运动皮带受带轮跳动激励的横向振动分析

朱玉田，郑昌隆，刘 钊，张攀登

（同济大学 机械与能源工程学院，上海 201804）

轴向运动连续体应用在各种各样不同的机械系统中，例如高速磁带和纸带、空中缆车索道、含有流动流体的管道以及动力传递链条和动力传递皮带[1]。由于传输速度的存在，这些系统会沿横向产生复杂的动力学行为，引起有害的振动[2]。同时，考虑支点处带轮跳动激励影响下的运动皮带系统，具有重要的工程应用背景。例如，在发动机前端带装置中，带的横向振动会增加发动机前端的噪声，降低带的寿命，影响发动机可靠性和乘坐舒适性[3]。运动皮带横向振动特性分析以及对一般激励的响应求解，可用于许多技术装置的特性分析和优化设计。

带轮跳动激励下轴向运动皮带的横向振动稳态响应，目前多采用近似解法，基于Galerkin截断对轴向运动弦模型或轴向运动梁模型作离散化处理，得到运动微分方程的数值解[4]，尚未有理论推导解析解的方法。但数值解法即使在很简单的情况下也不能求得闭合形式的解，只能在对应阶数给出一个近似解，且这种解法相当繁琐。

通过复振幅方法，将运动微分方程表达为复数形式，利用复数的性质和简谐激励稳态响应的规律，可以分析带轮跳动激励下运动皮带的横向受迫振动，求得受迫振动稳态响应的解析解。对稳态响应结果做频域分析，可了解响应的幅频、相频特性，得到其与激励频率的特性曲线，并可求出系统共振频率。

1 横向振动运动方程

带传动是工程中应用十分广泛的传动装置，虽然结构简单、造价低廉，但是传送带工作时会产生人们不期望的横向振动。以前对带轮跳动激励下运动皮带横向振动模型的研究集中在自由振动方面，受迫振动稳态响应解析解方面的研究在公开报道中没有见到过。

弦和梁是最常见的皮带简化模型，当皮带轴向尺寸较长时，可忽略弯曲刚度。皮带工作时都是有轴向运动的，轴向运动速度不可忽视，需要考虑其对横向振动的影响。皮带在运转过程中产生的横向振动主要由带轮垂直于皮带的跳动引起。在大多数运动皮带受迫振动的工程问题，如动力传动皮带或动力传递链条中，主要关心系统稳态响应，受迫振动的过渡过程不是主要研究内容。将运动皮带系统近似为两端简支的轴向运动弦线模型。两端的皮带轮均存在跳动激励，将其作近似简化处理，将一端带轮视为固定，其跳动叠加到另一端带轮处，即运动皮带只在右端运动简支处受到带轮跳动激励，带轮跳动激励下运动皮带横向振动模型如图1所示。

图1 带轮跳动激励下运动皮带横向振动模型

图1中，v为弦线沿轴心线方向的轴向运动速度，l为皮带总长度。设皮带单位长度的质量为ρ，张力为P，运动皮带在坐标轴面内作平面振动，皮带的横向位移用w=w(x,t)表示，它是轴向坐标x和时间t的函数。

利用Hamilton原理，参考Wickert和Mote建立轴向运动弦线横向振动运动微分方程的方法[1]，建立带轮跳动激励下运动皮带系统的微分方程如下

由上面分析可知，带轮跳动激励下运动皮带横向振动稳态响应问题归结为方程式(1)的稳态响应求解。

2 单频激励稳态响应求解

受迫振动稳态响应一般可以通过频域分析的叠加原理进行求解。当周期性的支点跳动激励wl(t)包含多个谐波成分时，可以通过叠加原理将每个谐波的响应叠加起来得到总的响应。所以单频激励下的稳态响应求解是频域分析的基础。

设支点跳动激励为以下单频简谐激励时

由连续体振动系统的简谐激励稳态响应规律，设运动皮带横向振动稳态响应的表达式为

式(3)中wu(x)为皮带横向振动的振幅或其相反数，θ(x)为相应的振动相位差。把式(3)代入式(1)的运动微分方程并表达为复数形式，得到

其中i为虚数单位，W(x)为复数，是皮带横向振动位移w(x,t)的复振幅，W(x)=wu(x)eθ(x)i。把式(2)代入式(1)的边界条件并表达为复数形式，得到

将式(4)、式(5)整理后合并得

根据式(6)的特征方程，解出上述复系数2阶线性微分方程的对应特征值为[5]

