浅谈数学分析课程的教学改革与实践

傅 勤

(苏州科技大学 数理学院，江苏 苏州 215009)

数学分析是数学类(数学与应用数学、信息与计算科学)专业学生的一门核心基础课程，探讨其教学改革问题具有重要的意义. 关于该课程的教学改革，已有较多的研究成果[1-4]，文献[1]通过剖析数学分析与初等数学、数学史、泛函分析等课程之间的内在联系，就如何改革数学分析的教学方法，提高学生的学习兴趣、创新能力等提出了几点建议；文献[2]则探讨了如何根据数学分析不同类型的教学内容采用相应的教学方法, 充分发挥数学分析对学生学习能力和创新能力培养的作用；文献[3]从提高学生学习数学分析课程的兴趣等方面对课程进行了改革和探索；文献[4]则围绕素质教育的要求，给出了对信息与计算科学专业数学分析课程教学改革的一些体会，提出了一些建议. 既要重视基础理论知识教育，又要强调实际问题应用，这已成为近年来课程教学改革的主要关注点. 随着电子计算机的迅速发展和大数据时代的到来，针对一些理论性较强的数学基础课程，如何进行相应的教学改革，以适应时代发展的需求，这是值得思考的问题.

笔者多年来一直从事信息与计算科学专业数学分析课程的教学工作，在此，就如何提高课堂教学效果，并结合专业特点，将理论知识应用到解决实际问题中去等，谈一些做法和设想，望能起到抛砖引玉的作用.

1 数学分析课程教学存在的问题

数学分析作为信息与计算科学专业的一门核心基础课程，在教与学这两个方面，仍有许多不足之处.

(1)学生在学习本课程过程中，遇到的主要难点：一是对同一问题，往往会有多种解决方法，如何选择最佳方法？二是课程中概念多，定义、定理多，如何加深理解并记住这些概念、定义和定理？在课堂教学过程中，怎样帮助学生解决这两个难点(应该也是学习其他课程的难点)，从而提升学生的学习能力，这是值得探讨的问题.

(2)作为学生第一学期就学的一门基础学科，数学分析缺乏与其他相关学科的互相“渗透”，这种“渗透”包含了两层意思：一是其他学科的知识“渗透”到数学分析中，二是数学分析的知识“渗透”到其他学科中，即所谓的“输入”“输出”关系. 就教材上的教学内容而言，数学分析学科还是自成一体，从而构成了一个封闭系统，这一特点制约了该学科向纵深发展.

(3)一年一度的大学生数学建模竞赛为数学分析知识的应用提供了很好的平台，如何利用这个平台，寻求理论知识在解决实际问题中的应用，从而激发学生学习本课程的积极性，就目前而言，这方面做得还不够.

(4)从教学方法和教学手段看，主要采用“粉笔+黑板”的方式，利用现代教育技术进行教学的很少. 本课程在应用一些优秀的数学软件(如Mathematica, Matlab),构建数形结合、动画模拟等模式的多媒体教学环境，并结合实际问题进行计算机仿真计算等方面，做得还很不够.

2 教学改革的尝试

针对上述不足之处，结合本课程的特点，笔者在实际教学中，做了以下尝试.

(1)突出重点，注重对比. 备课时理出重点，重要的定理、难点和不同方法的适用情形等，重点部分精讲，要求学生完全掌握. 例如，在数项级数这一章，关于正项级数收敛性的判别有四种方法(比较判别法、比式判别法、根式判别法和积分判别法)，选择哪种方法判别，这是个难点. 针对这种情况，笔者将十几道典型的题目写在黑板上，不进行具体计算，只是让学生一起讨论用哪种方法判别较为合适，通过这种主题讨论和题与题之间的对比，得出了每种判别法的适用情况，使学生茅塞顿开. 注重了不同方法的对比，抓住了每个章节的重点部分，其他部分的学习也就轻而易举了.

(2)承上启下，深入浅出. 一方面，每次上课时，先用十分钟左右的时间对上次课的内容做个总结，然后再讲新的内容，由此，既总结复习了前面的内容，又顺畅了本堂课的新内容衔接，收效甚好. 另一方面，注重教学内容的承上启下，尽量将新的概念和方法看成只是在前面所讲内容上再加一点，由此强调了学科知识的关联性和系统性，也避免了学生产生内容多而散的感觉. 例如，讲反常积分时，重点强调反常积分就是定积分再加上极限，而极限和定积分为已学内容，由此将反常积分这个新内容简化了；讲重积分时，重点强调重积分就是定积分在被积函数自变量个数和积分区域维数两方面的扩展，由此引出二重积分、三重积分的概念，并进一步引出n重积分，最后将各类积分(定积分、二重积分、三重积分和n重积分)统一到一个表达式中，深入浅出地讲述了积分内容，收到了很好的教学效果.

(3)一门学科与相关学科的互相“渗透”，这是学科发展的生命力.对数学分析而言，笔者在实际教学中，注重抓了两头：一是“输入”，即将其他学科的知识点应用到本课程的教学中，如在讲三角级数的正交性时，借助于高等代数中基、正交基等概念，描述出了傅里叶级数的构建过程；二是“输出”，即将数学分析“渗透”到其他学科中去，如在讲述傅里叶级数时，结合信息与计算科学的专业特点，进一步介绍了信号传输中的傅里叶变换、小波变换等，扩展了学生的知识视野，激发了学生的学习热情.

(4)利用好数学建模这个平台，结合课程内容讲解相应的竞赛题，并让学生练，让他们体会到理论知识在实际问题中的应用性. 例如，2010年全国大学生数学建模A题“储油罐的变位识别与罐容表标定”涉及的知识点就是重积分的应用问题. 利用三重积分分别计算出变位前后储油罐内油的体积，并与罐容表标定刻度进行对接，由此推算出储油罐的变位角度. 笔者在讲解完数学模型后，让学生用Mathematica软件进行仿真计算，并利用仿真图刻画出运算结果误差的范围. 实践说明，这种教学方法提高了学生的学习积极性，比在课堂上反反复复讲枯燥的理论强多了.

(5)苏州科技大学针对信息与计算科学的专业特点，在数学分析课程中添加了实验教学环节，目的是让学生尽早地接触到与专业有关的软件编程等相关工作. 笔者利用该课程每学期10课时的实验教学环节，做了以下三方面的工作.

1)指导学生利用Mathematica软件进行符号运算，如求极限、导数和积分等. 一方面让学生验证和巩固所学的理论知识；另一方面让学生感悟到借助于现代工具的重要性，如针对一些复杂的不定积分题，计算机瞬时就能给出解析表达结果.

2)针对相关的数学建模题，在课堂上建好数学模型后，笔者指导学生到机房进行编程运算.

3)程序运算给人们的感觉往往是：运行键一按，结果就显示在屏幕上了. 事实上，面对一些复杂系统和数据分析的问题，计算机也是算得很“累”的. 笔者主要从事复杂系统和数据分析方面的研究工作，经常会编一些复杂的程序，其运行时间甚至可达二十多个小时. 笔者就将合适的复杂程序演示给学生看，让他们知晓实际问题的复杂性和学好基础知识的重要性(复杂问题也是基础问题组合而成的).

通过以上实验教学环节的运作，培养了学生的学习能力、创新能力、独立解决问题的能力和团队协作精神，收效甚好.

以上是笔者对本课程教学改革的一些尝试和想法. 作为课程改革尚有很多工作要做，例如能否将本课程的教学改革方法应用到其他数学基础课程上，如高等代数、解析几何等，这都有待作进一步地探究. 至于在教学中如何培养学生的综合能力笔者已在文献[5]中作了探讨.