原汁数学：让思考真正发生

涂玉霞

作为教育工作者，我们时常听到不少学生在诉苦：数学太难，数学太枯燥，数学太无聊……他们对数学的抱怨、害怕甚至恐惧中外皆然，这几乎是一个世界性难题。美国数学教授阿瑟·本杰明甚至把“消除数学恐惧症”，作为自己的一个重要研究课题。

那这一症结在哪里？长期的一线教学实践让我发现，原来是一些教师把数学课上成了“刷题课”“灌溉课”“记忆课”：这个题这样解，那个题做的时候分这样几步，这道题直接用公式……这不是要把天真活泼的学生当成技工、程序员乃至大容器吗？他们哪来的真正思考？

每门学科都有自己的独门绝技。学科教师只有掌握了它，才能让学科的育人价值闪闪发光。比如，体育课用来强健体魄，语文课用来厚积薄发，音乐课用来载歌载舞，而数学课则是用来发展思维，故：不思维，无数学。

原汁数学的教育理念，就是要让学生学真数学，做真思考。那什么样的数学课才能成为原汁原味的数学课呢？要在三“找”中凸显三“原”。

一、找“勾子”，凸显数学原型：生活、经验

这个“勾子”是什么意思？就是知识与生活、理性与经验、旧知与新知、理论与实践等的联结。通过联结，让死的知识鲜活起来，让抽象的知识具体起来，让枯燥的知识生动起来。

1. “勾住”现实生活，让学习有价值感

数学家华罗庚说：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学。”心理学研究表明，我们的大脑天生对与自己生活相关联的有意义、有意思的事物感兴趣。因此，原汁数学课堂提倡大数学观，从丰富的生活中汲取学习素材，找到数学原型，从而体会解决问题的乐趣。

例如，我工作室王芳老师“加减法的意义和各部分之间的关系”内容的原汁数学课堂场景是这样的：

前两天，老师回了一趟老家，正好赶上帮妈妈卖小麦。利用商贩的磅秤，老师先称了称自己的体重，是56千克。老师的妈妈称了称自己，是52千克。然后，老师和妈妈一起称了称，是110千克。按照两人单独称的重量来计算老师和妈妈的体重之和，应该是56+52=108（千克）。但当两个人一起称时，为什么不是108千克？秤中藏有什么“猫腻”？谁来猜一猜或算一算？

生1：加数+加数=和，但这里两个数的和与秤的总重量不相等，一定是秤有问题。

师：是啊，你真会思考，利用加法各部分之间的关系进行反思，分析得出秤有问题。站在商贩的角度想一想，如果要在秤上做点“文章”的话，他会把实际的物品称得轻一些，还是重一些？

生2：当然是轻一些，这样他可以把农户的小麦总数秤得比实际轻一些，从而少付农户小麦钱。

师：分析得相当好，根据这些数据仔细推算一下，商贩是怎样在秤上做“文章”的？

生3：商贩有可能把每次称的重量少2千克。当老师秤的体重是56千克时，实际应该为58千克；当妈妈秤的体重是52千克時，实际上应该是54千克。所以，当妈妈和老师一起称时，会比实际之和少2千克，为58+54-2=110（千克）。

生4：其实，实际重量应为112千克。

……

这里呈现的材料与我们以前见过的材料有什么不同？它具有现实性，既具有生活的真实，又是学生熟悉且有经验的；它具有数学味，学生的生活经验蕴含着数学实质的种子；它具有发展性，提供了用数学知识解释现实现象的机会。

谈到数学生活化，许多教师认为就是从生活中找到相关数据或者随意编造故事情境，将其运用在教学之中，这是有失偏颇的。学习的最大快乐在于学习者在解决问题的过程中发现自己的智慧，为此教师要尽量提供具有现实意义的问题让学生去探究，以培养学生用数学的眼光观察世界的

能力。

2. “勾住”已有经验，让新知有生长点

数学学习呈螺旋式上升的特点，主要包括两个方面：一是学生数学思维水平发展的阶段性特征；二是人在认识对象时总是遵循由表及里、由浅入深的过程，且后续学习总会影响对先前学习对象的认识。因此，教师教学要尽可能地运用旧知重新主动构建新知，才能使新知稳稳

