基于Alaph稳定分布与多重分形分析的齿轮箱故障特征提取方法研究进展

熊 庆，徐延海，唐 岚

(1. 流体及动力机械教育部重点实验室，四川 成都 610039；2. 汽车测控与安全四川省重点实验室， 四川 成都 610039；3. 西华大学汽车与交通学院，四川 成都 610039)

随着科学技术和工业化进程的高速发展，机械设备日益自动化、微型化和精密化，设备的维护策略也力求精准、高效和智能。齿轮箱作为一种连接、传递动力的机械设备通用部件，被广泛应用于航空航天、交通运输、石油化工等领域。

齿轮箱常工作于长时间高速、重载的恶劣工况中，其齿轮、滚动轴承等关键旋转部件难免会出现疲劳损伤。据统计，齿轮箱的各类故障中，齿轮及滚动轴承的故障高达79%[1]。任何微小故障若不及时处理，将导致该部件的功能失效进而引发一系列的连锁反应，使得整个齿轮箱不能正常工作，其结果轻则造成严重的经济损失，重则可能导致灾难性的人员伤亡。目前，由于齿轮箱关键部件齿轮或滚动轴承的损伤性故障如点蚀、剥离和断裂等，如图1所示，未能及时发现而导致的重大事故屡见不鲜。1986年，英国一架直升机在北海油田执行任务时，由于齿轮箱某个锥齿轮突然断裂而造成了飞机失事[2]；2年后，我国秦岭发电厂1台200 MW的汽轮机发电机组发生了轴系断裂的重大事故，造成约3 000万元的经济损失[3]。研究快速、有效的齿轮箱关键部件状态监测及故障诊断技术，对保障设备的正常运行、避免经济损失及人员伤亡事故均具有重要的现实意义。

图1 齿轮与滚动轴承的常见故障类型

目前，齿轮箱关键部件故障诊断的研究以振动分析为主，集中在振动信号的预处理、特征提取及状态识别3方面，其中有效特征的提取最为关键，一直是该领域的瓶颈问题[4]。特征的有效性主要表现在2方面，即敏感性和稳定性。如果一个特征对于某部件不同的故障状态(不同的故障类型、不同的故障程度)具有良好的区分能力，则敏感性较好；在工况不发生变化的条件下，对于相同的故障状态，如果一个特征的取值随时间一直稳定在某个特定范围，不产生较大波动，则稳定性较好。

包络分析[5]、谱峭度[6]、统计参数[7]、Wigner-Ville分布[8]、小波变换[9]、经验模态分解[10]、集合经验模态分解[11]等方法都被广泛应用于齿轮或滚动轴承的故障诊断中。然而，包络分析的滤波器参数很难确定，通常需要借助经验或者其他数值计算方法；谱峭度方法受到所选择的滤波器的限制，不适合分析高转速信号；统计参数法对非平稳、非线性信号的分析缺乏能力；Wigner-Ville分布存在严重的交叉干扰；小波变换缺乏自适应性；经验模态分解方法存在端点效应和模态混叠；集合经验模态分解方法尽管克服了端点效应问题，但是模态混叠依然存在。以上这些问题若出现在实际工程中，可能会导致故障“误诊”和“漏诊”[12]。

近年来，随着各个学科间的交叉与合作，Alpha稳定分布方法(Alpha stable distribution, ASD)与多重分形分析方法(Multi-fractal analysis, MFA)逐渐应用于故障诊断领域。它们以信号的内在形状属性或动力学机制为对象，为齿轮箱关键部件有效特征的提取提供了新方向。本文将对这些已有的成果进行分类和总结，并对该领域的发展趋势予以展望，力图为提升这2种方法在齿轮箱关键部件故障特征提取中的应用效果提供参考。

1 基于ASD的故障特征提取方法

ASD方法原先主要用于通信信号识别[13]、图像图形处理[14]、目标检测[15]等领域。由于它适用性广，且在非高斯、脉冲状信号建模方面具有优良的鲁棒性，渐渐被应用于机械的故障诊断领域[16-19]。目前，ASD应用于齿轮或滚动轴承故障诊断领域的相关研究还处在起步阶段，成果较少。

1.1 ASD方法

ASD，又称为雷维Alpha稳定分布，它从广义中心极限定理演化而来，比高斯分布具有更广的适用性。高斯分布、雷维分布及柯西分布均是它的3个特例[20]。一般描述ASD的统计特性的特征函数为

(1)

式中：

(2)

(3)

