引入界面耦合系数的长片型磁电层状复合材料的等效电路模型∗

楼国锋 于歆杰 卢诗华

(清华大学电机工程与应用电子技术系,电力系统国家重点实验室,北京 100084)

1 引 言

磁电复合材料由于可以实现磁场-力场-电场的耦合,在电气工程领域具有潜在的应用前景[1,2]. 2001年,随着稀土超磁致伸缩材料Tb0.3Dy0.7Fe1.92(Terfenol-D)的出现,由磁致伸缩材料和压电材料通过环氧树脂黏接而形成的磁电层状复合材料(磁电层合材料)得到了广泛关注[3,4],但研究人员对2-2型磁电层合材料的理论研究相对较少.

美国宾夕法尼亚州立大学的Harshe等[5−7]于1991年提出了第一个理论模型.在他们的简易静态弹性模型中,磁性相和压电相被假设成完美黏接,在横向具有相同的应变.相比于这个较为简单的模型,清华大学的南策文[8,9]于1994年提出了更为严密的格林函数法来求解磁电材料的本构方程,这种方法不仅适合于2-2型,更适用于1-3型、0-3型等不同连接度.格林函数法可以解得所有材料参数的有效值,但其表达式极为复杂.

在Harshe和南策文的两种模型中,磁性相和压电相都被假设成完美地耦合,这在实际情况中几乎不可能实现.在这个基础上,俄罗斯诺夫哥罗德大学的Bichurin等[10,11]提出了一种更为广义的静态弹性模型,以求解低频下的有效磁电系数.他们引入了界面耦合系数的概念,以表征磁性相和压电相的实际黏接情况.他们将层合材料视为均匀介质,并利用平均法来求解本构方程中的材料参数的有效值,这非常类似于格林函数法中的处理.平均法相比于格林函数法有了一定的简化,但计算过程仍然较为复杂.Filippov[12]赞同磁性相和压电相不存在完美耦合的观点,但认为层合材料不能视为均匀介质,他在建模过程中也引用了Bichurin等提出的界面耦合系数,但用于解决异质材料.

然而,上述建模方法均只适用于静态或者准静态磁场激励,而磁电层合材料通常在动态磁场激励下进行能量转换.美国弗吉尼亚理工大学的Dong等[13,14]提出了一种适用于动态磁场激励的等效电路模型,其中磁致伸缩层和压电层通过运动方程耦合.尽管此模型相比于其他静态弹性模型提供了较为简单的计算过程,但它将层合材料视为均匀介质,磁致伸缩层和压电层具有相同的位移和应变,即两者完美黏接耦合.因此,等效电路法推导得到的磁电系数不能反映真实的界面耦合情况.

综上,Bichurin等提出的广义弹性模型考虑了固有的界面不完美耦合的情况,但给出的磁电系数表达式较为复杂;Dong等提出的等效电路模型虽然提供了简单直接的表达式,却忽略了实际的界面耦合情况.为了克服上述两种方法的缺点,并结合他们的优点,本文针对长片型磁电层合材料,提出了一种适用于准静态和动态磁场激励的引入界面耦合系数的等效电路模型,旨在为基于长片型磁电层合材料的传感器、换能器等器件的设计、制作和应用提供理论指导.此前,我们已提出了圆片型磁电层合材料的等效电路模型[15],本文是该工作的延续和展开.

2 引入界面耦合系数的等效电路模型

纵向磁化-横向极化(L-T)模式长片型磁电层合材料的结构如图1(a)所示,一层沿厚度方向极化的压电材料Pb(Zr,Ti)O3(PZT)夹在两层沿长度方向磁化的磁致伸缩材料Terfenol-D中间,构成三明治结构.磁致伸缩层和压电层的厚度分别为tm和tp.为方便建模,每一层的长度均被假设远大于其宽度和厚度,且环氧树脂胶层的厚度可被忽略.即该结构可被视为一维的长片型层合材料.模型基于直角坐标系建立,其中x轴沿长度方向,y轴沿宽度方向,z轴沿厚度方向.

对于一个给定几何尺寸的样品,其主要的磁致伸缩方向是沿具有最大尺寸的维度.当沿磁致伸缩层长度方向(图1(b)中磁致伸缩层的局部坐标3方向)施加一个交流磁场Hac,磁致伸缩层会沿着其主要应变方向(即长度方向)伸缩.通过环氧树脂胶的黏接,压电层沿着相同的方向发生受迫振动,从而激起横向长度伸缩振动模式,在厚度方向上(图1(c)中压电层的局部坐标3方向)产生电压.