立住。

例如，我工作室杨利雄老师“百分数”内容的原汁数学课堂场景是这样的：

课件出示三种规格的蛋糕（见图1）。

师：有位顾客要买最大的，你推荐几号蛋糕？

生：推荐3号，因为3号最重，是50克。

师：从蛋糕的重量上一眼能看出，3号蛋糕最大。

师：如果另一顾客想吃最甜的，他应买哪一种？说说你的理由！

生1：推荐3号，3号含的糖最多。

生2：3号不是最甜的，只看一个数据不能说明3号最甜。

生3：我们应该先求出每款蛋糕的含糖量，再来进行比较。

师：到底哪种蛋糕最甜，我们用什么办法来比较？

生：1号蛋糕的含糖量是 ，2号蛋糕的含糖量是 ，3号蛋糕的含糖量是 。

师：这样能一下子比较出来吗？

生：需要通分，含糖量分别为： 、

、 。所以2号蛋糕最甜。

师：类似 、 、 这样的分数，我们还可以写成：15%、16%、14%，即我们所说的百分数。

百分数的根在哪里？分数有两种意义，一是表示分率，二是表示具体数量，而百分数是表示分率的分数的特殊形式。教学过程中，教师要对其进行分析、澄清、引导、回应，实现学生对旧知的创造性转换、沟通、交融。这样的一个过程，可以看作学生对知识原有基础的发展或转变，而不是新信息的点滴累积。

维果斯基的“最近发展区”理论认为，学生的发展有两种水平：一是学生的现有水平，指独立活动时所能达到的解决问题的水平；二是学生借助成人或更有能力的伙伴的帮助所能达到的水平，两者间的差异就是“最近发展区”。原汁数学课堂设计的教学问题，紧紧扣住学生的“最近发展区”，暴露学生的前概念，从而引发认知冲突并衍生新知识，让新知有生endprint

长点。

二、找“路线”，立足数学原本：抽象、推理和转化

要做一桌美味佳肴，办好食材后，我们需要通过煎、炒、烹、炸、溜、煸、焗、蒸等方式把它做成可口的菜肴。数学学习也是如此。“勾住”好的知识和经验，现在要做的就是找到合适的路线，把它变成学习能力。

数学学习的原本是发现实际问题中的数学成分，对其做符号化处理，从而把实际问题转化为数学问题；对符号化的问题做进一步的抽象化处理，以推理方式尝试建立和使用不同的数学模型，并将其发展为更完善、更合理的概念框架。

1. 抽象：明线到暗线的过程

抽象是一种更高级的理性，它的过程大体是这样的：从解答问题出发，通过对各种经验事实的比较、分析，排除那些无关紧要的因素，提取研究对象的重要特性 （普遍规律与因果关系）加以认识，从而为解答问题提供某种科学定律或一般原理。简言之，就是：分离—提纯—

简略。

例如，我工作室程丽云老师“搭配”内容的原汁数学课堂场景是这样的：

现在，我们来看教师如何设计问题（见图2），以帮助学生找到路线进行抽象。

问题1：每次都这样画图多麻烦，有没有更简单的办法？（第一次抽象：把物品用字母或者数字代替）

问题2：每件上衣都可以与3条裤子搭配，2件上衣表示有几个几？你们能够用算式表示这种搭配关系吗？（第二次抽象，用算式表达图示）

问题3：小红同学的衣服有6种穿法，小朋友猜一猜，她可能有几件上衣、几件裤子？（第三次抽象，用算式来解释方法：6=1×6；6= 2×3。1件上衣，6条裤子；6件上衣，1条裤子；2件上衣，3条裤子；3件上衣，2条裤子）

由于学生思维发展水平不同，我们对数学抽象不能做“一刀切”的要求，但应让学生感知到抽象的过程，这是思维在碰撞、交织的利好机会。《了不起的盖茨比》中有句著名的话：“每逢你想要批评任何人的时候，你就记住，这个世界上所有的人，并不是个个都有过你拥有的那些优越条件。”教师掌握着知识的优越条件，但要防止知识诅咒（以为自己表达得很清楚，但别人却不知晓），学会用搭梯子的方式，让学生经历知识抽象的

过程。

2. 推理：由大到小或小到大的过程

逻辑推理主要有两种形式：一是归纳推理，二是演绎推理。归纳推理，由小到大的推理，是一种从特殊到一般的推理；演绎推理是命题内涵由大到小的推理，是一种从一般到特殊的推理，一般表现为大前提、小前提、结论的三段论模式。

例如，针对“正方体的展开图”，教师可以设置这样的原汁数学课堂场景，提出：（1）这是刚才剪开的正方体展开面（见图3），你们能够在这些展开图中用“上下左右前后”来表示各个面吗？（2）是不是只要是6个正方形的展开图就可以围成正方体？下面这两种展开图（见图4）可以围成正方体吗？为什么？

这两类问题都需要学生通过推理的方式进行解决。相邻必有重合点，对面没有重合线，可以得出规律：每行相间是对面，再看Z端找对面。所以，分析展开图的情况（小前提）时，可以依据这个大前提确定结论。

许多教师认为上好这堂课很难，学生很难听懂，会采用分类的方式开展教学，这虽然有其可取之处，这一环节也是需要的，但是要让学生有了充分理解才去记忆，正如先有算理再有算法。

