基于傅里叶变换的数字散斑照相测量

曾 媛, 钱晓晨, 顾页妮, 韩朝霞, 陶春先

(1.上海理工大学 上海市现代光学系统重点实验室, 上海 200093;2.上海理工大学 光电信息与计算机工程学院, 上海 200093;3.上海理工大学 教育部光学仪器与系统工程研究中心, 上海 200093;4.上海理工大学 上海光学仪器研究所, 上海 200093)

引 言

数字散斑照相(DSP)测量技术采用数字信息处理技术,可以处理物体表面变形前后的数字散斑图像[1- 4]。该技术具有复谱重建、相移及噪音去除等功能,可改善相关条纹场的质量,尤其是所有的信息记录与再现过程都由计算机图像处理系统自动完成,这无疑提高了DSP测量的精度。

当今已有多种DSP测量方法的应用[5- 9],并对提高测量精度、条纹分析等进行了探讨[10- 12]。条纹分析是进行变形场测量的前提,逐点滤波技术可以测量变形场内各点位移的精确值,利用数字方法实现散斑图的双曝光,可以在傅里叶变换频谱分布中产生Young’s条纹[13]。但是由于衍射晕函数的影响,很难得到高质量的条纹图,从而降低了位移场的测量精度[14]。为了提高数字散斑照相Young’s条纹的质量,本文用傅里叶变换方法实现了双曝光散斑场的全场数字化测量。通过对双曝光散斑图进行傅里叶变换,可得到清晰的条纹图,再对其进行灰度归一法和相位构造法优化,最终实现变形场的精准测量。

1 数字散斑照相条纹分析

1.1 数字散斑照相频域分析

利用傅里叶变换技术(FTM)进行数字散斑计量与光学傅里叶变换进行散斑计量,二者本质上是一致的,但通过前者很容易得到其谱面复振幅分布,而后者则常需借助光学处理系统在接收面上得到其强度分布[15]。由于复振幅包含振幅与相位两种信息,通过对谱进行处理,即可实现双曝光散斑场的全场数字化计量。

我们将散斑图像分成一系列子区域,在子区域内位移较小的情况下,可认为子区域内物体的形变是均匀的,设位移量为d,放大率M为1,变形前后该区内光强分布分别为f1(x,y)、f2(x,y),且有f2(x,y)=f1(x-u,y-v)+n(x,y),其中u、v分别为d在x和y方向上的分量,n(x,y)表示散斑记录时伴随的随机噪声。

令H1(fx,fy)和H2(fx,fy)分别表示变形前后散斑图的频谱,对变形前后散斑图分别作傅里叶变换,可得到:

(1)

(2)

式中:ξ{}表示傅里叶变换算符;fx、fy为频率f分量的频谱坐标;δ为积分子区域;φ1为频谱的相位,N(fx,fy)为随机噪声的频谱。由式(2)发现,在忽略噪声情况下,变形前后散斑场的傅里叶谱仅仅相差形变引起的相位项Δφ=exp[j2π(ufx+vfy)]。

1.2 Young’s条纹分析

利用变形前后的两幅散斑图,双曝光散斑场可以用相加或相减的方式实现,等价于干版记录的双曝光散斑图。对所得的双曝光散斑图作傅里叶变换,由线形性质可得

(3)

频谱面上光强分布为

(4)

(1) 灰度归一化法

(5)

然后通过对条纹分布I(fx,fy)作归一化运算,得到纯余弦形式的条纹分布为

(6)

(2) 相位构造法

相位构造法是直接通过计算提取相位项。如果能够利用变形前后散斑图的频谱得到包含位移的相位项φ=exp[j2π(ufx+vfy)],就可以获取低噪声高对比度的散斑条纹,从而忽略调制项的影响。由散斑图频域性质可知,两频谱中均包含着与形变无关的相位项exp(jφ),为将此项去除,取式(1)的复共轭并与式(2)相乘,得到归一化形式

(7)

式中2π(ufx+vfy)为我们所需的包含变形场信息的相位项。以上得到的频谱Hmul(fx,fy)包含实部Hre和虚部Hvi两部分,则相位项可表示为

(8)

通过式(8)获得构造Young’s条纹图,其表达式为

I(fx,fy)=1+cos[φ(fx,fy)]=1+cos[2π(ufx+vfy)]=1+cos[2π(d·f)]

(9)

图1 Young’s条纹几何示意图Fig.1 The schematic diagram of Young’s fringes

因此条纹分布满足关系

(10)

式中N为条纹级数。

1.3 位移场计算

如图1所示,Young’s条纹表征着位移信息,可通过条纹的空间周期和斜率计算位移场。设条纹间距为δ,θ为条纹与fx轴的夹角,(fx1,fy1)、(fx2,fy2)分别为第N级和第N+1级条纹上的两点,由式(10)得

(11)

对式(11)中两式相减,得到

u(fx1-fx2)+v(fy1-fy2)=1

(12)

根据图1所示几何关系得

(13)

由此得到变形场水平方向的位移表达式

u=1/Δfx=λfsinθ/δ

(14)

式中,λf可看作物面坐标(x,y)和频谱面坐标(fx,fy)的坐标变换常数。

同理,竖直方向位移为

v=1/Δfy=λfcosθ/δ

(15)