图1 (a)直角坐标系下L-T模式长片型磁电层合材料示意图;(b)磁致伸缩层的局部坐标,其中3代表磁化方向;(c)压电层的局部坐标,其中3代表极化方向Fig.1.(a)Schematic of the L-T mode plate-type ME laminate composite in the Cartesian coordinate;(b)local coordinate in the magnetostrictive layer,in which 3 denotes the magnetization direction;(c)local coordinate in the piezoelectric layer,in which 3 denotes the polarization direction.

因此,L-T模式的磁电层合材料的工作原理从物理意义上可分为三步:磁致伸缩层的纵向振动,应变的传递,压电层的纵向振动.除了Bichurin等,之前的研究者关注更多的是磁致伸缩层和压电层的本构方程,而不是层间应变的传递,其主要依赖于2-2型磁电层合材料的界面耦合情况.Dong等忽略了应变传递的损耗,并假设磁致伸缩层和压电层的应变完全相同[13],导致了理论值和实验值之间的误差.尽管他们引入了一个经验性的修正参数以调节误差[16],但该参数缺乏实际的物理意义.本质上来说,两相材料的应变并不相同.在理论分析中,首先通过运动方程分别对磁致伸缩层和压电层进行建模[17−20],然后利用一个全新的界面耦合系数将两层材料进行耦合.该界面耦合系数可以从物理意义上反映相间的应变传递,且不同于Bichurin等[11]给出的定义.

2.1 磁致伸缩层的等效电路模型

Terfenol-D是一种典型的具有立方对称性的铁磁材料.当沿长度方向施加交流磁场时,磁致伸缩层产生纵向长度伸缩振动,其本构方程为:

其中,下标m代表磁致伸缩层,S3m和T3m分别为沿长度方向的应变和应力,H3和B3分别为长度方向的磁场强度和磁感应强度,为材料沿长度方向的弹性柔顺系数,d33,m为纵向压磁系数,为材料沿长度方向的磁导率.

根据牛顿第二定律,磁致伸缩层长度方向的运动方程为

其中ρm为磁致伸缩材料的密度,u3m为磁致伸缩层沿长度方向的位移.将(1a)式代入(2)式,假设磁致伸缩层内磁场沿长度方向均匀分布,即∂H3/∂x=0,并利用应变的表达式

长度方向的运动方程可以重新写为

其中,A和B为待求常数,由边界条件确定.边界条件则以磁致伸缩层长度方向上两个端面的振动速度的形式给出

将(8)式代入(3)式,可得长度方向上两个端面的应变为:

根据力的平衡条件F=−AT,结合(1a)式和(9)式可知施加在端面上的外力需满足

图2 磁致伸缩材料Terfenol-D层的等效电路Fig.2.Equivalent circuit of the Terfenol-D layer.

图3 自由谐振时磁致伸缩材料Terfenol-D层的等效电路Fig.3.Equivalent circuit of the Terfenol-D layer under free harmonic vibration.

2.2 压电层的等效电路模型

压电层的上下表面被银覆盖形成电极.当具有无穷mm对称性的压电层沿长度方向受迫振动时,其本构方程为

其中,下标p代表磁致伸缩层,S1p和T1p分别为沿长度方向的应变和应力,E3和D3分别为厚度方向的电场强度和电位移矢量,为材料沿厚度方向的弹性柔顺系数,d31,p为横向压电系数,为材料沿厚度方向的介电常数.

根据牛顿第二定律,压电层长度方向的运动方程为

其中ρp为磁致伸缩材料的密度,u3m为磁致伸缩层沿长度方向的位移.将(1a)式代入(2)式,假设磁致伸缩层内磁场沿长度方向均匀分布,即∂H3/∂x=0,并利用应变的表达式

长度方向的运动方程可以重新写为

其中,C和D为待求常数,由边界条件确定.边界条件则以压电层长度方向上两个端面的振动速度的形式给出:

将(19)式代入(14)式,可得长度方向上两个端面的应变为

根据力的平衡条件F=−AT,结合(12a)式和(20)式可知施加在端面上的外力需满足

进一步地,将(12a)式代入(12b)式并结合(14)式,可解得电位移矢量为

将(23)式沿着压电层电极表面积分,可得电极表面感应的电荷总量为

在压电层简谐振动的情况下,其感应的电荷Q和上下电极流出的电流I可分别写作相量形式和.两者之间的关系为

图4 压电材料PZT层的等效电路Fig.4.The equivalent circuit of the PZT layer.

