浅议数学基本活动经验的教学策略

杨赟 刘玉

摘 要：经历两年多时间对课题《初中生数学基本活动经验建构的教学策略研究》的研究，本课题通过专家指导、同伴互助、多次实践，整合提炼了初中生数学基本活动经验建构的“五建构原则”教学策略，即“情境中、活动过程中、数学的、有意义的、超越活动过程的建构”。下面是我们对“五建构原则”的一些思考。

关键词：数学；教学；基本活动

一、 情境中建构

数学是与现实生活是紧密联系的，“源于生活、高于生活、为了生活”，提出了立足现实生活的“情境中建构”数学基本活动经验的方法论教学原则。数学基本活动经验是按照“感性直观、理性直观、思维直观”三层次水平逐步上升发展的。也有人认为是“直接经验——经验的映象性表象——经验的符号性表象”发展的。数学情境可分为操作情境、现实情境、问题情境、思维情境四类。

实施“情境中建构”的原则要注意什么呢？

1. 操作情境要和数学化活动结合，拓展操作情境的深度

单纯的操作就是机械劳动。操作只有和数学思想方法（抽象、推理、建模）联系起来的操作才是有数学味的，才是有价值的。如运用画图分析的操作活动解决题目：有3只猴子分1堆桃子，有1只猴子先平均分成3份，结果多了1个，就将多的这个吃了，拿走其中的1份。第2只猴子剩下的桃子又平均分成3份，发现也多了1个，同样吃了这1个，并拿走其中的1份。第3只猴子也这样把剩下的分成3份多了一个，吃掉多的一个并拿走一份。问这3只猴子至少摘了多少个桃子？把操作和数学思想方法（列举、图表法、具体化）结合起来，积累有价值的数学活动经验。教师然后在操作基础上，根据题目的意思，引入数字进行尝试，其中还用到了整除性。然后追问，我们能引进字母表示这个过程吗？得到9x+54或4x-1927，探讨x取什么整数时，算式的值是整数。在操作基础上形式化、符号化、数学化，经历一个感性到理性的完整的过程，给操作赋予新的价值。

2. 现实情境要有数学化和教学化双重价值，提升现实情境的高度

课程改革强调创设必要的现实情境来促进学生的数学学习。《数学课程标准》指出“课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索”。有效的数学学习不能止步于现实情境的创设，还必须引导学生经同现实情境，通过观察、比较、分析、抽象、概括等数学活动，实现必要的“数学化”，最终促进学生对数学内容及其实质的理解，发展相应的数学思考，实现其数学价值。现实情境只是教学学习得以展开背景和素材，数学内涵是数学情境内在的灵魂。如果我们的数学教学始终停留于现实情境中，缺乏对现实情境中非数学内容、非数学本质属性的剥离性剔除，继而缺乏对现实情境中所蕴涵着的数学知识、数学方法、数学思想、数学结构、数学模型的分析和抽象，那么就缺失了“教学化”过程，显然无法真正帮助学生实现对数学内核的把握与建构。

3. 问题情境要符合学生的认知特点，提高问题情境的效度

数学问题情境包括“问题”和“情境”整合，不能简单地把问题情境理解为生活情境，还包括数学内部的数学情境，如数学问题、习题等形成的问题情境，初中数学创设纯粹的生活情境是低效甚至无效的，也让学生觉得小儿科。因此，要注意三点。第一，要指向学生最近智力发展区。要立足于学生已有的知识经验水平，能够引起认知冲突，激发学习兴趣，能够发展学生的知识能力以及思维结构。第二，问题情境要具有直观性。初中学生数学思维处在从感性直观向理性直观、初步形成思维直观、以理性直观为主的发展阶段，需要学生借助“表象直观、操作直观、符号直观、形式直观、规律直观、模式直观”，进行直观联想、猜想、表达、证明、推理、迁移运用，领悟数学实质，提炼数学思想方法，达到思维直观。第三，问题情境要具有典型性。可变式、可复制、可迁移数学情境才是具有典型性的问题情境。

