以应用为导向的研究生矩阵论公共课程教学改革的探索

谢挺 钟坚敏

摘要：作为一门重要的研究生基础课程，矩阵论对培养研究生的数学应用和创新能力具有重要作用。论文以“应用为导向”作为矩阵论课程改革的突破口，从教材及教学内容、教学过程及形式、考核体系三个方面进行探讨，并提出了具体的改革措施。

关键词：矩阵论；研究生；教学改革

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）09-0125-02

矩阵是一个重要的数学基本概念，是数学研究和实际应用中的一类重要工具。矩阵理论本身的研究是极具创造性的领域；同时矩阵理论又极大地推动和丰富了其他众多科学的发展，许多新的理论、新的方法、新的技术的诞生、发展和应用就是矩阵理论的实践和推广[1]。特别是随着信息科学和互联网技术的飞速发展，矩阵作为一种通用的信息表示形式，已经成为信息时代的重要工具。矩阵论课程在国内研究生中大规模开设始于20世纪80年代，并逐渐成为我国高校研究生的一门重要公共基础课。矩阵论不仅是后继专业课程的基础，也是对研究生进行思维模式的培养手段。为不断提高教学效果和人才培养质量，适应信息和大数据时代对人才的新要求，根据当前的培养要求、学生水平和教学特点，以应用为导向，从教材及教学内容、教学过程及形式、考核体系三个方面进行课程改革。

一、面向应用的教材及教学内容的遴选

由于矩阵理论是数学学科中的一个重要内容，其相关理论的产生、发展和早期的应用主要来源于数学代数学科。正是这样的历史原因，导致目前主要的矩阵论教材基本上都是常规数学教材的编写或是缩写。按照数学的思路来编写矩阵论教材，将不可避免地强调严格的理论证明、抽象的思维能力以及复杂的数学技巧，而忽视实际的应用知识介绍[2]。另一方面，鉴于师资力量的水平，目前大多数高校的研究生矩阵论课程基本上是由数学专业的教师担任，数学专业的教师在教学内容的选取上易偏向于理论和推导，从而导致课程的理论化、公式化，使得学生失去学习兴趣，极大地影响后续课程的学习和人才培养质量。

在面对目前存在的教材选择及教学内容选取两方面的问题时，可以根据各个学校及各类层次的研究生培养实际情况尝试不同的应对策略。第一，当学生规模达到一定数量时，针对不同的学科类别进行开班，不同学科的学生可以尝试不同的教材，特别是一些“新理论、新方法、新技术”[3]。不同学科背景的教材能够很好地体现矩阵论在该学科中的具体应用形式，能让学生有针对性地做好知识储备。如：有的偏重于计算，有的偏重于理论，有的偏重于应用等等。第二，在编写教材时，为了扩大受众面，往往将内容编写得多而全。目前大部分教材基本上都包含了线性空间与变化、矩阵分解、矩阵分析、特征值的估计、特殊矩阵、矩阵的广义逆等内容。可以根据工科中使用矩阵理论的主要方面和发展方向，在有限的课堂教学时间内将教学内容做适当的选取，明确主次，提高教学的效果和针对性。一般来说主要学习范数、矩阵分解、广义逆、矩阵的积分与微分、特征值的表示与估计、矩阵微分方程。同时，可以考虑结合研究前沿增加非负矩阵分解、Matlab软件等内容。第三，在教材选定、教学内容确定的情况下，任课教师在教学安排时对相关内容的处理也非常关键。既要考虑到矩阵论课程的整体性，也要突出其在工程应用中主要涉及的内容；既要考虑到其理论推导的逻辑性，也要兼顾其学习主体的数学基础。课程中教与学难度较大的内容，如Jordan标准形的理论推导等可作适当处理，在整体上讲清思路及应用方法，在具体推导的细节上省略。

二、面向应用的教学过程和教学组织形式

在矩阵论课程的教学过程中，由于研究生人数的不断增加，每个教学班级的人数显著增加，使得教学过程中出现了类似于本科的大班公共课程教学中出现的一些问题，即“本科化”：采用传统的教师讲、学生听的传授式教学模式；缺乏培养学生研究能力的实践环节；教学信息量小；教学过程中学科交叉少；缺乏发现问题的创新精神[4]。对于经过大学培养阶段的研究生，一般都具有较好的自学和思考能力，对于他们来说，记住多少数学知识不应该是主要的目标。在教学过程中应主要培养思维方式和应用能力，运用矩阵视角来观察问题、分析问题、解决问题，从而达到掌握矩阵方法，提高解决实际问题的能力。

