某型越野SUV转向轮Hopf分岔导致摆振现象的研究

孙海鹏 许可 刘宏 马立砚

摘  要：为研究四驱越野车辆的转向轮的摆振问题，本文以某型越野SUV为样车，采用非线性轮胎数学模型魔术公式，建立关于转向轮的单自由度摆振力学模型。根据力学模型建立运动方程，应用Hopf分岔定理进行定性分析，结果表明，以车速作为变量时，该摆振系统在某一速度分岔点处发生Hopf分岔;然后使用四阶龙格-库塔（Runge-Kutta）方法对摆振系统进行数值仿真计算，得出该系统的速度分岔图，数值计算与定性分析，得到的分岔点几乎一致。最后针对系统摆振幅值最大工况下的幅频特性进行了分析，并以主销后倾角为参数研究其对摆振的影响。本文研究结果为在设计阶段避开自激摆振和使用阶段抑制自激摆振提供理论参考。

关键词：越野SUV;魔术公式;Hopf分岔;摆振

中图分类号：U461.6   文献标识码：     文章编号：1005-2550（2018）06-0014-06

Study on Off-Road SUV Steering Wheel

Hopf Bifurcation leadsto Shimmy

SUN Hai-peng1， XU Ke2， LIU Hong1， MA Li-yan1

（ 1.DongFengMotor Corporation Technical Center， Wuhan 430056， China;

2.Shanghai ZieZone Automotive parts Co.，Ltd， Shanghai 201100， China ）

Abstract： In order to study shimmy problem of the steering wheel of off-roadSUV， consider nonlinear of the tire.A single degree of freedom shimmy model is establishedconsidering the magic formula. Using the Hopf bifurcation theorem determined the result of the qualitative analysis of the equations of motion. The result shows that Hopf bifurcation occurredat speed bifurcation point. Then using the Runge - Kutta methods calculated shimmy system， andget the system speed bifurcation diagram. The diagram showed that the numerical results and qualitative analysis consistent. Finally， the amplitude-frequency characteristics of the system are analyzed at the speed corresponding to the maximum amplitude value， and studying the relationship between the kingpin and shimmy. The results can provide a theoretical reference for suppressing the self-excited shimmy of the type automobile.

引言

隨着自驾游被越来越多的人喜爱，越野SUV成为广大车主选购对象。相比两驱车，四轮驱动汽车能够将驱动力按比例分配给四个车轮，因此，该型汽车能以更高的操稳定性，顺利通过各种恶劣路况。但越野SUV转向系统行驶中若出现自激摆振时，将极大的影响车辆的操稳性能，增加驾驶员的紧张感，使得在恶劣路况驾驶成为危险行为。因此，有必要对越野SUV转向轮Hopf分岔导致的自激振动现象进行研究。David在1998年就针对军用多轴驱动越野车性能，开展建模和仿真研究[1]。非独立悬架的多轴驱动汽车，存在着前轮绕主销的自激振动，该振动不需要外界提供周期性的干扰源，振动行为发生后需要外界主动阻止方能消减[2]。法国人Broulhiet1925年，在研究了汽车前轮摆振现象之后，指出轮胎的力学特性是重要影响因素[3]。但直到Pacejka于1987年找到非线性的魔术公式使得对转向轮Hopf分岔数学仿真成为可能[4]。由于计算机计算能力限制，国内的管迪华院士以线性轮胎模型研究了汽车转向轮的摆振问题[5-10]。研究发现转向系统结构参数、轮胎的迟滞效应和主销后倾角等因素均对摆振有较大影响。

因此本文以某型越野SUV为研究样车，针对其前轮摆振问题，建立单自由度摆振力学模型，通过Hopf分岔原理，定性分析判定摆振系统速度分岔点，并使用4阶Runge-Kutta法对该系统进行数值计算，求解其分岔特性和幅频特性，并探索主销后倾角对摆振的影响。