图5 自由谐振时压电材料PZT层的等效电路Fig.5.The equivalent circuit of the PZT layer under free harmonic vibration.

2.3 引入界面耦合系数

Bichurin等[11]提出的长片型磁电层合材料的界面耦合系数表达式为kc=(S1p−S10,p)/(S1m−S10,p),其中S1p和S1m分别为压电层和磁致伸缩层长度方向的应变,S10,p为无层间摩擦力情况下压电层长度方向的应变.然而,该界面耦合系数主要有以下不足之处:1)S10,p较难被测量或计算,且kc的表达式缺乏简单直接的物理意义;2)Bichurin等给出的定义仅适用于弹性模型中的静态或准静态激励的情况.若将其应用于动态激励下磁致伸缩层和压电层等效电路的耦合,由于S10,p的存在,在磁电层合材料的等效电路中将会出现两个不必要的机械电流源,导致推得的磁电系数表达式极其复杂.因此,有必要定义一个适用于准静态和动态激励、物理上反映相间应变传递的界面耦合系数.考虑到两相的纵向应变为

对应的相量形式为

不失一般性地,此处令

当界面耦合系数kc=1,即S1p=S3m时,两相材料的应变相等,表明磁致伸缩层的应变通过环氧树脂完全传递给了压电层,两者界面为理想耦合;当kc=0,即S1p=0,不论磁致伸缩层的应变为何,压电层的应变均为0,表明磁致伸缩层的应变无法通过环氧树脂传递给压电层,两者界面完全不耦合;当kc取值为0到1之间时,表明磁致伸缩层的应变通过环氧树脂部分传递给了压电层,kc表明界面的实际耦合程度.

由(29)式得到的等效电路如图6所示.施加在磁致伸缩层上的交流磁场小信号通过三个理想变压器最终转变为压电层感应的电压,上述三者的变比分别为磁机耦合系数、界面耦合系数和机电耦合系数.通过和Dong等[13]提出的等效电路进行比较,可以发现引入界面耦合系数使得模型更具有物理意义和简洁形式.需要说明的是,2-2型磁电材料,如磁电层合材料,其中的磁性相和压电相为二维平面接触,其间的界面较为平整均匀.而具有其他连接度的磁电复合材料,如颗粒复合材料(0-3型),其中的磁性相和压电相为三维曲面接触,且界面粗糙不均匀,虽然其磁电效应仍通过应力、应变进行耦合,但不一定能通过如(28)式所示简洁形式的界面耦合系数对其磁电耦合效应给出完整的物理解释.因此,本文提出的模型主要适用于使用环氧树脂胶或其他黏接剂黏接而成的磁电层合材料.需说明的是,图6为从磁致伸缩层观察到的等效电路,主回路中的机械电流为.压电层的机械阻抗、机电耦合系数和静态电容分别折算成从磁致伸缩层观察到的形式.

图6 L-T模式长片型Terfenol-D/PZT磁电层合材料的等效电路Fig.6.The equivalent circuit of the L-T mode plate-type Terfenol-D/PZT laminate composite.

由磁机电等效电路,可得L-T模式长片型磁电层合材料的磁电电压系数.利用分压定理,输出机械电压与激励机械电压的比值为

将各个电路元件的表达式代入(30)式,可得磁电电压系数为

3 实验前期准备

沿长度方向磁化的磁致伸缩材料Terfenol-D(由钢铁研究总院提供)被切割成30 mm长、8 mm宽的片状.为了探究磁电电压系数与层合比之间的关系,并验证最佳层合比,沿厚度方向极化的压电材料PZT-5(汉宁电子)被切割成六组不同厚度的尺寸.磁电层合材料的总厚度均为2.8 mm.所用的Terfenol-D和PZT-5的材料参数如表1所列.

表1 Terfenol-D和PZT-5参数Table 1.Parameters of Terfenol-D and PZT-5.