其中，α(0<α≤2)为特征指数，它反映ASD分布的拖尾厚度，并刻画了信号的脉冲强度。α越小，则ASD的拖尾越厚，信号的脉冲性越强；当α=2时，ASD退化为高斯分布。β(-1≤β≤1)为对称参数，它反映ASD的偏斜程度。β=0时，其概率密度函数(probability density function, PDF)关于位置参数δ对称；若β≠0，其PDF不对称。γ(γ>0)为分散系数，它反映了ASD的分散程度。δ(-∞≤β≤∞)为位置参数，它刻画了ASD的位置。

综上可知，ASD的统计特性由4个参数(α、β、γ、δ)确定。研究发现，除参数(α、γ、β、δ)外，ASD概率密度函数(PDF)的极大值H，如图2所示，对于不同故障也有明显的差异[21-22]。

图2 基于ASD的常见特征参数

1.2 基于ASD的故障特征提取方法研究进展

李长宁[18]利用参数估计、拟合优度检验、稳定性检验等方法证明了滚动轴承故障信号服从ASD，并通过特征指数α的大小和变化情况来判断滚动轴承的状态。师宁宁[23]随后证明了齿轮故障信号服从ASD，以α为特征并结合Morlet小波，对齿轮箱某齿轮的齿根裂纹故障进行了成功诊断。Yu等[19]对基于快速谱峭度的共振解调方法做了改进，选取α的最小值(代替谱峭度最大值)作为共振解调参数(中心频率及带宽)的选择依据，并结合包络谱，成功对滚动轴承外环、内环故障进行了诊断。Zhang等[24]提出了一种基于ASD与形态梯度滤波的齿轮箱故障诊断方法，以α的最小值(代替峭度)优化结构元的长度，并结合快速傅里叶变换，成功对齿轮箱的行星齿轮、太阳轮及内环形齿的断齿故障进行了诊断。虽然上述研究均把ASD成功运用于齿轮或滚动轴承的故障诊断中，但是仅仅使用了其中1个参数，即特征指数α。如果进一步对其他参数进行研究，有望利用ASD方法提取更多的故障特征信息。

申永军等[25]首先对信号进行小波包分解，然后提取ASD的特征指数α、分散系数γ作为特征向量，最后结合支持向量机，成功对5种不同状态(正常、外环故障、内环故障、滚子浅故障、滚子深故障)的滚动轴承进行了识别。Li等[21]首先对信号进行快速非局部均值降噪及经验模态分解，然后提取α、γ及PDF的极大值H作为特征量，输入到最小二乘支持向量机中，成功对滚动轴承的7种不同状态进行了诊断。余香梅等[16]提取齿轮箱振动信号的4个ASD参数(α、γ、β、δ)作为特征量，输入到以决策树及投票法构造的多分类支持向量机中，成功识别了轮齿齿面磨损、崩齿、滚动轴承外环点蚀、内环划伤、保持架损坏等5种齿轮箱关键部件的常见故障。Chouri 等[26]同样以α、γ、β、δ为特征参数，结合加权支持向量机，对滚动轴承的外环、内环及滚子的点蚀故障进行了诊断。尽管上述研究均提取了ASD的多种特征参数，但它们并未进行特征筛选。如果仅把敏感性、稳定性均较好的特征输入到分类器中进行状态识别，有望进一步提高故障诊断的精度及效率。

随后，Xiong等[22]和熊庆等[27]对4个ASD参数(α、γ、β、δ)进行稳定性及敏感性分析，把适合作为滚动轴承故障振动信号的故障特征量的参数α和γ，与经过粒子群优化的最小二乘支持向量机结合组成故障智能诊断模型，对滚动轴承不同位置、不同故障程度的状态进行准确分类，但是文中故障样本少，各个参数与故障程度之间的对应关系还须进一步研究。

2 基于MFA的故障特征提取方法

分形方法是处理不规则、非线性问题的一种有效工具[28]，它能够透过不规则表象，揭示其潜在规律。振动信号具有分形特性，但传统的单分形方法缺乏局部分辨能力。2002年，Kantelhardt等[29]把单分形与基于标准配分函数的MFA计算流程结合，提出多重分形去趋势波动分析方法。采用该方法可精确提取振动信号的多重分形谱。多重分形谱由于其参数能够揭示故障信号的潜在动力学机制，感知复杂背景下的微弱变化，适合作为振动信号的故障特征量，故被广泛应用于机械故障诊断领域[30-33]。

2.1 MFA方法

对某个非平稳时间序列xk(k=1,2,…,N)，MFA方法[29]完整步骤如下。

1)计算累积离差Y(i)。

(4)

式中(x)为xk的均值。

2)将Y(i)等长分区。将Y(i)以相等的长度s分为不交叉的Ns段数据，再把数据从反方向以长度s分为Ns段；因此，数据总共有2Ns段。

3)计算均方误差F2(v,s)。通过最小二乘拟合各数据段的多项式趋势，计算均方误差。

(5)