4. 思维情境要在变化中统一，提高思维情境的广度

学生对数学问题进行思考、抽象、推理、建模时的数学情境就是思维情境。思维情境重在变化中统一，在多种变化的数学情境中，多种解决方法中，思考、探究、发现数学的本质。在数学上就是要“变式”，变式就是不断改变问题的组合形式，但保持本质属性不变。变式的活动过程，就是思维整合的过程，使抽象的数学充满灵活性和趣味性，同时学生在思维活动中提高了思维的广度，提高了数学活动经验建构的质量。

二、 活动过程中建构

数学基本活动经验就是在数学活动中获得的经验。所以要让学生经历“观察操作联想、归纳猜测、表达、验证或证明、迁移类比应用、反思与建构”等數学基本活动过程，建构基本活动经验，由此提出了“活动过程中建构”数学基本活动经验的方法论教学原则，也与新课程标准中“过程与方法并重”的基本原则相吻合。

学生经验的获得是一个“递进”过程，“经验之塔”理论关于学生经验发展的抽象性逐渐升级的层次结构说明学生经验的获得是一个“递进”过程，即“直接经验——经验的映象性表象——经验的符号性表象”的过程，如图。相应地，教师提供的数学活动任务以及蕴涵数学活动任务的情境也应该按照从具体到抽象、从实物到映象、从感官参与到思维对符号的参与转化的层级演变的逻辑顺序呈现。这和本课题的“观察操作联想、归纳猜测、表达、验证或证明、迁移类比应用、反思与建构”活动过程不谋而合，与活动经验的“感性直观、理性直观、思维直观”三层次水平不谋而合。

实施“活动过程中建构”的原则要注意什么呢？

1. 找准数学活动的现实背景；2. 设计活动要聚焦思维核心素养；3. 实施活动中用“追问”升华数学基本活动经验；4. 实施活动中要“五动”建构数学基本活动经验；5. 要以思维为核心建构数学活动经验。

三、 数学的建构

数学活动经验的建构必须符合数学规律、体系、学科特点，因此提出了“数学的建构”的方法论基本原则。数学的建构，是指按照“现实→数学→现实”的过程，用抽象、推理、建模的数学思想方法，建构实践活动和思维活动经验，培养用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达世界，用数学的方法改造世界的活动经验。

实施“数学的建构”的原则要注意什么呢？

1. 要让学生经历数学化的过程，积累数学化的活动经验

数学知识是现实生活原型经过抽象后符号化所获得的，在现实生活的直接经验上将实际问题进行抽象，转化为数学模型，用前人已经探究、积累并总结的间接经验解决问题，从而积累猜想、抽象、表达、验证、推理、建模、迁移、类比、运用、反思等数学化活动经验。在类似情景发生时，自觉地将现实问题进行数学化，转化为数学问题解决，实现数学化活动经验的自主化、个性化积累。

2. 要形成数学知识结构体系，积累数学化的活动经验

数学知识体系中很多知识之间存在相关性或相似性，要在观察联想、分类、表达、猜想、归纳、推理、迁移类比应用等活动中让新知识和已有知识经验发生联系，指向最近发展区，学生经历“同化、顺应、平衡”的过程，形成知识结构体系，积累数学化的活动经验。

四、 有意义的建构

有意义的建构包括两个方面，一是让新知识和学生已有知识经验发生联系，指向最近发展区，学生经历“同化、顺应、平衡”的过程，让学生自主地建构知识结构体系，进行有意义的学习活动，建构数学基本活动经验。二是指要立足现实生活，建构对人的终身发展有意义的数学知识、经验、能力、思想方法，学有意义的数学。因此提出了“有意义的建构”的方法论的基本原则。

