基于全局优装法的共轴光学系统装调研究

刘子建 易广威

摘 要：以共轴光学系统中圆柱形零件圆环形装配平面为研究对象，研究了装调中多零件对接时基准轴的角偏误差传递与补偿原理.首先分析了共轴光学系统的实际装调方法和典型定中心基准轴传递路径.然后基于误差测量和最小二乘法，确定拟合圆环形装配平面方程.运用几何变换理论得到精确描述单个零件底面和顶面的角偏误差的变换矩阵，以及两零件装配时结合面上两坐标系间的变换矩阵，建立了多零件装配时始末法线角偏误差与相对装入角度的显式函数关系.针对不同类型的定中心基准轴传递路径，采用不同的遗传算法方案实现了对始末法线角的优化，提出了求解相对装入角度允许误差的方法.最后提出了一种基于全局优装法的共轴光学系统装调方法，并以某共轴光学系统为例，验证了本文方法的可行性与实用性.

关键词：共轴光学系统；全局优化；光学装调；定中心基准轴；遗传算法

中图分类号：TN206 文献标志码：A

Abstract：Taking the ring assembly plane of cylinder part of coaxial optical system as the research object， the principle of tilt error transfer and compensation of fiducial axis in the case of multiple parts assembling was studied. Firstly， optical alignment of coaxial optical system and typical centering fiducial axis transfer paths were analyzed. And then error measurement and Least Square Method were conducted to fit the ring assembly plane of cylinder part and to get the coefficients of leastsquares plane equation. By the theory of 3D geometry transformation， the transformation matrices precisely describing the tilt error of bottom face and top face in a single part， the transformation matrices of two coordinate systems of assembly joint surface in the case of two parts assembling and the function relationship between the angle between two Normal Lines of Initial Bottom Surface and End Top Surface （ANLIBSETS） and the Relative Load Angle （RLA） in the case of multiple parts assembling were established. Aiming at different types of centering fiducial axis transfer paths and applying different genetic algorithm plans， the optimization of ANLIBSETS was achieved. The method of solving the error of RLA was proposed. Finally， an optical alignment method of coaxial optical system based on global optimization alignment method was proposed. The feasibility and practicability of this method are verified by an example of a coaxial optical system.

Key words：coaxial optical systems；global optimization；optical alignment；centering fiducial axis；genetic algorithm

隨着先进光学检测和计算机辅助装调（CAAComputer Aided Alignment）等技术的发展，国内外学者对共轴光学系统装调技术的研究不断深入.廖志波等[1]利用CAA技术，通过设置补偿环节对一次装调后透射式共轴光学系统的初级像差进行调整.郭夏锐等[2-3]通过分析透射式共轴光学系统各光学元件光轴一致性误差对光学系统像差的影响，提出一种基于像差分析和仿真预估指导光轴一致性装调的方法.Rimmer M P[4]提出一种利用阻尼最小二乘法进行测量，并比较射线跟踪波前之间的差异，通过测量系统波前均方根来确定对透镜系统定心装调的方法.栗孟娟等[5]将光学设计和装调设计相结合，对装调公差进行再分配和补偿.

以上研究直接关注共轴光学系统的光轴一致性误差对系统像差的影响，进而求解光学系统失调量，以此指导系统的装调.通过系统像差，理论上可获得各光学元件光轴与基准轴偏角的调整量，然而，由于共轴光学系统的成像对透镜的倾斜误差极为敏感，目前的装调工艺还难以实现对各光学元件轴偏角进行精准装调，尤其对于实际应用中的多个光学元件均含有加工误差的复杂系统，难以保证通过装调可以获得性能最佳的光学系统.

鉴于任何光学系统中参与装配的零件均含有加工误差，如共轴光学系统的透镜、镜组部件、镜筒、镜框和压圈等，零件通过彼此的装配平面相互贴合形成结合面以实现装配，结合面可以传递和补偿误差[6]，因而结合面误差是决定光学系统装调精度的内在因素.本文从共轴光学系统零件的装配平面入手，提出圆环形装配平面的拟合方法；通过研究各结合面误差的传递原理，建立共轴光学系统装配误差优化补偿的目标函数；针对不同装配方法和装配条件，提出对应的遗传算法，得到符合共轴光学系统装调精度要求的误差补偿优化解，最后总结出一种精确量化的共轴光学系统全局优化装调方法.应用本文提出的精确量化装调方法，不仅可以大幅提高共轴光学系统装调的效率，理论上也可以获得最佳成像质量的共轴光学系统.

