例谈平面直角坐标系下图形变换和点坐标的确定

徐臻

摘 要：在整个初中数学学习过程中，平面直角坐标系是一个有力的工具。它贯穿着数与形，也凸显了一种数形结合的思想。平面直角坐标系的作用无处不在，从数轴开始，其实已经开始逐步接触平面直角坐标系了，后来线段的距离、点的对称、线段的对称都可以在平面直角坐标系中完成。包括数量关系中的一次函数、反比例函数和二次函数都是在平面直角坐标系的背景下，研究横纵坐标之间的关系。平面直角坐标系这个工具还能帮助学生研究图像的性质和图像的变化，确定点的坐标。

关键词：平面直角坐标系；图形变换；点坐标

从近几年考题来看，在平面直角坐标系的背景下，经常有几何图形的变换，例如翻折、旋转、平移。点坐标的确定就成为一个重要的考点，在解题过程中，首先要充分认识图形变换前后之间的关系，特别是线段之间的数量和位置关系，在旋转变换背景下还要充分考虑特殊的旋转角对于旋转之后图形的位置影响。其次还需要准确地把握坐标的确定方法。有时候，需要过所求点向坐标轴作辅助线（垂线），去构造直角三角形，然后利用边角的条件求出垂线段的长度。再由垂线段过渡到点的坐标过程中，有时还要考虑点的位置。值得注意的是要正确判断坐标的符号。举个例子，坐标系中的变换问题往往隐含着一些特殊角的条件，比如点A（1，-■），这样的描述中就隐含着60°的角，因此，在分析图形特征时，要格外留意是否题目中存在类似的关键的且不容易被发现的一些潜在条件。由此可见，处理这类问题时要把握变换的性质以及确定坐標的方法，特别是确定点坐标，构造垂线段，形成直角三角形，进而求解，这是一种典型的确定点坐标的好方法，可供学习者熟练掌握。下面我将分别列举两个平面直角坐标系下图形在翻折和旋转过程中求点坐标的例题。

通过这两题的比较，我们不难发现，在平面直角坐标系下根据图形的变换求点的坐标，构造特殊三角形，在三角形里通过计算线段的长度，从而计算点坐标是大体思路。但面对不同的图形变换，我们也有需要注意的地方，对于旋转变换的问题，我们要注意旋转角问题。对于三角形和四边形的旋转，在进行角度计算的时候，我们需要关注原来角度的条件。因为在旋转过程中，非常容易出现等腰三角形、等边三角形或者直角三角形。因而在图形变换下求点坐标，我们需要考虑特殊图形对于角度的制约作用，比如，如果一条线段绕一个端点旋转60°就可以形成等边三角形，如果旋转90°就会变成等腰直角三角形。当然我们也需要非常熟悉45°和60°两块特殊三角板边与角之间的关系。面对图形变换中折叠求点坐标问题，我们需要考虑轴对称，把对应关系搞清楚，然后分析图形中出现的特殊三角形，在接下来的计算中，我们经常会借助方程思想，通过勾股定理得出结论。

参考文献：

[1]唐辉.平面直角坐标系概念解读[J].初中生世界，2015（2）.

[2]徐沙沙，王新华，楼保林.初中数学教学中的数轴及其思想[J].成功（教育），2013（9）：62-63.