拉格朗日中值定理在函数极限运算中的运用

陈海文

【摘要】现代化的高等数学教育，不仅在难度上较高，同时在落实的过程中，要充分考虑到不同定理所代表的意义，要让学生在学习、应用的过程中，尽量通过合理方法来完成，这样才能在多项数学知识的掌握、利用上，尽量得到良好的成绩.文章针对拉格朗日中值定理在函数极限运算中的运用展开讨论，并提出合理化建议.

【关键词】拉格朗日中值定理；函数；极限运算；运用

一、拉格朗日中值定理概念

简单而言，拉格朗日中值定理也被称为拉式定理，是微分学中的基本定理内容.拉格朗日中值定理的出现，充分反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率，以及与区间内部某点的局部变化率的关系.在研究拉格朗日中值定理的过程中，认為该定理的出现，主要是罗尔中值定理的推广部分，同时也可以作为柯西中值定理的特殊情况来看待，在一阶展开以后，能够看作是泰勒公式的弱形式.

二、定理表述

就拉格朗日中值定理本身而言，其在函数极限计算应用的过程中，需要对定理本身的表述充分的清楚，尽量通过合理的手段与方法进行操作，帮助学生更好地理解定理，将定理的熟练运用更好地提升.在定理表述过程中：如果函数f（x）满足以下两种条件，即在闭区间[a，b]上保持为连续的状态；在开区间（a，b）当中，能够保持在可导的状态.那么，根据定理的内容，认为在开区间的（a，b）当中，至少会存在一点ξ，ξ的定义范围表现在（a<ξ

三、拉格朗日中值定理在函数极限运算中的运用

函数极限运算在开展的过程中，自身所表现出的难度是比较高的，我们想要在运算的过程中得到准确的结果，或者是在运算的过程中不出现严重的差错，都应该将拉格朗日中值定理进行科学运用，要让两者在共同融合以后，取得较好的计算成果.例如，在计算 limx→0ex-esinxx-sinx的过程中.需要首先对这个题目开展分析.在高等数学当中，该题目是比较典型的内容，有助于对拉格朗日中值定理更好的理解，同时对于函数极限运算的巩固，也能够产生较大的积极作用.对于一般的思维理解而言，我们会发现该题目，主要求得的内容在于极限函数是“00”型未定式，此时可以想到应用罗比达法进行解答问题.具体的解答方法如下：

limx→0ex-esinxx-sinx

=limx→0ex-esinxcosx1-cosx

=limx→0ex-esinxcos2x+esinxsinxsinx

=limx→0ex-esinxcos3x+2esinxcosxsinx+esinxcosxsinx+esinxcosxcosx

=1.

从传统的解答方法来看，函数极限运算的过程中，发现 limx→0ex-esinxx-sinx的类型，隶属于f（b）-f（a）b-a的形式.

分析认为，拉格朗日中值定理在解答的过程中，会利用f（x）=ex的条件限定，很容易得到该函数在区间[x，sinx]当中，可以充分满足拉式定理的条件，由此在计算以后得到以下内容：

ex-esinx=f（x）-f（sinx）=（x-sinx）f′（sinx+θ（x-sinx））（0<θ<1），即

ex-esinxx-sinx=f′（sinx+θ（x-sinx））（0<θ<1）.

∵f′（x）=ex连续，

∴limx→0f′（sinx+θ（x-sinx））=f′（0）=1，

从而有 limx→0ex-esinxx-sinx=1.

对于两种不同的解答方法进行分析以后，很多学生都可以了解到，拉格朗日中值定理在运用的过程中，能够将传统运算方法的部分内容进行科学的省略，相对于传统的解答方法，运用拉式定理来进行解答，能够得到更加简便的效果.

四、拉格朗日中值定理的意义分析

高等数学体系当中，函数极限运算是非常重要的组成部分，同时对于学生其他知识的学习，也有很大的积极作用.我们在应用拉格朗日中值定理来开展函数极限运算的过程中，需要对该定理的意义进行深刻的分析，然后找准不同的意义方向，进而在函数极限运算的过程中，尽量得到较为准确的结果.

五、总 结

本文对拉格朗日中值定理在函数计算运算中的运用展开讨论，现阶段的函数极限运算教学中，对于拉格朗日中值定理的应用是比较重视的，因此，在高等数学的教育水平上获得了较大的提升.日后，应继续在各项定理的学习上，与函数知识更好的结合，促使学生的知识体系建立，表现为更高的健全特点.值得注意的是，在拉格朗日中值定理的学习过程中，应该加强与其他方法的对比分析，促使对定理的理解更加透彻.

【参考文献】

[1]孙娜.运用拉格朗日中值定理逆向巧解数学问题[J].科技创新导报，2015（30）：255-256.

[2]严海霞.微积分解题中拉格朗日中值定理的运用初探[J].山东农业工程学院学报，2015（8）：31-32.

[3]冯洁，赵旭.关于拉格朗日中值定理应用的研究[J].职业技术，2013（4）：91.