1 定中心基准轴传递

在共轴光学系统装调中，以某一基准轴为参照进行的减小透镜光轴偏差的操作称为定中心.每一步装调都考虑基准轴误差的影响，称为定中心基准轴传递， 其含义是各装调的基准轴误差在定中心操作中均处于某一规定的精度范围内，其中保证初始零件和末端零件基准轴的同轴程度尤为重要.如果定中心基准轴传递状态被破坏，将严重影响光学系统分辨力、畸变和对比度等性能[7].

1.1 光学系统的装调方法

光学系统的装调方法主要有如下三种：

1）随机装调法，一种完全依赖于人工经验的装调方法，效率低，难以达到高精度.

2）逐步优装法，即通过调节每个装调工序装入零件的装入角度，使得本工序结束后当前光轴角偏误差最小或光学系统成像质量最优.

3）全局优装法，建立误差传递模型，通过优化算法确定每个工序装入零件后的合理光轴角偏误差，保证装调获得的最终光学系统成像质量总体最优（或满足要求）.

随机装调法需要反复试装多次还难以获得理想成像质量.逐步优装法可使每一工序完成后获得相对最优的成像效果，而系统的最终成像质量未必是最优，装调效率也难以提高.全局优装法着眼全局，保证光学系统最终的成像质量最优.然而，如果不充分考虑结合面误差因素，将导致现有的全局优装法原理上可行，实际装调可操作性不强[8].针对这一问题，本文提出一种考虑每个工序装入零件的结合面误差，通过建立误差补偿优化算法，直接利用零部件加工误差补偿光学系统角偏误差的光学系统全局优装方法，以期在保证总体成像质量最佳的前提下，提高光学系统装调的效率和可操作性.

1.2 共轴光学系统装调的定中心基准轴传递路径

光学系统装调过程的控制可以概括为：首先得到待控制的目标值与装调变量的关系，然后通过一定的优化方法，得到使目标值满足要求的一组变量值.在共轴光学系统装调中，此问题的变量即为系统中若干组装配对接零件间的相对装入角度，待控制的目标值即为光学系统成像质量.现有技术可通过装调使得各透镜光轴相对其定中心基准轴的角偏误差极小，据此可假设如果保证了定中心基準轴传递的准确性，则光学系统的最终成像质量将最优.

基于镜组部件结构的两种共轴光学系统典型实例[9]如图1和图2所示.现分析镜组部件之间的装配关系，可以得出3种定中心基准轴传递路径.

1）第一类传递路径.如图1所示的镜组部件1～5均为两两直接接触，装调时两镜组部件可以绕基准轴线的任意角度（称为装入角度）装入和固定，传递路径由初始镜组部件到末端镜组部件，如由镜组部件1到镜组部件5.

2）第二类传递路径.如图2所示，各镜组部件的端面与对应镜筒内台阶的圆环形平面结合，镜组间互不接触.此时，定中心基准轴传递路径由初始镜筒传递到末端镜筒，如由镜筒38到镜筒16.由于两镜筒之间通常采用螺栓连接，镜筒的装入角度可取值范围受到螺栓数量及布置方式的限制.

3）第三类传递路径.如图2所示，从一个镜筒中的镜组部件传递到另一个镜筒中的镜组部件.镜组部件可采用任意装入角度与镜筒装配，两镜筒装配时镜筒装入角度可取值范围受连接方式限制.

以上三种传递路径的基准轴传递本质上均属于圆柱形零件的定中心对接问题.共轴光学系统的机械误差来源主要包括零件加工误差和装配过程误差两方面[10].这些误差综合表现为零件基准轴间的倾斜和平移误差[11].受到径向平移误差的影响，基准轴间的平移误差需要通过调整工装来控制.而镜筒、镜框的加工误差和装配过程误差将直接导致基准轴间的角偏误差，因此本文主要研究角偏误差.

