一种多输入多输出系统传递函数的实用计算方法

王家豪

摘要

在多输入多输出线性系统中，传递函数矩阵定义为零初始条件下，输出的拉普拉斯变换y（s）和输入的拉普拉斯变换u（s）之比，本文介绍了一种便于计算机和笔算的，适于任意阶数的传递函数计算方法，并给出了相应的实例。

【关键词】实用计算方法 传递函数计算 多输入多输出

多输入多输出线性时不变系统的传递函数矩阵，定义为零初始条件下输出的拉普拉斯变换与输入的拉普拉斯变换之间的因果关系。

设输入变量组为{u₁，u₂，…，u_p}，输出变量组为{y₁，y₂，…，y_q）且线性时不变系统初始条件为零。根据线性系统的叠加原理，可导出拉普拉斯变换意义下的输出输入关系式为：

简写为y（s）=G（s）U（s）

考虑线性时间连续系统，状态空间描述为：

X=Ax+Bu

Y=Cx+Du

则传递函数矩阵G（s）的基于系数矩阵{A，B，C，D}的基本关系式为

G（s）=C（SI-A）^-1B+D

證：对上述两个方案取拉普拉斯变换后，可导出：

（SI-A）x（s）=BU（s）

因为矩阵（SI-A）非奇异，

故有x（s）=（SI-A）^-1u（s），结论成立。

显然，基于关系式建立了G（s）和{A，B，C，D}间的显式关系，为分析和揭示系统两种描述间的关系提供了基础，但是，在求解过程中包含了对含有字母s的方阵的求逆运算，若系统为6维，求逆必求行列式，则在求行列式时人们还需计算6个5维子式。在计算每个子式又要5个4维子式，计算每个4维子式又需计算4个3维子式，操作十分繁琐，人工极易出错，且即使使用计算机，后续过程亦十分复杂。况且，大型过程中又要经常用到这样的计算和操作，因此，本文给出了一种实用、便捷、易于计算机编程的算法，能够迅速地解决问题。

本方法分z步：分别为（SI-A）行列式的计算和最终结果计算。

1 行列式的计算

根据G（s）的表达式，首先应计算（SI-A）^-1而任何矩阵在求逆运算的过程中都不可避免地计算行列式，这里是A矩阵的特征多项式，下面给出方法。

[特征多项式算法]：给定nxn系统矩阵A，其特征多项式具有形式：

可按下述步骤给出的顺序来递推地定出。

典型例题：给定4×4系统矩阵A为：

计算其特征多项式。解：

2 最终结果计算

[G（s）的实用算式]：对多输入线性系统首先要定出特征多项式，设为a（s）。

和一组系数矩阵：

则计算G（S）的一个实用关系式为：

考虑导两边系数相等

结论成立。

注：可以看出，运用此方法计算G（S）时，只限于矩阵乘和加，复杂程度明显降低

3 结语

通过以上分析，G（s）的计算可变得简便快速，在实际应用过程中，可以使用程序设计语言根据以上算法编程实现，该方法具有巨大的便捷性和工程应用价值。