基于解题习惯和思维方法进阶下的习题课变式教学——以“杆球连接体”为例

卞志荣

(江苏省天一中学,江苏 无锡 214101)

自从2013年江苏高考考试说明将“不要求定量求解加速度大小不同的连接体问题”改为“加速度大小不同的连接体问题的计算仅限于两个物体的情况”和“运动的合成与分解”变为Ⅱ要求后,全省各地高三复习和模考试卷中“杆球连接体”问题频频出现,大多以选择题的压轴题出现,统计表明此类问题正确率非常低. 笔者对作答试卷进行了统计分析并多次与学生进行交流得知其中奥妙,客观上来说“杆球连接体”的疑难在于“杆”:第一,杆的弹力可能沿杆,也可能不沿着杆;第二,杆的弹力可能做功,也可能不做功;第三,杆所连接的两物体的线速度、角速度和加速度相关联且大小可能相同,也可能不同;第四,“杆球连接体”的运动多为非匀变速运动,与功、能量转化和守恒紧密联系;第五,研究对象和研究过程较多,对分析问题和综合应用能力要求比较高.除此而外,学生的心理素质、解题习惯和方法的迁移甚至包括教师习题讲评的方法都严重影响了学生正确作答进程.例如有学生说:一见到这类问题,心理急剧变化,有点发慌,显得不耐烦,甚至想放弃;解选择题就是“跟着感觉走”一看“大概”“差不多”就行;解题时基本上不画受力图,不进行运动过程分析,那样太烦,时间也来不及;好多教师都这样说,难的选择题就选一个答案,甚至可以放弃;教师讲评时只讲怎么解,从来不讲为什么这么想,造成我们听听都懂,做做都不会等.基于上述原因,笔者认为高三复习时仍然要注重学生解题习惯的养成和思维方法的形成,通过变式教学进行方法的提炼,而不是追逐题量,讲评时应重点放在怎么分析而不是怎么解答.笔者就“杆球连接体”问题的变式教学做一点探索,供大家参考.

1 球在斜面与平面上自由滑动

图1

例题1.如图1所示,在倾角θ=30°的光滑固定斜面上,放有两个质量分别为1 kg和2 kg的可视为质点的小球A和B,两球之间用一根长L=0.2 m的轻杆相连,小球B距水平面的高度h=0.1 m.两球从静止开始下滑到光滑地面上,不计球与地面碰撞时的机械能损失,g取10 m/s2.则下列说法中正确的是

(A) 下滑的整个过程中A球机械能守恒.

(B) 下滑的整个过程中两球组成的系统机械能守恒.

(C) 两球在光滑水平面上运动时的速度大小为2 m/s.

(D) 系统下滑的整个过程中B球机械能的增加量为2/3 J.

引导分析:此题学生比较容易想到从能量角度来分析,但让学生讲又说不清,道不明,此时教师的智慧在于提出系列驱动性问题,引导学生积极思考并自主进行方法突破,同时渗透解题习惯的培养.

问题1. 小球A和B都在光滑斜面上下滑的过程中,A球机械能守恒吗?

问题2. 小球A和B都在光滑水平地面上滑动的过程中,A球机械能守恒吗?

问题3. 下滑的整个过程中A球机械能守恒吗?

问题4. 小球A和B从静止开始一起下滑到水平面的过程中机械能守恒吗?

图2

讨论结果:A、B两球都在光滑斜面或水平面上滑动的过程,可以用假设法判断杆中弹力为0,A球机械能守恒,若A球在斜面上下滑,B球在水平地面上滑动的过程中,杆的弹力不为0,且杆的弹力对A球做负功、对B球做正功,故单独对A或B来说,此过程机械能不守恒.判断方法等同于图2所示的常规题中轻杆对A、B球的做功情况,结论如出一辙,都是杆对下面的球做正功.

解题指导:第一,力学选择题的作答同样需要受力分析和运动过程分析,这是一种习惯,切不可跟着感觉来个“大概”“差不多”;第二,对平时所学思维方法如本题中的“假设法”“类比法”“整体法”等要善于归纳总结,做到准确迁移,灵活应用,再难的问题也会迎刃而解,技高才能胆大.

