一类随机不确定网络控制系统的H∞滤波器设计❋

李明扬， 张 玲❋❋， 褚东升， 于海波

(1.中国海洋大学工程学院，山东省高校海洋机电装备与仪器重点实验室， 山东 青岛 266100； 2.中国海洋大学基础教育中心， 山东 青岛 266100)

近年来，网络控制系统(Networked Control System，NCS)已成为控制领域的研究热点之一。NCS通过网络将控制系统的各部分联接起来，实现了分布式的反馈控制。然而，由于网络带宽的限制及信号传输中的干扰因素的存在，在NCS的信道中会出现数据包的丢失、滞后等现象，而且信号可能受到加性或乘性的噪声干扰。

NCS的概念由Walsh[1]首次提出，考虑到NCS中的丢包问题，Sahebsara等通过伯努利变量描述了丢包问题，并建立了带丢包的NCS模型,其中数据包丢失同时发生在传感器-估值器(Sensor to estimator,S-E)通道和控制器-执行器通道(Controller to actuator,C-A)，并设计了其H∞和H2滤波器[2-3]；孙书利等[4]针对该多丢包模型，设计了线性最小方差意义下的最优滤波器，梁彦等[5]将此成果推广到一般的NCS。同时NCS中的时滞和丢包并发的情形也得到了广泛研究，孙书利等讨论了观测通道中同时带有多步丢包和有限步时滞的模型[6]，但该模型中同一数据包需多次发送，可能导致信道拥塞。文献[7]对文献[6]中的模型进行了改进，模型中数据包仅需传输一次，减轻了信道压力，其后此成果被推广到一般的NCS中[8]。但同时考虑多步时滞和丢包的模型较复杂，不便于实际应用，而且数据经多步时滞后的可用性已不大,因此一步时滞和丢包模型正受到越来越多的关注。孙书利[9]提出了带有一步时滞和多丢包的NCS模型并研究了最优滤波算法，李秀英等[10]又对其模型进行了改进，减少了增广维度，并设计了其H∞滤波器。

乘性噪声作为一种重要的信道扰动，在石油地震勘探、卫星姿态估计、水声通信、目标跟踪中已有广泛应用。Gershon[11]和张玲[12]等分别研究了带乘性噪声系统的H∞滤波和最优滤波算法，马静等[13]将乘性噪声引入到含有丢包的NCS模型中来，并推导了相应的最优滤波算法，在一定程度上推广了NCS模型，但此文献并没有考虑NCS中含有随机时滞的情形，而且模型中的乘性噪声只存在于S-E通道中。

本文改进了文献[10]提出的一步时滞和丢包模型，综合考虑了S-E和C-A通道中的丢包、时滞、乘性噪声因素，建立了一类随机不确定网络控制系统的模型。针对此模型，利用线性矩阵不等式方法设计了其H∞滤波器，并对滤波算法进行了仿真验证。

1 系统模型建立

带乘性噪声系统模型如下：

(1)

η1(k-1))η2(k)]y(k-1)} ，

(2)

ζ1(k-1))×ζ2(k)u(k-1)+[1-(1-

(3)

图1 系统结构图Fig.1 NCS schematic

从上述模型出发，定义伯努利变量如下：

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

对系统(1),(2),(3)进行增广，令

φ(k+1)=

得到增广系统：

(10)

其中：z(k)为被估计状态；L为常系数矩阵。随机系数阵满足:

定义如下：

本文设计的H∞滤波器结构如下：

(11)

(12)

其中:

并将上述系数的期望标记如下：

2 H∞性能分析

定义1 对误差系统(12)，若存在常数δ>0和0<τ<1，使得对∀k>0，当输入u(k)=0，w(k)=0时，E{‖ξ(k)‖2}≤ατkE{‖ξ02}，则系统是均方指数稳定的。

定义2 对误差系统(12), 当输入u(k)，w(k)∈l2(0,∞)非零时,若存在常数γ>0使滤波误差满足：

ρ‖u(k)‖2},ρ>0

其中,ρ是已知常数，则系统满足给定H∞性能指标γ。

定理1 当误差系统(12)输入为零，即u(k)=0，w(k)=0时，如果存在正定矩阵P,使得

E{AT(k)PA(k)}-P<0 。

(13)

那么该系统是均方指数稳定的。

证明 选取Lyapunov函数V(k)=ξT(k)Pξ(k)，则

E{ΔV(k)}=E{V(k+1)|ξ(k)}-E{V(k)}=

ξT(k)E{AT(k)PA(k)-P}ξ(k)。

(14)

假设式(13)成立，则P>0，由文献[2]中命题1可知，系统(12)是均方意义下稳定的。

其中：

系数定义为：

证明 由系统(12)可得

(16)

由E{ΔV(k)}=E{V(k+1)|ξ(k)}-E{V(k)}，得到

E{ΔV(k)}=βT(k)×

β(k)-ξT(k)Pξ(k) 。

(17)

对于任意矩阵Si,Sm,Tj,Tn，有下式成立：

(18)

其中,Sim=Si-Sm,Tnj=Tn-Tj。将系统(12)中各系数定义代入式(17)，并考虑式(18)，可得式(17)各项为：

将以上各式代入式(17)，可得：

E{ΔV(k)}+E{‖e(k)‖2}-

γ2E{‖w(k)‖2+ρ‖u(k)‖2}=βT(k)Ψβ(k)，

(19)

其中：

(20)

由Schur补引理[14]可得，式(15)等价于Ψ<0，即式(19)是负定的。因此，当k从0到∞时累加式(19)可得：

(21)

由于零初始条件下E{ΔV0}=0，故可得

ρ‖u(k)‖2} 。

(22)

说明此时系统(12)满足给定的H∞性能指标γ，证毕。

3 H∞滤波器设计

XY+UVT=I，UTV+X2Y2=I，

XV+UY2=0，UTY+X2VT=0。

对式(15)进行合同变换，左右同乘diag{Q,I,I,I,I,I}，得到

(23)

(24)

其中

(25)

Π1=diag{-Π,-Π,-Π,-Π,-Π,-Π,-Π}；

Π2=diag{-Π,-Π,-Π,-Π}；

K1=VCf；K2=VAfUTZ；K3=VBf；K4=LfUTZ。

综上可知线性矩阵不等式(25)等价于式(15)，故不加证明得给出以下结论：

定理3 系统(1)～(3)的H∞滤波器设计问题可以归纳为:

(26)

不妨取V=VT=-Y，U=UT=Z-1-Y-1，则可以得到滤波器的参数为Af=-Y-1K2(Z-1-Y-1)-1Z-1，Bf=-Y-1K3，Cf=-Y-1K1，Lf=K4(Z-1-Y-1)-1Z-1。

4 仿真

对带乘性噪声系统(1)，考虑如下算例：

上述其他参数不变，当扰动项w(k)为1/k2时，仿真结果如图4所示。说明当系统中的加性扰动为非高斯噪声信号时，本文的滤波器也能有效地估计系统状态。

图2 真值与滤波值Fig.2 True value and estimation

图3 均方误差对比Fig.3 Comparison of MSE

图4 真值与滤波值Fig.4 Ture value and estimation

5 结语

本文建立了一类带乘性噪声网络控制系统的模型，在模型中综合考虑了传感器-估值器信道和控制器-执行器信道中的乘性噪声、丢包和时滞因素；利用状态增广将信道中的不确定性转化为随机的系统参数，并通过线性矩阵不等式方法设计了随机参数系统的H∞滤波器。与传统的Kalman滤波器相比，本文的滤波器无需已知加性噪声的统计特性，且当加性扰动为非高斯噪声时也能适用。

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