将两片Terfenol-D和一片PZT-5由环氧树脂胶(型号Eccoband 45BLK,Emerson&Cuming公司)黏接成三明治结构,并在机械负载下置于85°C环境中烘烤6 h,以得到更好的黏接效果,制得的样品如图7(a)所示.界面耦合系数,即层间应变传递效率受到温度和压力的影响.因此在固化过程中,将100 g和500 g两组不同的砝码放在具有相同层合比的磁电层合材料上,以提供不同的机械负载作为对比.为方便辨识,所有制得的磁电材料样品均做数字标记,具体的组合配置如表2和表3所列.

表2 500 g砝码负载下的磁电层合材料样品配置Table 2.Con fi guration of ME laminate sample under 500 g weight mechanical load.

表3 100 g砝码负载下的磁电层合材料样品配置Table 3.Con fi guration of ME laminate sample under 100 g weight mechanical load.

磁电电压系数测量系统的实验装置连接图如图7(b)所示. 一对直流电源控制的电磁铁(型号EM5,东方晨景)用于提供0—5000 Oe(1 Oe=79.5775 A/m)的可控直流偏置磁场Hbias.信号发生器(SP 1212B)和功率放大器(型号HVP-1070B,佛能科技)为亥姆霍兹线圈提供驱动信号,用于产生叠加在Hbias上的0—10 Oe可控微弱工频交流磁场Hac,并由一个高斯计(型号905,中宇环泰)检测.磁电层合材料上下表面接出的引线连接到示波器(型号TPS 2014,Tektronix),用于观察和测量输出电压.

图7 (a)磁电层合材料样品实物图;(b)磁电测量系统装置Fig.7.(a)Fabricated ME laminate sample;(b)the experimental setup for ME measurement system.

4 实验结果与讨论

4.1 磁致伸缩和压磁系数

由理论表达式(31)式可得L-T模式的磁电电压系数与压磁系数d33,m成正比,而d33,m是关于外加直流偏置磁场的函数.考虑到d33,m是磁致伸缩应变λ33,m关于直流偏置磁场的导数,首先对Terfenol-D的磁致伸缩应变曲线进行讨论.实验中,电阻应变仪用于测量磁致伸缩应变.为了测量的方便,采用从棒状Terfenol-D中切割出的沿长度方向磁化的Terfenol-D长片作为待测样品,而不是沿厚度方向磁化的Terfenol-D长片.

室温下由应变仪测得的Terfenol-D纵向磁致伸缩λ33、横向磁致伸缩λ31与直流偏置磁场的关系曲线如图8所示.通过六阶多项式拟合所测λ-Hbias曲线,并计算其斜率,得到的Terfenol-D纵向和横向压磁系数与直流偏置磁场的关系曲线如图9所示.需要注意的是,当沿厚度方向施加Hbias,测得的横向磁致伸缩系数为负值,但在图8中将其标为正值以做对比.从图8中可以明显观察到,在0—5000 Oe直流偏置磁场范围内,纵向磁致伸缩系数至少大于横向磁致伸缩系数的4倍.随着Hbias的增加,纵向磁致伸缩系数在3000 Oe附近达到了饱和值900 ppm,而横向磁致伸缩系数则持续上升,并未出现饱和迹象.两者在数值和趋势上的差异应归因于退磁场.

图8 室温下Terfenol-D纵向磁致伸缩λ33、横向磁致伸缩λ31与直流偏置磁场的关系曲线Fig.8. The longitudinal magnetostriction λ33and transverse magnetostriction λ31of Terfenol-D as a function of the DC bias magnetic fi eld Hbiasat room temperature,respectively.

图9 Terfenol-D纵向和横向压磁系数与直流偏置磁场的关系曲线Fig.9. The longitudinal piezomagnetic coefficient d33,mand transverse piezomagnetic coefficient d31,m of Terfenol-D as a function of the DC bias magnetic fi eld Hbias.

尽管纵向磁致伸缩系数远大于横向磁致伸缩系数,两者对应的压磁系数则是可比的.d33,m在300 Oe磁场下达到了高于2×10−8Wb/N的最大值,却在高于1000 Oe的磁场下迅速降至5×10−9Wb/N以下.然而,d31,m一直保持上升趋势并在高于2000 Oe磁场下超过了d33,m.

考虑到磁电电压系数与压磁系数成正比,L-T模式长片型磁电层合材料可被应用于较小直流磁场环境中提供较大磁电输出的传感器和执行器.