式中yv(i)为第v数据段的趋势。

4)计算q阶波动函数的均值Fq(s)。

(6)

5)验证Fq(s)与s是否存在幂律关系。

Fq(s)～sH(q)。

(7)

式中H(q)为广义Hurst指数。若式(7)成立，说明xk具有多重分形特性。

6)估计多重分形谱。将式(5)代入式(6)和式(7)，可得

(8)

若N是s的整数倍，即Ns=N/s，可得

(9)

由式(4)可知，

由标准配分函数χq(ε)定义标度指数τ(q)，有

(11)

联合式(9) 、式(10) 、式(11)可得到H(q)与标度指数τ(q)的关系

τ(q)=qH(q)-1。

(12)

由Legendre公式可知，

(13)

结合公式(12)，可得到奇异指数hq与多重分形谱f(hq)：

(14)

除了多重分形谱外，标度指数、Hurst指数等参数也常被应用于齿轮箱关键部件的故障诊断中[34-35]，如图3所示。

图3 基于MFA的常见特征参数

2.2 基于MFA的故障特征提取方法研究进展

赵玉春[36]在传统多重分形谱参数(谱宽Δhq、概率子集分形维数差Δf、最大值fmax、最小值fmin及最大值对应的奇异指数hq0)的基础上，进一步提取了其他MFA参数：不对称系数B、多重分形谱面积S和多重分形熵Hm。其仿真及试验结果表明，这些MFA参数能对滚动轴承的不同故障状态进行定量区分。Li等[37]指出滚动轴承状态的不同将导致盒维数、信息维数及相关维数等MFA参数的变化，并结合相关系数成功区分了滚动轴承的正常状态、外环及内环故障状态。Hu等[38]提取信号的9个MFA参数，包括5个广义分形维数(D(-2)、D(-1)、D(0)、D(1)、D(2))和4个多重分形谱参数(Δhq、Δf、fmax、Hm)，然后把它们与马氏距离分类法相结合，对油泵滑动轴承的空气间隙、滚动轴承的外(内)环磨损等早期故障进行了成功的识别。朱云博等[33]将多重分形谱最大、最小奇异指数hqmin、hqmax，最大的广义分形维数Dmax及Δf作为支持向量机的输入特征量，成功识别了齿轮箱齿轮裂纹、齿轮剥离故障。林近山等把hq0、Δhq、hqmin、hqmax、Δf、Hurst指数及标度指数等MFA参数分别应用于齿轮箱齿轮[32]及滚动轴承[34]的故障诊断中，成功地对齿轮故障(不同损伤程度的磨损、断齿)、滚动轴承故障(不同损伤程度的外环、内环及滚子点蚀)进行了智能识别。Liu等[35]首先对信号进行局部特征尺度分解，以获得一系列固有尺度函数，然后对每个尺度函数进行MFA分析，提取广义Hurst指数作为故障特征，最后结合主成分分析对不同故障类型、不同损伤程度的滚动轴承故障进行了成功区分。贾峰等[39]提取MFA的4个参数hq0、Δhq、hqmax、Δf，结合基于混合遗传算法参数优化的支持向量机，建立了智能诊断模型，其仿真及试验表明，该模型对滚动轴承正常状态、单故障(内环、滚动体)与复合故障(内环与滚动体同时存在故障)等状态具有很强的辨识能力。李莎等[40]提取MFA参数Δhq、fmax及盒维数作为故障特征，结合粒子群优化的支持向量机，成功对齿轮箱中齿面磨损、滚动轴承外环凹痕、滚子磨损及保持架断裂等故障进行了智能诊断。褚青青等[41]将多重分形谱能量和广义分形维数组成的二维特征量输入到PNN神经网络中，对齿轮的4种状态(正常、磨损、断齿、周节误差)进行了精确分类。

虽然上述研究均通过MFA方法提取了齿轮或滚动轴承的多种特征参数，并最终成功运用于故障诊断；但它们未对提取的多种参数进行敏感性、稳定性分析，就直接与各种智能分类方法相结合，延长了状态识别过程的时间并降低了识别精度。

随后，熊庆等[42]对MFA方法提取的5个参数(hq0、Δhq、hqmin、hqmax、Δf)进行了稳定性及敏感性分析，然后把性能最优的参数hq0及hqmin与经过粒子群优化的最小二乘支持向量机相结合，成功对滚动轴承7种不同位置、不同故障程度的状态进行了区分。同样的，文中所采用的故障样本较少，各个参数与故障程度之间的对应关系还须深入研究。

