（5），滤波器增益Kk+1取：

时，可使上界最小，其最小值表达式为：

（21）

证明：为了得到的最小值，我们对矩阵的迹关于Kk+1求导，得到：

整理可得：

即：

将Kk+1代入（16），即得的最小值（21）。

4 计算机仿真

本节给出状态估计的仿真，考虑沿直线移动的动态系统，目标的状态为，其中x1，k和x2，k分别表示该目标的位移和速度，非线性函数f（xk）的表达式为：

，

其他参数分别为：

，，，系统噪声，测量噪声，θk是均值为 方差为 的高斯白噪声，初值和。为了说明所提算法的有效性，我们同样给出传统的扩展卡尔曼滤波的曲线图，仿真结果如图1-4所示，其中图1和图2分别给出了目标的两个状态分量的真实值和基于扩展卡尔曼滤波和鲁棒扩展卡尔曼滤波的估计值，图3和图4分别给出两种滤波器对状态分量估计的均方误差。从图1和图2可以看出本文提出的鲁棒扩展卡尔曼滤波能较好的估计系统状态，从图3和图4可以看出，相比于传统的扩展卡尔曼滤波，鲁棒扩展卡尔曼滤波方法具有更高的估计精度。

5 结束语

为了获得更好的状态估计结果，本文针对一类系统噪声和测量噪声相关的非线性系统，提出了一种改进的鲁棒扩展卡尔曼滤波方法，与传统算法相比，所提新方法保留了线性化时产生的误差高阶项，因而具有较好的鲁棒性，仿真结果显示了新方法的有效性。

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作者单位

1.深圳市广宁股份有限公司 广东省深圳市 518000

2.深圳大榆树科技有限公司 广东省深圳市 518000

3.上海电机学院电气学院 上海市 201306