3. 转化：A类到B类的过程

原汁数学的课堂，数学教师的每次新授都是在帮学生找到一个转化点，或把未知条件转化为已知条件，或把一个综合问题转化为几个基本问题，或把不易懂的内容转化为熟悉的内容。

例如，在讲授“等差数列”的教学内容时，教师可以设计这样的原汁数学课堂场景。小学数学拓展内容中，等差数列求和的讲授内容最难，不是因为计算繁杂，而是由于学生求项数有困难。虽然有求项数的公式：（末项-首项）÷公差+1，但学生根本不懂为何要这样算。如果把它转化为植树问题，就会迎刃而解：多少棵树=多少

个数。

师：我们在每个数上栽一棵树，一共有多少棵树？

生：从第3米开始栽树，每隔3米栽一棵，一直栽到102米，所以总长是102-3=99（米），间隔长是3米，所以树应该是：（102-3）÷（6-3）+1=34（棵）。

师：树的棵数与数的个数有什么关系？

这时学生很快就会发现，相邻数的差=相邻两棵树的距离，棵数=（最后距离-起始距离）÷间隔长+1，所以项数=（末项-首项）÷公差+1，公差就是间

隔长。

转化过程中，努力实现学习迁移，特别是原理和方法的迁移，从而较快地提高学生的学习质量和数学能力。

三、找“钥匙”，凸显数学原则：严密有理

思维发展过程中，重要的是获得智慧，获得经验，获得思想，然后用它们来解决更多的问题。因此，每节数学课不唯“钥匙”，但要有“钥匙”。德国著名天文学家、数学家约翰尼斯·开普勒说：数学是研究千變万化中不变的规律，这个规律就是数学学习的“金钥匙”，凸显出数学的严密有理。

例如，在讲授“解决问题”相关内容时，教师可以设计如下的原汁数学课堂

场景。

师：当当文具店里，同样的钢笔每支5元，每盒40元（10支），涂老师准备买9支钢笔，奖励给书法比赛获奖的同学，你建议老师怎么买？

生1：买一盒，只要40元，如果单买9支，要45元。这样我们可以多得1支笔，很划算。

生2：老师，为什么同样的笔，买10支比买9支还要便宜些？

师：这是个好问题。商家经常会搞一些促销活动，整盒（整袋、整包）的商品单价会便宜一些。以后买东西时，如果商品质量一样，你们可以怎么做？

生3：谁划算，我们就优先谁。

师：生活中有许多这样的例子，只要合理安排，就可以让我们少花钱、办endprint

好事。

又如，学校组织20名教师赴武当山参加全国书法比赛，如何租车会比较合算？（大车一辆5000元/12人，小车2000元/4人）

生4：首先考虑谁划算就优先谁，大车每人只要400多元钱，小车每人要500元，所以我们尽量租大车。19个人需要5000×2=10000（元）。

师：两辆大车可以坐24人，空了5个位置看上去有些浪费。

生5：小车刚好可以坐滿。20÷4=5（辆），5×2000=10000（元）。这种座位不浪费，钱一样多，我觉得好些。

师：还有更好的办法吗？

生6：这两种车都租用。20=12×

1+4×2，一辆大车，两辆小车。5000+

2000×2=9000（元），钱用得少，座位也没有多余的，避免浪费。

师：是的，全部用大车会浪费座位，全部用小车会导致每个人的车费增加，所以可以找一个折中的办法，就是：先就大车，剩下的安排到小车上去，两边来凑。

通过比较不同方案，重点是传递给学生一种策略：安排要既经济又合理。本节课的钥匙则是：算单价，谁划算，优先谁；如浪费，要调整，两边凑。

对于合理安排时间的教学，应侧重让学生知道如何巧妙安排，同时做一些事情，从而节省时间。可以用流程图表示做事的次序，让隐性思维显性化，从而得到本节课的钥匙：先排序→再安排；同时

做→省时间；流程图→写关键。

《高效演讲》一书讲到一个非常有趣的观点，那就是好的演讲特别要注意三个环节：坡道，巧妙开场，一句话引起听众的最大兴趣；发现，循序渐进，刺激听众主动发现演讲要点；甜点，完美收尾，让听众记住你的演讲。在我看来，数学的“钥匙”就是学生数学学习的甜点，让他们获得解决诸多此类问题的乐趣。

学数学的过程原本是一个智力还原的过程，是一个灵魂冒险的过程，是一个知识建构的过程。本质上，学数学与搭积木是同一类别的智力游戏，充满想象，充满诱惑，充满惊险，充满喜悦，兴味盎然，精彩无限。我们希望通过原汁数学，改变学生对数学的刻板印象，解除学生学数学的烦恼，让数学学习回到它的本来状态，回到简单，回到朴素，回到生活，回到有趣，让思考真正发生。

原汁数学，一言以蔽之，曰：思无穷！

责任编辑：孙建辉

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