1    前轮单自由度摆振力学模型

该型越野SUV采用了4×4驱动系统，前桥既是驱动桥又是转向桥，前传动轴两端连接前桥和分动箱，主销通过车身安装点和下摆臂安装点固定，转向系统采用液压助力式转向器。

1.1   摆振系统力学模型

图2（b）坐标系定义为，以轮胎接地中心点为坐标原点，汽车前进方向为X轴，汽车左侧为Y轴正向，Z轴垂直地面向上，符合右手坐标系法则。根据图2（b）的转向轮力学模型，建立单自由度系统的运动方程。建立方程之前，进行以下假设：

（1）汽车在匀速直线状态行驶时，忽略空气阻力。

（2）只考虑右前转向轮绕主销摆动一个自由度 ，车轮上相关结构件以转动惯量、弹簧和阻尼器等效。

（3）汽车行驶时，轮胎与地面保持接触，且不发生纵向和侧向的滑移。

基于以上假设，应用拉格朗日方程得到数学方程，拉格朗日方程为：Section

其中：q—系统的自由度，T—系统的动能，U—系统的势能，D—系统的耗散能，Q—系统受到的广义力。

根据图2，本文系统的动能、势能、耗散能及广义力如下：

系统的动能：

其中： θ—转向轮绕主销摆动角， J—车轮绕主销的转动惯量;

系统的势能：

其中： K—转向轮绕主销的扭转角刚度;

系统的耗散能：

其中： C—转向轮绕主销的粘滞阻尼;

系统的广义力：

其中：FZ—转向轮所受垂向力;m1—转向轮处簧上质量;L—转向节有效长度，γ —转向轮主销后倾角;Fy—转向轮所受侧向力;D—轮胎拖距，R—转向轮的滚动半径;Fx—转向轮所受纵向力。

将式（1.2）～（1.5）带入到拉格朗日方（1.1）得出转向轮摆振系统的运动微分方程如下：

1.2   輪胎侧向力

常用的非线性轮胎模型有：“魔术公式”模型[11]、“统一模型”[12]和Gim轮胎模型[13]。魔术公式通用性强，用轮胎拟合数据可以得到符合轮胎非线性特性的曲线。故本文选用简化后的魔术公式：

式中，ai（i表示车轮序号）表示转向轮的侧偏角，Bi、Ci、Di、Ei分别是刚度因子、形状因子、峰值因子、曲率因子，a1、a2、a3、a4、a5、 a6、a7、a8为由试验拟合得到的参数。其数值如表1所示：

根据式（1.7）和表1中的数据可得轮胎侧偏力Fi 与侧偏角ai之间的关系曲线如图3所示：

这里运用一阶近似张线理论，描述轮胎侧偏角和车轮摆角之间的关系：

其中：e—轮胎印记半长度;σ—轮胎侧向松弛长度; v—车速。

2    系统Hopf分岔

2.1   Hopf分岔定理

假设系统状态变量方程组为：

并假设系统（2.1）的Jacobi矩阵为        。

其中，λ为矩阵          的特征值。

令         ，求得系统平衡点为（0.00008738， 0， -0.00008738）T。平衡点处Jacobi矩阵为：

以车速为变量，求解式（2.6），发现本文所建摆振系统发生Hopf分岔，临界车速为43.16km/h。

由表2可知矩阵A（v）有一对纯虚根，另一个特征根有负实部。另外，A（v）的纯虚根λ1=0+42.11i对应的左特征矢量为Xl和右特征矢量为 Xr，

根据以上Hopf分岔理论的定性分析可知，本文所建系统在临界车速处发生了Hopf分岔现象，将会产生周期运动。现根据转向轮摆振系统运动微分方程式（1.6），使用4阶Runge-Kutta数值计算方法求解进行验证，并分析该摆振系统的分岔现象和极限环幅频行为。该越野SUV样车转向系统参数如下。

出车轮摆角θ随车速v变化的关系曲线图，即为该摆振系统的速度分岔特性。如图4所示：

图4 转向车轮摆角θ与车速v关系曲线

由图4可见，该速度分岔曲线在某一车速发生突变，即发生Hopf分岔现象。该车速为Hopf分岔的临界车速，根据Hopf分岔理论，摆振系统将在临界速度后发生自激振动，并产生极限环。根据数值仿真计算，可知横坐标上的临界分岔速度值为41km/h。

