固有周期公式的推导及拓展

摘 要：本文从两个不同的角度推导出了简谐运动的周期公式T=2πmk。在研究小角度摆动的单摆时，首先证明了其为简谐运动，找出了比例系数k，推导出单摆的周期公式T=2πlg。随后对其他情况下斜面上的单摆、处于向上加速系统中的单摆、向下加速系统中的单摆的周期进行了深入的探讨。

关键词：简谐运动；周期公式；导数；非惯性参考系

人教版物理选修3-4第十一章《机械振动》第17页指出：惠更斯确定了计算单摆周期的公式：T=2πlg，书上对于惠更斯是如何得到这个公式的没有给出具体的过程，而是以结论的形式直接给出的。现在简要说一下个人的一些思路。不妨先从弹簧振子入手。

如图（1）所示：以角速度ω沿半径为R的圆轨道做逆时针匀速圆周运动质点P在初始时刻对应的角度为φ，经过时间t，质点转过的角度为ωt，此时质点P对应的角度为ωt+φ，

位移为：x=Rsin（ωt+φ）=Asin（ωt+φ），

顯然质点在x轴上的投影为简谐运动。做圆周运动的向心加速度为：x

an=ω2R，在x轴上的分量大小为：ax=ω2Asin（ωt+φ），

简谐运动的回复力的大小为：F回=kx=kAsin（ωt+φ），

图（1）

则根据牛顿第二定律有：F回=kx=kAsin（ωt+φ）=max=mω2Asin（ωt+φ），

则有：k=mω2，即k=m4π2T2，所以有T=2πmk（图1）

换个思维方法：简谐运动的位移和时间的关系式为：x=Asin（ωt+φ）

在位移-时间图象中，斜率表示速度。

因此上式对时间t求导：v=dxdt=Acos（ωt+φ）.ω

在速度-时间图象中，斜率表示加速度。因此上式对时间t求导：

a=dvdt=-Aωsin（ωt+φ）。ω=-Aω2sin（ωt+φ）

简谐运动中回复力与位移的关系为：F回=-kx=-kAsin（ωt+φ）=ma

将以上两式联立得：k=mω2，即k=m4π2T2，所以有T=2πmk（其中k为比例系数）

上式对于任意的简谐运动都适用，具有普遍性。下面我们研究一下单摆的周期问题。

如图（2），当θ较小时，F回=-mgsinθ=-mglx，可看成简谐运动。对比简谐运动中回复力与位移的关系：F回=-kx，可以看出k=mgl，代入T=2πmk，可得单摆的周期公式为T=2πlg

当单摆在倾角为θ的光滑斜面上小角度摆动时，如图（3）所示。摆球受到重力mg、支持力FN和绳子的拉力F的作用。为了处理问题的方便，我们可以先将重力mg进行分解，如图（4）所示。这样支持力FN就被重力的分力mgcosθ给平衡掉了。使得摆球在沿着斜面上的力就只剩下绳子的拉力F和重力的分力mgsinθ了，如图（5）所示。下面我们就可以集中精力研究沿着斜面上的力学问题了，如图（6）所示。则有：

F回=-（mgsinθsinφ）=-（mgsinθxl）=-mgsinθlx，对比F回=-kx，可知k=mgsinθl，代入

T=2πmk，得T=2πlgsinθ，下面我们来研究一下非惯性参考系中单摆的周期问题。

一、 单摆处于向上加速的电梯中

向上加速的电梯是一个非惯性参考系，为了使牛顿第二定律在形式上依然成立，可以在非惯性参考系中引入惯性力ma，F回=-（mg+ma）sinθ=-（mg+ma）xl，对比F回=-kx，可知k=mg+mal，代入T=2πmk，得T=2πlg+a

二、 单摆处于向下加速的电梯中

同理在非惯性参考系中引入惯性力ma，F回=-（mg-ma）sinθ=-（mg-ma）xl，对比F回=-kx，可知k=mg-mal，代入T=2πmk，得T=2πlg-a

参考文献：

[1]漆安慎，杜婵英.普通物理学教程力学[M].高等教育出版社，2001.

作者简介：

王启平，新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市，新疆实验中学。endprint