4.2 磁电电压系数

将样品2置于直流偏置磁场Hbias=241 Oe和交流激励频率f=50 Hz环境下,测得的纵向磁电电压与交流磁场Hac的关系曲线如图10所示.蓝色散点是实验所测数据,红色点划线是线性回归分析所拟合的趋势线.线性回归方程和相关系数表明了线性度,可以清楚地观察到在0.5—5.0 Oe交流磁场范围中,纵向磁电电压一直线性变化.因此,该趋势线的斜率即为纵向磁电电压系数,即αv=0.104 V/Oe.此外,还需注意线性回归方程包含了一个截距项,表明在Hac=0时磁电层合材料仍有电压输出.这可能是由周围环境中的恒定杂散磁场引起的,比如亥姆赫兹线圈的电场产生的磁场干扰,其可由屏蔽措施消除.

图10 纵向磁电电压与交流磁场Hac的关系(直流偏置磁场Hbias=241 Oe,交流激励频率f=50 Hz)Fig.10.The induced longitudinal ME voltage as a function of the AC magnetic fi eld Hacfor No.2 sample at Hbias=241 Oe and f=50 Hz.

图11 纵向磁电电压系数与直流偏置磁场的关系Fig.11.The induced longitudinal ME voltage coeffi-cient as a function of the DC bias magnetic fi eld for No.2 sample at f=50 Hz.

通过改变样品2所处的直流偏置磁场环境,可以进一步测得纵向磁电电压系数与直流偏置磁场的关系曲线,如图11所示.纵向磁电电压系数随着直流偏置磁场的增加而迅速上升,并在290 Oe附近磁场下达到105 mV/Oe,然后在大于500 Oe磁场下降至低于40 mV/Oe.考虑到高于50 mV/Oe的磁电电压系数是一个合理的灵敏度,L-T模式长片型磁电层合材料可工作在150—400 Oe直流磁场下用于测量较小的交流电流或磁场.由图11得到的另一个重要结论是,在0—2000 Oe直流磁场范围内,αv-Hbias曲线和d31,m-Hbias的趋势基本一致.这从实验上证明了纵向磁电电压αv正比于d33,m,而在(31)式中的其他参数,特别是层合比n和界面耦合系数kc均保持不变.

4.3 界面耦合系数

将测得的磁电电压系数αv、压磁系数d33,m、层合比n和其他参数值代入(31)式,即可计算得到界面耦合系数kc.由样品2的实验数据所得的kc如表4所列.若忽略较大或较小磁场下对应的数值,可以发现计算得到的界面耦合系数约为0.13—0.16.然而,一个样品的实验结果并不一定能反映所有样品的普遍情况.为了探求符合所有样品的界面耦合系数,进行以下两步操作:1)在Hbias,n和αv组成的三维坐标系中,绘出所有实验测得散点;2)根据最小均方误差分析,用取值0.13—0.16的界面耦合系数所构成的理论磁电电压系数曲面去拟合所测散点,具有最小均方误差的曲面即对应最合适的界面耦合系数.样品1—6的实验所测数据和三维曲面拟合结果如图12所示,其中蓝色散点代表所测数据,曲面对应的界面耦合系数为0.15.该曲面和散点符合情况良好,说明kc=0.15的正确性,也证明了(28)式给出的界面耦合系数定义的合理性.此外,也可同理得到样品7—12的界面耦合系数为0.10.

表4 由样品2的实验数据计算所得界面耦合系数kcTable 4.The calculated interface coupling factor kcof No.2 sample.

图12 样品1—6的实验所测数据和界面耦合系数为0.15的三维曲面拟合结果Fig.12.The measured data and surface fi tting result in Hbias-n-αvthree dimensional space for No.1–6 samples.

对于样品制作过程中施加不同机械负载导致界面耦合系数不同的现象,可以给出定性的物理解释.在500 g砝码负载下,层间黏接情况相对紧致,使得较多的应变由磁致伸缩层传递至压电层,从而具有较大的界面耦合系数;而在100 g砝码负载下,层间黏接较弱,层间应变传递减少,因此界面耦合系数也相对较小.