实施“有意义的建构”的原则要注意什么呢？

1. 通过赋予数学知识意义来实现有意义的建构数学活动经验

数学知识的学习过程，就是建构和赋予知识意义的过程，也是积累数学活动经验的过程。中学数学要注重数学知识意义的赋予。一方面联系学生现实生活经验，从生活经验中赋予数学知识意义。如，从向东向西走的过程中，我们往往更关注的是距离，体会绝对值的现实意义。另一方面要联系学生已有的知识经验、活动经验、思维经验等认知经验，赋予数学知识意义，有意义的建构数学活动经验。如全等三角形证明办法，在学习“三边相等，三角相等”这一性质后，进而引导学生参与比较、探究、归纳、类比活动，获得“三边分别相等的两个三角形全等（SSS）、两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）、两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）、两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（HL）”五种证明方法的理性经验，发展和完善了学生的认知结构，对学生是有意义的建构。

2. 精心设计“组织者”，促进有意义的建构数学活动经验

设计“组织者”的目的是“已经知道的”和“需要知道的”知识之间架起桥梁纽带。精心设计“组织者”有助于数学学习，有助于实现活动经验的有意义的建构。一是要充分了解学生“知识、技能、思想、经验”的基础，是开展数学学习活动的起点。二是要研究新内容与旧内容之间的关系，有上位关系、下位关系、并列关系，充分利用这种关系设计“组织者”，设计数学活动。

3. 多种方式激发学习动机实现有意义的建构数学活动经验

增强认知驱力、自我内驱力、附属驱力三种成就动机，能够促进数学学习。首先要挖掘知识对于学生认知发展的积极意义，把握关键点，在解决现实问题中、在认知冲突中促使学生产生认知驱力。其次要在问题解决中、观察操作联想中、表达中、猜想验证中、迁移类比应用中实现自我价值和表现自我，获得成功的体验，激发学生增强自我内驱力。

4. 选择适合数学知识的学习方式促进有意义的建构数学活动经验

数学知识的特征决定了学习活动的方式。适合操作的可通过操作学习，适合探究的可通过观察、联想、表达、猜想、验证、迁移类比应用等探究活动学习，在遵循学科规律的基础上有意义的建构数学活动经验。

五、 超越活动过程的建构

而经历数学基本活动过程建构数学活动经验，并不只重过程，也重结果，关注学生在活动过程中所获的数学认识、能力、思维模式、思想方法，关注学生数学核心素养的培养，因此从终身发展的宏观角度、培养核心素养的高度，提出了“超越活动过程的建构”的课堂教学方法论基本原则。

实施“超越活动过程的建构”的原则要注意什么呢？

1. 要充分挖掘知识与活动过程的育人价值

很多教师往往单纯从学科角度设计活动过程，没有看到知识背后对人的教育价值，对活动过程注重经历观察、联想、表达、猜想、验证、迁移类比应用等探究活动发展认知结构、思维能力。但数学活动要能促进学生“认知、交往、自我认识”三方面发展，才是高效优质的教学活动。因此要超越活动过程，以人的终身发展、持续发展为最高价值取向，设计和实施学习活动，建构数学基本活动经验。

2. 要实践生本课堂，从“知识中心”“能力中心”转向“人本中心”

施良方等认为课堂教学原理是“先生责任不在教，而在教学，教学生学”“教是为了不需要教”；郭思乐认为“学生是教学过程的终端，是教育的主体”“一切为了儿童，高度尊重儿童，全面依靠儿童”。一些学校提出的有效课堂、高效课堂、和谐课堂、生态课堂等课堂概念，以洋思模式为代表，提供了“先学后教、以评促学”的范例，但综观种种课堂模式，虽然将传统的“先教后学”变为“先学后评”，却依然未能走出“在教师诱导下亦步亦趋‘入套学习”的路子”。数学学习活动过程不是教育追求的终极目标，要超越活动过程，以人为本，建构数学基本活动经验。

总之，我们的数学课堂要注意恰当的设置情景、适当的设置活动，让学生符合数學规律的、与学生最近发展区的建构基本活动经验，要关注学生在活动过程中思维模式的形成，从而培养学生的数学核心素养，为学生的终身发展奠定良好的基础。

参考文献：

[1]施良方，崔允漷.教学理论：课堂教学的原理、策略与研究[M].上海：华东师范大学出版社，1999：20.

[2]郭思乐.教育走向生本[M].华东师范大学出版社，2002.

作者简介：

杨赟，刘玉，重庆市，重庆市两江育才中学校。