通解为

由式(8)通解形式，根据边界条件，求得对应特解为

根据复指数的恒等关系

将式(9)表达为

定义基准参考圆频率ω0为

由后面分析可知，ω0即带轮跳动激励下运动皮带横向振动的一阶共振频率。将其代入式(11)得

将式(11)复数形式的解，写出对应的稳态响应时域表达式

其中

由此，利用复数的性质和简谐激励稳态响应的规律，通过复振幅方法得到了带轮跳动激励下运动皮带横向振动稳态响应闭合形式的解，且求解过程比较简单。对于由式(l)表示的连续体运动微分方程的受迫振动稳态响应问题，采用Galerkin截断对轴向运动弦线模型或轴向运动梁模型作离散化处理，得到运动微分方程的近似数值解[6]，即使在很简单的情况下也不能求得闭合形式的解，只能在对应阶数给出一个近似解，且这种解法相当繁琐。得到闭合形式的解析解后，可进一步分析轴向运动系统振动特性、得到系统受迫振动时的共振频率，指明改进系统性能的方向，并且可方便地作为考核如瑞利-立兹法、伽辽金法等数值方法有效性和可靠性的算例。

3 单频激励稳态响应特性

3.1 稳态响应的频率特性

由横向振动稳态响应表达式(14)得振幅或其相反数沿轴向坐标x分布wu(x)与激振频率ω的幅频特性函数为

对应的相位差沿轴向坐标x分布θ(x)的相频特性表达形式为

由公式(15)、式(16)，当v=9.63 m/s，c=51.8 m/s，l=0.59 m，wlu=0.005 m时，给出的幅频特性wu(x,ω)和相频特性θ(x，ω)图线如图2、图3所示。

图2 皮带横向振动幅频特性wu(x,ω)图示

图3 皮带横向振动相频特性θ(x,ω)图示

带轮跳动激励下运动皮带横向振动最大振幅wumax(ω)随频率ω的变化关系如图4所示，纵坐标表示wumax(ω)与wlu比值，即振幅放大倍数。

3.2 共振频率

由图4知，带轮跳动激励下运动皮带横向振动会出现共振现象。当频率ω为基准参考圆频率ω0的整数倍时，运动皮带发生共振。由此得皮带共振频率ωn为

图4 运动皮带横向振动最大振幅频响特性

4 工程应用实例与试验验证

带轮跳动激励下运动皮带的横向振动分析有重要的工程应用背景。某型客车尾部发动机与空调压缩机的连接皮带，在车辆运行过程中存在明显的共振现象，产生较大的振动与噪声。皮带跳动的激励源是发动机与压缩机工作过程中产生的激励力和激励扭矩，表现为皮带两端带轮的跳动激励，主要为2阶、3阶、4阶、6阶。

在实车上对应位置安装皮带，测量皮带张紧力、皮带静态固有频率。在空调压缩机正常工作时，利用激光位移传感器测试带轮不同转速下的皮带横向振动响应。记录下对应皮带张紧力、带速、静态固有频率、实验结果，并根据式(15)计算得对应共振频率。皮带试验实物图如图5所示。

图5 皮带试验实物图

然后通过改变皮带张紧力来调整皮带静态固有频率，分别依次做以上试验步骤。试验结果整理如表1。

不考虑带速影响时，理论上最高阶（6阶）激励频率低于试验测得皮带静态固有频率，运动皮带不会产生共振现象。但由实际结果可以看出，在某些转速下，皮带振动明显。比较最高阶激励频率与利用复振幅方法求解得到的共振频率，则可以得到与实际情况一致的结果。如：皮带张紧力为900 N，带速为9.6 m/s时，带速对皮带共振频率的影响较小，最高阶激振频率比1阶共振频率低很多，皮带无明显共振现象；当皮带张紧力为900 N，带速为21.4 m/s时，带速对皮带共振频率的影响较大，共振频率与皮带静态固有频率有明显差异，最高阶激振频率比静态固有频率低但大于1阶共振频率，皮带出现明显共振现象。

当带速v量级与静态弦中波的传播速度c相当时，其对轴向运动皮带受迫振动共振频率的影响不可忽视，使皮带共振频率变小。大多数工程应用中激振频率小于共振频率，所以共振频率越小越容易共振，最高阶激励频率要小于1阶共振频率。可以根据本文共振频率的计算方法，通过确定合理的张紧力范围，来避免或减弱系统的共振现象。

表1 实验结果汇总表

5 结语

轴向运动连续体的稳态响应求解为工程应用中常见的问题，但考虑带速影响的理论求解方法较少。通过建立带轮跳动激励下运动皮带横向振动运动微分方程，利用简谐激励响应规律与复振幅求解方式结合，得到了横向振动稳态响应的解析解。根据稳态响应解析解的表达式，分析皮带横向振动的幅频、相频特性，得到最大振幅频响特性曲线，并在此基础上分析系统共振特性，求出带速影响下系统共振频率。最后通过工程应用实例，试验验证计算结果，证明求解方法的合理性和有效性。

轴向运动连续体受迫振动稳态响应的理论求解，间接揭示系统特性并指明改进性能的方向，可推广应用于多种轴向运动系统以及进一步设计能有效抑制振动噪声的结构。同时，这些闭合形式的理论解可方便地作为考核如瑞利-立兹法、伽辽金法等数值求解方法有效性和可靠性的算例。

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