关于可导函数“极值存在性”盲点的探究

林朝晖

【摘要】高中数学“导数及其应用”这一章节中函数的“极值”是研究三次函数或超越函数的重要概念.根据函数极值的定义可知，一个可导函数在某一点处无论是取得极大值还是极小值，都要求其在该点处的局部两侧导数值异号，且这个函数在该点处导数为零是它在该点处取得极值的必要不充分条件.教学上我们也特别强调了是“必要”条件，尤其是“不充分”条件.比如，函数f（x）=x3在x=0处导数为零，但f（x）在x=0处并未取得极值.原因是该函数在x=0处两侧的导数值同号.事实上，f′（x）=x2≥0恒成立，f（x）在R上单调递增，不存在极值.单纯这一实例，学生看似理解，但总结十多年的教学实践反馈，凡涉及“极值存在性”问题，学生往往在实际操作中患得患失，检验意识淡薄，造成错误.

【关键词】导数；三次函数；极值定义；极值存在性；参数a的取值范围

下面结合一些教学上常见和突出的实例来专项探讨学生在“极值存在性”问题上的得与失：

一、当原函数为三次函数时的求极值问题

案例1 求f（x）=13x3-x2+x的极值.

错解 f′（x）=x2-2x+1，令f′（x）=0，x=1，则f（x）的极值为：f（1）=13.

错因分析 f′（x）=（x-1）2≥0恒成立，f（x）单调递增，f（x）无极值.

可以看出这里本质是：f′（x）=x2-2x+1中Δ=0！（Δ<0时是同理！）

案例2 求f（x）=13x3-4x+4的极值.

案例1原理弄清之后就不难解析本例了：

f′（x）=x2-4=（x+2）（x-2）.

令f′（x）=0，x=-2，（2）当f′（x）>0，即x<-2或x>2，f（x）单调递增，当f′（x）<0，即-2

前面两行的单调性表明了极值的存在！这个步骤必不可少.（求极值下略……），这里本质上是f′（x）中Δ>0！

这里可以作一简要归纳：

形如f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）

f′（x）=3ax2+2bx+c（a≠0）

Δ>0Δ≤0

f（x）有极值f（x）无极值

二、当原函数为三次函数时的极值存在性求含参问题

（一）在实数集R上有极值的情形

案例3 若f（x）=x3-ax2+2ax-3在R上有极值，求实数a的取值范围？

学生解 等价于f′（x）=3x2-2ax+2a=0在R上有实数解，令Δ≥0，解之.

解析 这里显然把上述概念所提到的“导数为零”作为了“充分条件”.注意到f′（x）是二次函数，如图1所示.

当Δ>0时，如图2所示，f（x）满足有极值的定义；当Δ≤0（特别当Δ=0）时，f′（x）≥0恒成立，

如图3所示，f（x）在R上单调递增，不存在极值.故正解应令Δ>0解之.

点评 这一实例告诉我们，当导函数是“二次函数”时，应限制Δ>0，为加深印象和区分度，可给出：

變式 若f（x）=x3-ax2+2ax-3，a∈R的图像存在与x轴平行的切线，求a的取值范围？

如图当Δ=0时，f（x）虽不存在极值，却存在与x轴平行的切线，满足题意，需令Δ≥0，从而让学生更加深刻体会它们的联系与区别.

（二）在某区间上有极值的情形

案例4 若f（x）=43x3+32ax2-a2x在区间[-1，1]上存在极值（或不单调），求实数a的取值范围？

学生解 f′（x）=4x2+3ax-a2=（4x-a）（x+a）=0，x=-a，a4.

令-1<-a<1或-1

解析 上述解法f′（x）中隐含着条件Δ≥0，学生往往未注意排除两根相等的情形（即Δ=0时，f′（x）≥0恒成立，f（x）在R上单调递增，不存在极值.）.

正解补充 令-a≠a4（与Δ>0等价），a≠0，则a的取值范围为（-4，0）∪（0，4）.

案例5 若f（x）=x3-ax2+x，在区间13，3上存在极值（或不单调），求实数a取值范围？

解析 f′（x）=3x2-2ax+1（这里不易因式分解可用求根公式同上例解法，但计算烦琐！可用分离参数法）

学生解 f′（x）=3x2-2ax+1=0在区间13，3上有解.