良好的教学过程和组织形式能提高教学效果，在目前大班教学的现状下，可以从强化應用思想、丰富教学手段、增加实验课程、推广问题驱动、加强科研引导等方面开展改革尝试。第一，矩阵理论虽然应用广泛，但是其基础理论比较抽象。为了教学中深入浅出、通俗易懂，必须和相关的背景相结合，以问题为导向来考虑相关概念的讲授和理解。比如：在非负矩阵分解中，矩阵可视为一组基的线性组合，结合压缩感知背景就很易理解。第二，在丰富教学手段方面，采用“黑板+课件”的讲课形式，定义、定理及相关结论全部在课件上显示，理论推导过程在黑板上进行同步讲解。同时，可适当引入数值实验课程，以Matlab软件为平台，将模拟实验和理论课程相结合，不断提高学生的应用能力。第三，大力推广问题驱动的教学模式。在学习矩阵理论时，要首先使学生对此知识点的某个工程应用背景有所了解，在相关问题的驱动下开始课程的学习。例如，在线性定常控制系统中系统的极点是一个重要指标，而其刚好是矩阵的特征值，给出了特征值或其范围，就确定了控制系统的稳定性、可控性[5]。其次，介绍新知识、跟踪新技术也是一种重要的问题驱动模式，对提高学生发现和联系问题的能力，增强创新意识具有重要作用。第四，数学建模是培养学生在交叉学科间开展探索研究能力的主要手段[5]。数学建模的过程就是利用数学工具解决实际问题的过程。在稀疏优化模型、系统控制模型、数据预处理模型等常见的数学建模中都利用到矩阵相关理论。如：曲线拟合问题中给出了一组数据要求找出其规律，该问题最后可通过最小二乘法转化为解线性方程组。第五，在教学过程中加强对科研思想的引导，可从两个方面考虑：一是要求学生阅读一定量的涉及学科研究前沿并与课程相关的中英文论文，并把文献的研讨作为课程的重要内容；二是可为学生提供难易适度、既有挑战性又有操作性的研究主题，让学生通过思考、讨论来解决问题，培养其科研思维能力。

三、面向应用的课程考核体系

考核对一门课程的建设具有指导性作用，它直接反映了一门课程的教学效果和培养重点。传统的“本科式”教學模式的考核形式为“期末考试+平时成绩”，这种以考核学生解题能力为主的方式基本不涉及到应用和创新能力的考核。矩阵是一种重要的数学工具，其培养目标主要是要求学生能够熟练地利用这种工具来分析和解决问题。因此矩阵论课程的考核目标应是在掌握基本知识的基础上具有灵活应用的综合能力。

为加强过程考核，提高学生的应用能力，可将课程考核分为四个部分：内容考核、综述考核、计算考核、应用考核。第一，内容考核。主要是知识点的考核，主要以传统的试卷形式开展，占总成绩40%左右。第二，综述考核。将相同专业的3-5个学生分为一组，要求在期末时提交一篇以“矩阵论在本专业中应用”的综述文章，占总成绩的20%左右。第三，计算考核。在矩阵论学习时要求熟练掌握Matlab软件和一些算法，课程中期可以安排一次编程作业，如矩阵分解、特征值等，占总成绩的10%。第四，应用考核。将学生按照专业3-5人分为一组，解决一个难度适中的实际问题，从问题的提出、分析、建模、计算等流程来进行，最后形成一遍应用驱动的论文，例如对“图像处理中的非负矩阵分解”问题来进行简单研究。占总成绩的20%。

一方面，随着科技和经济的不断发展，对矩阵论课程的教学质量提出了更高的要求；另一方面，随着研究生教育改革的不断深入，对矩阵论课程的教学模式产生了深刻影响。在如何开展面向应用的矩阵论课程教学改革、将数学工具与相关专业有效结合等方面，还有很多的发展空间。因此，在面向应用的导向下，应不断开展矩阵论课程的教学研究，不断提高创新型研究人才的能力和水平。

参考文献：

[1]罗从文，王高峡.“矩阵论”课程教学中理论与应用相结合的思考与探索[J].中国电力教育，2012，（26）：76-77.

[2]崔景安，张艳，王晓静，郑连存.与工科专业相结合的矩阵论课程教学改革的探索[J].高教研究与实践，2014，33（1）：38-41.

[3]毛立新.面向工程应用的矩阵论课程教学改革与实践[J].科教文汇，2016，（5）：26-27.

[4]刘碧玉，刘庆平，唐先华.工科研究生矩阵论课程教学改革的探索与实践[J].数学理论与应用，2013，33（1）：125-128.

[5]赵礼峰.工科研究生矩阵论课程教学改革研究与实践[J].大学数学，2013，29（4）：1-3.