3 基于ASD与MFA的特征融合方法研究进展

齿轮箱是一个包含众多部件、结构复杂的动力学系统。若关键部件齿轮或滚动轴承出现故障，其振动信号通常非常微弱，隐含大量脉冲且呈现出非平稳、非线性特征。为了对其运行状态进行高效、稳定、实时的监测与故障诊断，需要结合多种状态信息(如振动、温度、声音等)进行特征融合。特征融合能利用各类特征的冗余、互补信息，获得更多反映齿轮箱运行状态的信息量，得到比单一特征方法更好的诊断效果[43-46]。

ASD与MFA之间存在联系。Espen[47]通过理论推导证明了ASD的特征指数α与MFA的广义Hurst指数之间存在关系。对于一个独立的、服从ASD的时间序列，广义Hurst指数在阶数q=0时的取值约等于特征指数α的倒数，即Hq=0=1/α；一个具有长程相关性的ASD时间序列，广义Hurst指数在阶数q=0时的取值约等于0.75，大于特征指数α的倒数，即Hq=0=0.75>1/α。杨伟超[48]指出ASD的特征指数α对多重分形盒维数有较大影响。以标准对称Alpha稳定分布为例：若0<α<1，对应的多重分形盒维数的稳定性会受到较大影响；若1≤α≤2，盒维数的稳定性相对较好。其次，α>1时，多重分形谱参数受阶数q变化的影响较小；若0<α<1时，多重分形谱参数受q的影响较大。若阶数|q|<<1，振动信号的脉冲性受到抑制，但其存在多重分形谱；若阶数|q|>1，多重分形谱一般呈现变异现象。Xiong等[49]利用2种方法参数之间的相互关系，提出了基于ASD与MFA特征融合的故障诊断方法。首先，提取信号的5个ASD特征(α、β、γ、δ、h)与5个MFA特征(hq0、Δhq、hqmin、hqmax、Δf)，利用核主成分分析对这10个特征进行降维融合，获取信息互补的特征量，并输入到经过粒子群进行参数优化后的最小二乘支持向量机中进行故障诊断。试验结果表明，对ASD、MFA提取的特征进行融合后，融合特征比单一方法提取的特征性能更优，输入到同样的分类器，故障诊断的精度显著增加。

上述研究对ASD参数与MFA参数的相关性做了初步探索，但仅仅涉及到部分参数；其次，尽管2种方法的特征融合已被成功应用于滚动轴承的故障诊断，但这2种方法理论上的内在联系尚未明确。

4 讨论

综上所述，尽管ASD、MFA理论在旋转部件的故障特征提取方面取得了一些可喜的进展，其研究成果在齿轮箱的齿轮、滚动轴承等方面初步走向应用，然而, 基于ASD与MFA的故障特征提取所涉及的基础理论与研究方法还有待完善。笔者认为可以从2方面开展进一步的探索。

1) ASD与MFA的特征筛选问题。

利用ASD与MFA，可以提取大量的特征参数。已有的大多数方法未对这些特征参数进行筛选就直接与各种智能分类方法相结合，不仅增加了识别时间还降低了识别精度。如果筛选掉性能不佳的参数，仅把敏感性、稳定性均较好的参数作为分类器的输入，那么有望进一步提高故障诊断的精度及效率。

2) ASD与MFA的特征融合问题。

ASD与MFA方法在齿轮或滚动轴承振动信号的特征提取方面各具优点且相互关联。ASD适合对信号建模，以数学公式描述信号的“外在轮廓”；MFA能够反映信号在复杂环境中的微弱变化，表征信号的“内在机制”。已有的研究尚未考虑结合这种“内外”联系，以获取信息互补的融合特征，进一步提高故障诊断的精度和效率。

5 总结

由于齿轮箱关键部件齿轮与滚动轴承的故障振动信号服从Alpha稳定分布，具有多重分形特性，因此其参数与支持向量机、神经网络等分类器结合可对齿轮或滚动轴承不同位置、不同程度的故障进行诊断。

然而，ASD、MFA方法应用于齿轮箱关键部件的故障诊断仅仅处于初步阶段。目前已有的相关成果少，选取的故障样本小，对特征参数的物理意义及特征参数与不同位置、不同程度的故障之间的关联性研究不够。

在未来的研究中，针对不同故障位置、不同故障程度的齿轮及滚动轴承故障，该领域的学者们可以提取基于2种方法更多的特征参数并增加故障样本，通过分析不同故障状态下所有样本对应的各种特征参数的变化规律，研究各种特征对于不同故障状态反映的敏感性和稳定性，并以此对各种特征进行有效性优、劣分类，筛选出若干性能较优的特征。其次，可以利用相关分析或相关系数法定量分析各种特征之间的相关度，提取最优相关特征集，并针对其中的冗余特性，利用核主成分分析对其进行降维融合及冗余消除，以获取信息互补的融合特征，最终结合某种或多种智能分类方法以实现齿轮箱关键部件的稳定、高效、实时的故障诊断。

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