杨辉三角中的一些秘密

2018-02-01 17:45杨海跃��
考试周刊 2017年91期

杨海跃��

摘要:作为中国数学史上重要的发现,杨辉三角带我们领略数字的奥秘,为我们打开二项式系数的大门。现在,让我们从杨辉三角出发,探索它的精妙绝伦的性质。用研究与总结来揭开它神秘的面纱。

关键词:三角的秘密;杨辉三角;数学探索

杨辉三角,又称贾宪三角,帕斯卡三角,是二项式系数在三角形中的一种几何排列,最早由贾宪在《释锁算术》提出(约公元11世纪),并且杨辉在《详解九章算术》中详细说明。在欧洲,这被认为是法国数学家帕斯卡(B.Pascal,1623-1662)首先发现的。也就是说,杨辉三角的发现比欧洲早五百年,这是值得中华民族自豪的数学成就。

杨辉三角是一种由数字组成的,能表示二项式系数的数学模型

单从数字排列方面研究:在同一行中,每行两端都是1;在相邻的两行中,除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和。而从二项式系数方面来看:第n行的数列为(a+b)n的展开式的二次项系数C0n,C1n,…Cnn。实际上,上述两种解释是等价的,不妨设表中任意不为1的数为Crn+1,那么它“肩上”的两数分别为Cr-1n,Crn,易证Crn+1=

Cr-1n+Crn。由此我们发现了杨辉三角与二项式系数之间的一个基本联系。

由此发散,可以找到更多神奇的性質。

1. 将第n行的数做和记为f(n),会发现f(n)=2n-1。这其实与二项式系数有关,已知(a+b)m=∑mk=0Ckmakbm-k,令a,b=1,则有2m=∑mk=0Ckm,又因为第n行的数代表

(a+b)n-1展开的二项式系数,所以得证。

2. 杨辉三角与高阶等差数列。仔细观察杨辉三角的腰,从右往左第一列分别为1,1,1…;第二列分别为1,2,3…;第三列分别为1,3,6,10,15…,这不禁让我想起数学老师曾提到过的“高阶等差数列”。所谓高阶等差数列,对于一个数列{an},把它连续两项an+1与an的差记为bn,则数列{bn}称为原数列{an}的一阶差数列,再将{bn}重复上述操作;以此类推,可以得到{an}的p阶差数列,如果它的p阶差数列是一个非零常数列,那么称{an}为p阶等差数列。

回到这个问题,第二列是个一阶等差数列,第三列是个二阶等差数列……第n列是个(n-1)(n>1)阶等差数列。而且第n列是第(n+1)列的一阶差数列,第n列是第(n+k)列的k阶差数列。此规律的证明可从定义入手,某列中的相邻两数am、am+1之差,等于am+1右肩上的数,依次类推,它右边的一列就是它的一阶差数列。并且从右向左第n(n≥0)列,可表示为C0n-1、C1n、…Ckn-1+k,所以它们的前k项和C0n-1+C1n+…+Ck-1n+k-2=C0n+C1n+…+Ck-1n+k-2=C1n+1+C2n+1+…+Ck-1n+k-2=…。这是一个特殊的数列求和公式。

3. 根据“2”的推导思路,我们还可以发现一个有趣规律。截取一部分杨辉三角,

会发现连线上的数字之和恰好等于箭头所指数字。第n列的前k项和等于第n+1列的第k项,即

Cn-1n-1+Cn-1n+Cn-1n+1+…+Cn-1n+k-2=Cnn+k-1可用数学归纳法证明。

(1)易知k=1时成立,

(2)假设k=m时成立,

则Cn-1n-1+Cn-1n+Cn-1n+1+…+Cn-1n+m-2=Cnn+m-1

(3)Cn-1n-1+Cn-1n+Cn-1n+1+…+Cn-1n+m-2+Cn-1n+m-1=Cnn+m-1+Cn-1n+m-1=Cnn+m=Cnn+m-1+1,所以k=m+1时成立。

由(1)(2)知对任意正整数k成立。

4. 杨辉三角与斐波那契数列的关系。

图中被标记的数分别相加,将会得道斐波那契数列1,1,2,3,5…

众所周知,简单地理解斐波那契数列,其中每个大于1的数,都等于它前两项的和。从图形中,根据杨辉三角的特点,也不难发现此规律。

由此,我们可总结出斐波那契数列的组合数通式。

据观察,a1=C00,a2=C01,a3=C11+C02,a4=C12+C03,a5=C22+C13+C04,a6=C23+C14+C05,…

我们猜想a2n+1=Cnn+Cn-1n+1+Cn-2n+2+…+C02n;a2n=

Cn-1n+Cn-2n+1+Cn-3n+2+…+C02n-1。

并且,可以用数学归纳法证明。

(1)易知n=1,n=2时成立。

(2)假设n=k时成立则a2k=Ck-1k+Ck-2k+1+…+C02k-1,

a2k+1=Ckk+Ck-1k+1+…+C02k

(3)a2k+a2k+1=Ckk+1+Ck-1k+2+…+C12k+C02k=C(k+1)-1k+1+C(k+1)-2(k+1)+1+…+C12(k+1)-2+C02(k+1)-1=a2(k+1)成立,同理,a2k+1+a2k+2=a2(k+1)+1成立。所以n=k+1时成立。

所以由(1)(2)知,对任意正整数成立。

总的来说,通过杨辉三角的特点规律进行发散,并进行解释说明,可以帮助我们更好地认识杨辉三角,更好地运用组合数知识,更好地探索新的解题方法,更好地探秘数学世界。

作者简介:杨海跃,山东省莱芜市,莱芜一中。endprint