上面的计算是在θ≠0,π/2情况下推导的,但位移结果不受此条件限制。实际情况中M≠1,得到物体位移表达式

(16)

与条纹分析相比,通过条纹的频谱性质提取位移会更方便直观。如图2为Young’s条纹频谱图。利用余弦函数的频谱性质可以在二次频谱上得到变形场。对式(9)作傅里叶变换,由余弦函数变换性质可得

(17)

图2 Young’s条纹频谱图Fig.2 The spectrogram of Young’s fringes

G(ωx,ωy)为脉冲扩展函数,在二次傅里叶谱上表现为位于原点及点(±u,±v)的峰,通过检测此峰的位置我们可以得到ωx,ωy方向的分量u,v及形变方向与水平方向的夹角θ,进而得到位移向量d。

由于位移场相位表达式不仅包含变形场d,还包含了坐标矢量r,故并不能通过所得相位值直接计算位移。因此实现位移和坐标矢量的分离成为关键。对于散斑图较小区域,相位表达式为φ(fx,fy)=2π(ufx+vfy)。由于所取的区域较小,变形场d可以看作是常量。满足上面条件时,φ(fx,fy)仅为坐标矢量r(x,y)的函数,因而可以对相位φ(fx,fy)分别求fx,fy方向的偏导数,位移分量u、v表示为

(18)

系统的成像放大率由成像透镜和CCD等多种因素共同决定,因此较为复杂。如果是客观散斑场,仅需考虑CCD的作用,对于主观散斑场,可利用CCD对标尺成像并使标尺沿图像水平方向,所得规格为n×n像素的图像。若图像两边显示的标尺刻度分别为no和ne,则所记录的标尺长度Δn=|ne-no|,由图像宽度n和标尺长度Δn,可得到系统成像放大率M=n/Δn。

2 测量系统设计与实验

2.1 实验光路设计

实验光路系统如图3所示。试件由扩束的He-Ne激光(波长为632.8 nm)照明,成像放大率M=0.7,透镜焦距f=15 cm。变形前后的散斑图像由CCD摄像机接收并通过数模转换存储到计算机中,CCD为Watec公司WAT-902H型,有效像素数为752×582。图像卡采用大恒PCI-XR256灰度级黑白图像采集卡,可满足768×576×8图像的采集和存储。每幅图像在分析之前可以进行预处理(如与平均图像强度相减等),方便进一步的分析。

图3 数字散斑照相光路示意图Fig.3 The schematic diagram of digital speckle photography

2.2 图像处理程序设计

根据上面数字散斑照相图像处理方法,编写了数字散斑照相测量程序。图像处理程序包是在C++Builder环境下实现的,兼容Visual C++编译器。图4分别为两种获取杨氏条纹方法的程序流程。

图4 两种获取Young’s条纹方法的程序流程Fig4 The flow charts of the program to receive Young’s fringes

在图像处理中一种有效的改善图像质量的算法[16]是

(19)

式中Io、Ir分别为处理前后的图像。

3 试验过程及结果分析

利用图3所示实验系统,分别对试件绕中心的转动和水平微小位移通过杨氏条纹进行测量分析。记录的散斑图像大小为512像素×512像素,子区域大小设定为32像素×32像素。图5为试件转动一定角度前及后采集到的两幅散斑图,图6和图7分别为对图5两幅散斑图进行处理得到的一定区域内的Young’s条纹图。由于背景的影响,图6图像较暗,条纹特征不明显,而图7的条纹质量较好,适合计算机进行自动条纹识别和位移场计算。由此证明了实验图像与我们的理论分析相符。

图5 试件转动前后散斑图Fig.5 The speckle pattern before and after transformation

图6 归一化处理Young’s条纹图Fig.6 Normalized Young’s fringes

图7 相位法构造Young’s条纹图Fig.7 Phase structured Young’s fringes

表1 频谱分布值Tab.1 The distribution of frequency spectrum

表2 水平位移测量Tab.2 The measurement of horizontal displacement

4 结 论

利用散斑方法测量得到的条纹质量不仅与条纹对比度有关系,还与干涉场中散斑点的大小有关系。通常光学系统的光瞳越大,散斑点越细小,它所允许的最大面内变形也越小,即面内变形存在的情况下条纹对比度变差;反之,当光瞳变小时,条纹调制度变大。小光瞳会带来一定的局限性:一是光能利用率降低,对接收装置的灵敏度要求提高,易受环境变化的影响;二是会产生消相关效应,使条纹对比度降低。测量区域大小和测量精度两方面很难同时满足,因为要提高测量精度,必然要取较小的散斑和较大的放大率,但要观察大的区域则需选择较大的散斑和较小的放大率。综上考虑,在实际操作中应根据具体情况合理地选择系统的参数,如光瞳与放大率。

再现条纹场的质量与光学方式相比并非总是令人满意,主要原因是CCD的空间分辨率远低于光学负片的空间分辨率,从而使相关条纹场的信噪比受到严重影响,此外图像采集与计算机系统有限的数据存贮能力,使得数字图像尺寸不可能取得太大,这就限制了参与全场信息再现时的数据量,而使相关条纹场质量降低,输出视场变小。因此,采用高分辨率、大存贮空间的计算机图像采集系统是提高双曝光数字散斑相关条纹信噪比的关键。

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