对于一条确定的传递路径，指定路径开始的第一个装配件的底面为初始零件端，另一端为顶面，类似地也可定义参与装配的所有零件的底面和顶面.设镜筒38先行装配，角偏误差示意图如图3所示，图中以点画线注明了各镜筒基准轴，以细实线注明了底面和顶面上的法线.

一般地，各零件装配平面上的法线与基准轴具有一定角偏误差.但在高精度共轴光学系统中，为保证装配精度，会对初始零件底面和末端零件顶面进行精磨修正，使得这些面上通过轴心点的法线与零件的基准轴尽可能重合.据此，在本文研究中假设传递路径中初始基准轴和末端基准轴的夹角等同于初始零件底面法线与末端零件顶面法线间的夹角，简称为始末法线角.基于这一假设，借助于结合面控制始末法线角偏差满足一定精度要求，达到定中心基准轴准确传递的目的.

2 圆环形装配平面的最小二乘法模拟

镜组部件和镜筒为圆柱（筒）形零件，研究其加工误差导致的角偏误差的传递，重点要讨论装配平面表面误差及由其引起的法线角偏误差.

2.1 零件表面误差的描述方法

零件的真实截面轮廓形状较为复杂，按照波距划分，大于10 mm的为形状误差；处于1～10 mm之间的为表面波纹度；小于1 mm的为表面粗糙度.如图4所示.

在零件表面有规律的取若干点进行拟合可得到零件表面的拟合面，由拟合面的平面方程参数可反映真实面相对理想面的位置误差，如图5所示.目前对结合面接触模型的研究均以最小二乘面作为等效接触面的基准面，如浙江大学的裘辿[12]即利用最小二乘拟合面计算实际零件表面相对于理想表面的夹角.而真实表面的粗糙度和波纹度，以及法向载荷主要影响的是面面贴合的真实定位距离[13].由于基于最小二乘法的平面拟合综合考虑了三种表面误差成分，故可用最小二乘拟合面替代装配平面.

共轴光学系统的两个零件进行装配时，假设施加均匀的装配连接力，则两零件的拟合结合面理论上应与两零件的拟合面平行，随着装配连接力大小的变化，两零件的拟合面之间的距离误差，即装配过程误差也会发生变化.本文暂不考虑装配连接力的影响，假设装配过程误差为零，则两零件表面的拟合面在装配操作完成后重合形成结合面.

2.2 基于最小二乘法的圆环形平面拟合

鉴于镜筒和镜组部件的装配结合面均为圆环形平面，采用高精度圆柱度仪测量垂直度误差的原理，可在对零件调平调心（使零件基准轴与圆柱度仪主轴重合）后，测量圆环形平面上任意一点的坐标.根据国家标准[14]对圆环形平面测量布点的规定，在被测面上选取半径差为r0的m个同心圆，每个圆上选取等距离的t个被测点，如图6所示.

此时变量的可取值个数是一个有限大整数.采用二进制编码只适用于连续变量和变量维数为2L的离散变量（用L位二进制表示）的情况，对任意变量维数的离散变量的二进制编码，易出现编码冗余和产生较多不可行解[19].必须采用整数编码取代二进制编码，才能对螺栓个数为任意值的情况进行优化.

对第三类传递路径，因其包含第二类传递路径，假设先对若干个镜筒进行装配，对其中镜筒零件组成的第二类传递路径进行优化后，求解得到镜筒与镜筒之间的相对装入角度.然后将所有镜筒视为一个部件，将此部件与始末两个镜组部件进行装配，此时可根据对第一类传递路径的优化方法求得镜组部件与镜筒的相对装入角度.

以第二类传递路径的始末法线角优化为例，其遗传算法流程如图10所示.

4.2 零件相对装入角度误差范围求解

通过遗传算法求得一组合适的零件相对装入角度后，在实际装配时，操作人员对零件相对装入角度的控制是有限的.需确定一个合适的相对装入角度误差范围，操作人员在装入零件时，控制相对装入角度在该误差范围内，能保证始末法线角满足精度要求.该误差范围太大则会增加装配成本，太小则无法保证始末法线角的精度.