2 球被限制在竖直轨道上运动

图3

例题2.如图3所示,滑块A、B的质量均为m,A套在固定竖直杆上,A、B通过转轴用长度为L的刚性轻杆连接,B放在水平面上并靠着竖直杆,A、B均静止.由于微小的扰动,B开始沿水平面向右运动.不计一切摩擦,滑块A、B可视为质点.在A下滑的过程中,下列说法中正确的是

(A)A、B组成的系统机械能守恒.

(B) 在A落地之前轻杆对B一直做正功.

(D)当A的机械能最小时,B对水平面的压力大小为mg.

图4

变式.如图4所示,A、B两小球用轻杆连接,竖直放置．由于微小的扰动,A球沿竖直光滑槽运动,B球沿水平光滑槽运动.则在A球到达底端前

(A)A球做匀加速直线运动.

(B) 轻杆对A球做负功,对B球做正功.

(C)A球到达竖直槽底部时B球的速度为0.

(D)A球的机械能最小时轻杆对B球的作用力为0.

3 球被限制在光滑圆形轨道上运动

图5

例题3.如图5所示,半径为R的光滑圆环固定在竖直平面内,O是圆心,虚线OC水平,D是圆环最低点.两个质量均为m的小球A、B套在圆环上,两球之间用轻杆相连,从图示位置由静止释放,则

(A)B球运动至最低点D时,A、B系统重力势能最小.

(B)A、B系统在运动过程中机械能守恒.

(C)A球从C点运动至D点过程中受到的合外力做正功.

(D) 当杆水平时,A、B球速度达到最大.

分析:对(A)选项的判断可以用极值法:重力势能的大小就看重心位置的高低,当杆子处于水平时,A、B系统重心最低,两者的重力势能最小,故(A)选项错误;对(B)选项的判断可以用整体法:以A、B整体为研究对象,杆对A、B的作用力是内力,环对球的弹力始终不做功,只有重力做功,所以A、B系统在运动过程中机械能守恒,故(B)选项正确;当A运动到B开始的位置即杆处于水平时,系统重力势能最小,动能最大,所以球A由C运动到D的过程中,动能先增大后减小,以A球为研究对象,由动能定理可知,合外力对其先做正功后做负功,且正负功数值相等,故(C)选项错误;由(A)选项和(B)选项可知(D)选项正确.

4 球限制在直线与圆形组合轨道上运动

图6

例题4.光滑的长轨道形状如图6所示,其底部为半圆形,半径为R,固定在竖直平面内.A、B为两质量相同的小环,用长为R的轻杆连接在一起,套在轨道上.将A、B两环从图示位置静止释放,A环与底部相距2R.不考虑轻杆和轨道的接触,即忽略系统机械能的损失.

(1) 求A、B两环都未进入半圆形轨道前,杆上的作用力;

(2)A环到达最低点时,两环的速度大小分别为多少?

(3) 在A环下滑至轨道最低点的过程中时,杆对B所做的功WB.

分析:这一道题实质上是杆球在竖直轨道和圆形轨道上运动的组合题;当B环在竖直轨道上而A环在圆轨道上运动过程则等同于图1中一球在斜面上,一球在水平面上运动的问题.有了这样的认识和前面几个问题的讨论,即使像本例这样的难题也不成为问题.

具体分析如下: (1) 两环都未进入半圆形轨道前可通过假设法分析杆上作用力.假设杆有作用力,不管方向如何,可以得到A、B环的加速度不同,故假设错误,也就是杆上的作用力为0.

图7

(2) 当A环到达轨道最低点时,B环也已进入半圆轨道(如图7所示),关键是能分析出此时A、B环的速度大小相等:因为在圆环里杆绕圆心做圆周运动,同一时刻杆上每一点的角速度相同,杆两端的圆周运动半径又相同,根据v=ωr,可知vA=vB,设为v,由机械能守恒定律得

解得

(3) 此问研究过程已经确定,以B环为研究对象,当A环从起始位置到A环下滑至轨道最低点的过程中,B受重力、杆的弹力及圆轨道的支持力,支持力不做功,由动能定理得

分析:这是一道临界问题,当A环“上升到最大高度时环的速度为0”这一临界条件都是知道的.可是此位置在哪里是学生的难点所在,为了使学生能自主突破,可以引导学生思考以下两个问题:

(1) 圆弧中最长弦是多少?它与杆的长度比较谁长?