4.4 最佳层合比

根据(32)式,对于L-T模式长片型磁电层合材料而言,界面耦合系数0.15和0.10对应的最佳层合比分别为0.56和0.51.由于直流偏置磁场的改变并不影响最佳层合比,采用290 Oe直流磁场下测得的实验数据来验证对最佳层合比的理论预测,如图13所示,其中蓝色散点代表由制作过程中承受500 g砝码负载的样品所得结果,绿色散点代表由承受100 g砝码负载的样品所得结果,黑色虚线代表界面耦合系数0.15对应的理论磁电电压系数曲线,黑色点线代表界面耦合系数0.10对应的理论磁电电压系数曲线.由图13观察可得,实验测得散点与对应的理论曲线基本符合.界面耦合系数0.15对应的最佳层合比实验值为0.57,而0.10对应的最佳层合比实验值为0.50.两个最佳层合比的实验值均与对应的理论值基本符合,且两者之间的大小关系未变,即界面耦合系数0.15对应的最佳层合比实验值仍大于0.10对应的最佳层合比实验值.

图13 纵向磁电电压系数理论值和实验值与层合比的关系(直流偏置磁场Hbias=290 Oe)Fig.13.The theoretical and measured longitudinal ME voltage coefficient as a function of the thickness ratio under 290 Oe DC bias magnetic fi eld.

5 结 论

1)提出的磁致伸缩层和压电层之间的界面耦合系数可以简洁有效地反映两者的耦合程度.

2)磁致伸缩层和压电层各自的等效电路可以通过一个变比为界面耦合系数kc的理想变压器进行耦合.因此,该改进的等效电路可以反映两相之间的物理耦合效应.

3)相比于Bichurin和Dong等的研究成果,由改进的等效电路可以推导得到更准确的磁电电压系数和最佳层合比的表达式.对12个具有不同尺寸和负载条件的样品进行实验,验证了该等效电路及上述表达式的正确性.

4)提出的模型仅适用于使用环氧树脂胶或其他黏接剂黏接而成的磁电层合材料,该模型不一定能从物理层面完全解释颗粒复合材料、薄膜材料等其他磁电复合材料中的磁电效应机理.然而,若将界面耦合系数视为一个修正参数,它也许可用于解释由上述磁电复合材料得到的实验值与理论值之间的误差.

5)总之,提出的改进的等效电路模型可以为基于磁电层合材料的器件,如电流传感器[21]、磁场传感器、能量采集装置、无线能量传输系统[22]等的设计、制作和应用提供指导.

[1]Fiebig M 2005J.Phys.Appl.Phys.38 R123

[2]Nan C W,Bichurin M I,Dong S,Viehland D,Srinivasan G 2008J.Appl.Phys.103 031101

[3]Ryu J,Carazo A V,Uchino K,Kim H E 2001Jpn.J.Appl.Phys.40 4948

[4]Ryu J,Priya S,Carazo A V,Uchino K,Kim H E 2001J.Am.Ceram.Soc.84 2905

[5]Harshe G R 1991Ph.D.Dissertation(Pennsylvania:The Pennsylvania State University)

[6]Harshe G,Dougherty J P,Newnham R E 1993Int.J.Appl.Electromagn.Mater.4 145

[7]Avellaneda M,Harshe G 1994J.Intell.Mater.Syst.Struct.5 501

[8]Nan C W 1994Phys.Rev.B49 12619

[9]Nan C W 1994J.Appl.Phys.76 1155

[10]Bichurin M I,Petrov V M,Srinivasan G 2002J.Appl.Phys.92 7681

[11]Bichurin M I,Filippov D A,Petrov V M,Laletsin V M,Paddubnaya N,Srinivasan G 2003Phys.Rev.B68 132408

[12]Filippov D A 2005Phys.Solid State47 1118

[13]Dong S,Li J F,Viehland D 2003IEEE Trans.Ultrason.Ferroelectr.Freq.Control50 1253

[14]Dong S,Zhai J 2008Chin.Sci.Bull.53 2113

[15]Lou G,Yu X,Lu S 2017Sensors17 1399

[16]Dong S,Li J F,Viehland D 2004IEEE Trans.Ultrason.Ferroelectr.Freq.Control51 794

[17]Mason W P 1939Phys.Rev.55 775

[18]Mason W P 1964Physical Acoustics:Principles and Methods(Vol.1)(New York:Academic Press)p169

[19]Engdahl G 1999Handbook of Giant Magnetostrictive Materials(San Diego:Academic Press)p135

[20]Ballato A 2001IEEE Trans.Ultrason.Ferroelectr.Freq.Control48 1189

[21]Yu X,Lou G,Chen H,Wen C,Lu S 2015IEEE Sens.J.15 5839

[22]Yu X J,Wu T Y,Li Z 2013Acta Phys.Sin.62 058503(in Chinese)[于歆杰,吴天逸,李臻 2013物理学报 62 058503]