数学

许志强

压缩感知

许志强

目的：压缩感知是近来国际上热门的研究方向，其主要思想为：利用信号稀疏性的特征，通过尽量少的观测信息恢复信号。压缩感知在多个应用领域，如医学成像、图像处理、地质勘探等中具有很好的应用前景。此外，它与逼近论、最优化、随机矩阵及离散几何等领域密切相关，由此产生了一些漂亮的数学结果。本文综述压缩感知一些基本结果并介绍最新进展，主要包括RIP矩阵编码与Δ1解码的性能、RIP（restricted isometry property）矩阵的构造、Gelfand宽度、个例最优性及OMP（orthogonal matching pursuit）解码等。方法：本文主要介绍压缩感知的一些基本结果。在每节里，我们采用注记的方式介绍当前的一些研究进展及研究问题，同时提供与之相关的参考文献，以使感兴趣的读者可进一步探索。结果：第2节中我们介绍了稀疏信号的编码、解码方法。特别是，我们将介绍矩阵的零空间性质，及RIP矩阵编码与l1解码的性能。我们在第3节中介绍RIP矩阵的构造方法，包括随机矩阵、结构随机矩阵及确定性矩阵。在第4节中，为理解最优编码、解码对的性能，我们介绍了Gelfand宽度与编码、解码对性能的关联。我们在第5节中介绍了编码、解码对在不同范数意义下的个例最优性。最后一节简要介绍实现解码的算法。结论：本文综述了压缩感知基本结果，并介绍了一些新的研究进展。压缩感知是一个理论及应用皆具潜力的研究方向。理论方面，其将逼近论、随机矩阵及离散几何等领域有机的结合在一起。此外，压缩感知已经应用于医学成像、断层扫描等，并有更多的应用领域待探索。在该方向，亦有更多的问题值得深入研究，如确定性RIP矩阵的构造、数据量化对压缩感知的影响、OMP算法的理论分析等。我们相信对该方向的深入研究将会促进多个理论及应用学科的发展。

来源出版物：中国科学（数学）, 2012, 42(9): 865-877

入选年份：2015