(2) 画出杆球运动过程中几个典型的位置图.

图8

图9

5 转动的杆球倚靠在光滑立方体上运动

例题5.如图10所示,在光滑的水平地面上有一个表面光滑的立方体M,一轻杆L与水平地面成α角,轻杆的下端用光滑铰链连接于O点,O点固定于地面上,轻杆的上端连接着一个小球m,小球靠在立方体左侧,立方体右侧受到水平向左推力F的作用,整个装置处于静止状态.若现在撤去水平推力F,则下列说法中正确的是

图10

(A) 在小球和立方体分离前,若轻杆L与水平地面成β角,小球的速度大小为v1,立方体的速度大小为v2,则有v1=v2sinβ.

(B) 小球在落地的瞬间和立方体分离.

(C) 小球和立方体分离时小球只受重力.

(D) 小球和立方体分离前小球的机械能不守恒.

图11

分析:小球绕O做圆周运动,速度垂直于棒,其两个分运动是:随着立方体向右运动的同时沿着立方体竖直向下运动,将小球的速度沿着水平方向和竖直方向正交分解(如图11),得到v2=v1sinβ,故(A)选项错误;对于(B)、(C)、(D)选项的判断,关键是小球与立方体何时分离,这是学生感到棘手的问题,其实方法很多,比如特殊位置法、极限分析法、临界值法.

特殊位置法:以球为研究对象,开始静止,球在水平方向速度当然为0,当杆落地时球水平速度为0,可知球在水平方向先加速后减速,杆对球的作用是先撑后拉,先做正功后做负功,分离点即为转折点,此时杆的弹力为0.可见分离点应在小球落地前,故(B)选项错误, (D)选项正确.

对于(C)选项,可以用临界值法:两接触物体刚分离时弹力为0.由立方体受力可知,其加速度必为0,则小球刚分离时加速度的水平分量也为0,则杆的弹力必为0,故小球只受重力,(C)选项正确.所以本题应选(C)、(D).

图12

变式.在光滑的水平面上放一质量为M、边长为b的立方体木块,木块上搁有一根长L的轻质杆,杆端固定一质量为m的均质小球,另一端铰接于O如图12所示,设杆从与水平面间夹角α1无初速度地推动木块右滑,求杆与水平面间夹角变为α2(α1>α2) 时木块的速度.

6 杆球限制在电场中平直光滑槽上运动

图13

例题6.如图13所示,沿水平方向放置一条平直光滑槽,它垂直穿过开有小孔的两平行薄板,板相距3.5L.槽内有两个质量均为m的小球A和B,球A带电荷量为+2q,球B带电荷量为-3q,两球由长为2L的轻杆相连,组成一带电系统.最初A和B分别静止于左板的两侧,离板的距离均为L.若视小球为质点,不计轻杆的质量,在两板间加上与槽平行向右的匀强电场E后(设槽和轻杆由特殊绝缘材料制成,不影响电场的分布),求:

(1) 球B刚进入电场时,带电系统的速度大小.

(2) 带电系统从开始运动到速度第一次为0所需时间及球A相对右板的位置.

实际上,杆球连接体的题目远不止上述几道,但从以上几道题目的分析求解应该领略到,解决复杂问题不是无道可寻,也不是高不可攀,关键是分析问题的习惯和科学思维方法的应用.对力学题目必须养成受力分析和运动过程分析的良好习惯;灵活运用如整体隔离法、临界值法、特殊位置法,极限分析法等常用研究方法,巧妙利用物体间的速度关联、加速度关联、位移关联等是技巧,问题的顺利破解将不成问题.研究解决这类问题对提高分析问题和解决问题的能力,对思维方法的训练很有帮助.我们在高考复习时切不可陷入题海,应该在夯实基础,提炼方法,发展能力上做文章才是根本,否则只能是事倍功半的低效复习.