2ax=3x2+1，2a=3x2+1x=3x+1x13

从而23≤2a<283，则3≤a<143.

解析 上述解法也忽略了f′（x）中Δ>0的限制.需令Δ>0，这时a2>3，则a的取值范围为3，143.

点评 案例4，5属同一类型，但在f′（x）处理上要强调最常用的因式分解或分离参数的使用，这时均应考虑Δ>0的限制.

三、当原函数为非三次函数时的极值存在性求含参问题

案例6 若f（x）=x2-4x+3+alnx，在区间（0，2）上有极值，求实数a的取值范围？

学生解 f′（x）=2x-4+ax=2x2-4x+ax=0.等价于2x2-4x+a=o在（0，2）上有解.

分离a：a=-2x2+4x，x∈（0，2），求得0

解析 这里表达式是分式，但仍包含着二次函数，注意到分母x>0已确定，由求导及单调性可知同样需令Δ>0，这时a<2，则a的取值范围为0

案例7 若f（x）=ax-4ax-lnx，在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围？

分析 可先讨论在定义域（0，+∞）上不单调（有极值）的情形.

学生解 f′（x）=a1+4x2-1x=0在（0，+∞）上有解.

分离a：a=1x+4x（x>0），

解之得：014.

解析 f′（x）=a1+4x2-1x（1）

=ax2+4a-xx2=0.（2） 也可以从本式中分离参数！

学生可能会未写出（2）式的变化.a=0时，f（x）在定义域上单调；当a≠0时，f′（x）中仍包含二次函数，且分母已是正数，同样需令Δ>0，这时，-14

综合得：0

又f（x）在定义域上是单调函数，则a取值范围为a≤0或a≥14.

点评 以上各例是导数解答题中最常见的有关“极值存在性”的题型，考虑导函数中是否存在二次函数，若存在，需限制Δ>0，这是前提，这是学生普遍忽略的死角！

但无论什么题型，判断一个函数在某区间上是否存在极值最本质的还是“极值存在”定义.（上述Δ>0便蕴含在该定义之中）

四、利用“极值定义”来验证极值的存在性问题

案例8 f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求a，b的值.

学生解 f′（x）=3x2+2ax+b，

f′（1）=0且f（1）=10，解得a=4，b=-11或a=-3，b=3.

解析 学生一方面，是缺乏“是否有极值”检验的意识，另一方面，是检验不来.显然，这时利用Δ>0即可检验.也可用极值定义：当a=-3，b=3时，f′（x）=3x2-6x+3=3（x-1）2≥0恒成立，（f（x）在x=1处局部两侧导数同号），f（x）在R上单调递增，不存在极值，应排除.而a=4，b=-11则满足题意.

案例9 若f（x）=2lnx+ax-bx，在x=1處取得极值4，求a，b的值.

学生解 f′（x）=2x-ax2-b，f′（1）=0且f（1）=4，解得a=3，b=-1.

这在考试中常遇到的情形：只有一组解，学生往往更不会考虑去检验，这个步骤会被扣分.

解析 （应检验）这时

f′（x）=2x-3x2+1=x2+2x-3x2=（x+3）（x-1）x2（x>0）.

当x>1时，f′（x）>0，当0

案例10 若f（x）=ex-ax，x∈R有大于1的极值点，求a的取值范围？

解析 f′（x）=ex-a=0，x=lna>1，则a>e.（这里也可用分离参数法）

这时导函数中不含二次函数，可用极值定义验证：

当x>lna时，f′（x）>0；当x

变式 函数f（x）=ex-ax的图像在区间（1，+∞）上存在与y轴垂直的切线，求a的取值范围？

这时等价于f′（x）=ex-a=0在（1，+∞）上有解，同案例1的变式，无须验证是否取得极值.

以上列举平时常见的与“极值存在性”相关的案例，特别是求“含参问题”是难点！其中“验证极值的存在”是薄弱点！本文意即巩固和强化学生的“概念意识”，深刻认识文中提到的“必要不充分”条件，以便更全面更深刻地理解和消化，促进学生数学思维品质（严密性）的不断提升！