4.3 共轴光学系统装调方法

基于全局优化法的共轴光学系统装调方法主要步骤如下：

1） 根据第2节和第4节所述方法，测得各镜组部件、各镜筒装配平面点数据；根据第1节所述的实例确定传递路径类型.

2） 由式（6）求得传递路径中各零件底面拟合平面系数ak，bk，顶面拟合平面方程的系数a′k，b′k；标记yk轴和y′k轴.根据传递路径类型确定可能的相对装入角度，利用式（19）建立始末法线角与相对装入角度的显式函数关系.

3） 根据传递路径的类型，确定遗传算法参数，包括种群规模M、交叉概率Pe、变异概率Pm和最大遗传代数G等，代入本文编写的遗传算法MATLAB优化程序.

4） 運行遗传算法优化程序，得到一组合适的相对装入角度变量值θ，根据图11调用本文编写的MATLAB程序求得相对装入角度误差范围±Δθ.

5） 根据所标记的yk轴和y′k轴，按照θ并考虑±Δθ依次装入镜组部件和镜筒.

在极高精度共轴光学系统中，考虑像差影响因素，可将上述方法与CAA技术相结合，一方面验证本文方法的准确性，另一方面根据像差结果进行微量调整，获得更佳的成像质量.

5 实例分析

针对某共轴光学系统，零件个数n=8的情况，假定各装配平面的公差要求均一致，位置公差TP=0.04，形状公差，Ts=0.02；零件直径d=100；认定目标函数值小于10-5即满足精度要求.作为仿真实例，可根据理想平面SDT（Small displacement torsor）分量的变动范围不等式[6]对装配平面的点进行模拟.运行本文编写的MATLAB程序可模拟得到一个零件的底面和顶面点坐标并计算得到拟合平面系数.表1为求出的一组数据（令初始零件底面和末端零件顶面拟合平面系数均为0）.

5.1 第一类传递路径的始末法线角优化

对于第一类传递路径，根据类似图10的遗传算法优化流程，采用MATLAB软件编写程序.设定种群规模M=20、交叉概率Pe=0.7、变异概率Pm=0.05和最大遗传代数G=50.若在一个与图1所示类型的光学系统中，包含8个镜组部件，两相邻镜组部件通过端面接触定位，需确定由第1个镜组部件到第8个镜组部件的始末法线角.现给出5组运行结果的最优目标函数值和变量解，优化结果（保留四位小数）如表2所示，其中第4组运行结果的目标函数值随遗传代数的变化如图12所示.

经过多次运算，发现其均易收敛，φn最小可达到2.1073×10-8，远小于1″（1″用弧度制表示约为4.8×10-6），趋近于0.

每次遗传算法程序的运行在使得最终始末法线角接近于0的情况下，得到的相对装入角度变量数据各不相同，各对应变量间相差较大，这说明在共轴光学系统中，以各零件相对装入角度为变量、以始末法线角为目标值的目标函数是多元多峰函数.

在此求取5组运行结果对应的各组相邻零件基准轴夹角的均方根进行比较，可在控制始末法线角的基础上保证两零件间的基准轴夹角不至过大.此均方根值计算公式如下

式中，φk.（k+1）为两相邻零件基准轴夹角，根据第3节末的分析可求得.

以上5组运行结果，第5组的φrms最小，取第5组运行结果对应的变量解作为指导光学系统装调的依据.根据4.2节中相对装入角度误差范围求解流程编写MATLAB程序，运行结果显示，在本例中，各相对装入角度变量在±1°范围内变动，目标函数值仍满足精度要求.

5.2 第二类传递路径的始末法线角优化

设8个镜筒装配，相邻两镜筒间通过6个螺栓连接，仍以表2中零件误差数据为例，假设Δk+1，Δk′均为0.种群规模M=200、交叉概率Pe=0.7、变异概率Pm=0.05和计算代数G=200.多次运行根据图10的遗传算法优化流程编写的MATLAB程序，取其五组优化结果如表3.