根据该摆振系统的分岔特性，可知该样车的行驶状态为：（1）当089km/h时，车轮摆角随着车速增加而缓慢减小，但转向车轮的摆角始终存在，因此系统处于不稳定状态。

由图5（a）和（b）中的时域图和相图可知，系统在受到不同的初始激励后最终会趋于等幅振动的运动状态。根据激励大小，分别从内部或外部趋向于一个封闭的轨迹曲线，该曲线称为极限环。由图5（c）可知，对于不同的初始激励系统的频谱图是一样的，且频谱图上只有一个振频，说明转向轮的摆振仍是单频振动，频率为7.85Hz。该频率在常见的汽车自激摆振频率范围内。

3.3   主销后倾角对摆振的影响

选取车速v=89km/h，并保持其它系统参数不变，以主销后倾角γ作为变量，分析系统转向车轮摆角θ随主销后倾角γ的变化。数值仿真计算所的曲线如下。

由图6 可知，主销后倾角γ的设计值不同，决定汽车转向轮有不同的自激振动状态：（1）当-10°<γ<2.9°时，转向车轮摆角为零，摆振系统处于稳定状态;（2）当2.9°<γ<10°时，转向车轮摆角随着主销后倾角γ增加而迅速增大，摆振系统表现为单周期振动。因此，为了尽量减小甚至消除车轮的摆振，对于该型越野SUV，应当选取较小或负的主销后倾角。

4    结论

根据某型越野SUV样车，基于非线性轮胎模型，建立了样车前转向轮的单自由度摆振模型。应用Hopf分岔定理，定性判定了摆振系统的Hopf分岔行为;并使用4阶龙格-库塔法，通过数值计算得出系统临界分岔速度值为41km/h，以及系统的单极限环自激振动现象;最后，研究主销后倾角对摆振的影响，发现选取较小或负的主销后倾角能够消除摆振。

参考文献：

[1]David D. Gunter. Modeling and Simulation of a 6x6 Military Troop/Cargo Transport Vehicle[J]. SAE Int. J. February 23-26， 1998（SP-1361）.

[2]Pacejka  H.  B.  The  Wheel  Shimmy  Phenomenon，  Ph.D.  Thesis，  Delft University of Technology， 1996.

[3]Broulhiet， G.， The Suspension of the Automobile Steering Mechanism： Shimmy and Tramp[J]. BullSoc. Ing. Civ. Fr. 78， pp. 540-554， July 1925.

[4]Bakker E.， Nyborg L.， Pacejka H.B. Tyre modelling for use in vehicle dynamics studies[A].SAE[C].1987：870421.

[5]清華大学汽车教研组，南京汽车制造厂设计科. 汽车转向轮的摆振以及结构参数对摆振的影响[J].汽车技术，1979，03：23-31.

[6][管迪华，魏克严，胡师金，何泽民，肖田元.汽车转向轮摆振的仿真计算研究[J].汽车工程，1982，01：33-38.

[7]管迪华，倪慎祥，肖田元，陈小悦，孔明树.汽车悬置以上结构模态参数对转向轮摆振的影响[J].应用力学学报，1984，01：45-56+149.

[8]宋健.导向轮轮胎和定位参数对汽车摆振影响的研究及整车横向动力学优化分析[D].北京：清华大学，1987，7.

[9]宋健，管迪华.前轮定位参数与轮胎特性对前轮摆振影响的研究[J].汽车工程，1990，04：13-25.

[10]宋健，钱珠声，管迪华.独立悬架汽车摆振的研究[J].汽车技术，1996，01：1-6+62.

[11]Pacejka， H.， A new tyre model with an application in vehicle dynamics studies[J].SAE Paper No.89007，1989.

[12]郭孔辉.用于汽车制动、驱动与转向运动模拟的轮胎力学统一模型[J].汽车技术，1992，01：11-18.