杨辉三角中的一些秘密

杨海跃��

摘要：作为中国数学史上重要的发现，杨辉三角带我们领略数字的奥秘，为我们打开二项式系数的大门。现在，让我们从杨辉三角出发，探索它的精妙绝伦的性质。用研究与总结来揭开它神秘的面纱。

关键词：三角的秘密；杨辉三角；数学探索

杨辉三角，又称贾宪三角，帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，最早由贾宪在《释锁算术》提出（约公元11世纪），并且杨辉在《详解九章算术》中详细说明。在欧洲，这被认为是法国数学家帕斯卡（B.Pascal，1623-1662）首先发现的。也就是说，杨辉三角的发现比欧洲早五百年，这是值得中华民族自豪的数学成就。

杨辉三角是一种由数字组成的，能表示二项式系数的数学模型

单从数字排列方面研究：在同一行中，每行两端都是1；在相邻的两行中，除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和。而从二项式系数方面来看：第n行的数列为（a+b）n的展开式的二次项系数C0n，C1n，…Cnn。实际上，上述两种解释是等价的，不妨设表中任意不为1的数为Crn+1，那么它“肩上”的两数分别为Cr-1n，Crn，易证Crn+1=

Cr-1n+Crn。由此我们发现了杨辉三角与二项式系数之间的一个基本联系。

由此发散，可以找到更多神奇的性質。

1. 将第n行的数做和记为f（n），会发现f（n）=2n-1。这其实与二项式系数有关，已知（a+b）m=∑mk=0Ckmakbm-k，令a，b=1，则有2m=∑mk=0Ckm，又因为第n行的数代表

（a+b）n-1展开的二项式系数，所以得证。

2. 杨辉三角与高阶等差数列。仔细观察杨辉三角的腰，从右往左第一列分别为1，1，1…；第二列分别为1，2，3…；第三列分别为1，3，6，10，15…，这不禁让我想起数学老师曾提到过的“高阶等差数列”。所谓高阶等差数列，对于一个数列{an}，把它连续两项an+1与an的差记为bn，则数列{bn}称为原数列{an}的一阶差数列，再将{bn}重复上述操作；以此类推，可以得到{an}的p阶差数列，如果它的p阶差数列是一个非零常数列，那么称{an}为p阶等差数列。

回到这个问题，第二列是个一阶等差数列，第三列是个二阶等差数列……第n列是个（n-1）（n>1）阶等差数列。而且第n列是第（n+1）列的一阶差数列，第n列是第（n+k）列的k阶差数列。此规律的证明可从定义入手，某列中的相邻两数am、am+1之差，等于am+1右肩上的数，依次类推，它右边的一列就是它的一阶差数列。并且从右向左第n（n≥0）列，可表示为C0n-1、C1n、…Ckn-1+k，所以它们的前k项和C0n-1+C1n+…+Ck-1n+k-2=C0n+C1n+…+Ck-1n+k-2=C1n+1+C2n+1+…+Ck-1n+k-2=…。这是一个特殊的数列求和公式。

3. 根据“2”的推导思路，我们还可以发现一个有趣规律。截取一部分杨辉三角，

会发现连线上的数字之和恰好等于箭头所指数字。第n列的前k项和等于第n+1列的第k项，即

Cn-1n-1+Cn-1n+Cn-1n+1+…+Cn-1n+k-2=Cnn+k-1可用数学归纳法证明。

（1）易知k=1时成立，

（2）假设k=m时成立，

则Cn-1n-1+Cn-1n+Cn-1n+1+…+Cn-1n+m-2=Cnn+m-1

（3）Cn-1n-1+Cn-1n+Cn-1n+1+…+Cn-1n+m-2+Cn-1n+m-1=Cnn+m-1+Cn-1n+m-1=Cnn+m=Cnn+m-1+1，所以k=m+1时成立。

由（1）（2）知对任意正整数k成立。

4. 杨辉三角与斐波那契数列的关系。

图中被标记的数分别相加，将会得道斐波那契数列1，1，2，3，5…

众所周知，简单地理解斐波那契数列，其中每个大于1的数，都等于它前两项的和。从图形中，根据杨辉三角的特点，也不难发现此规律。

由此，我们可总结出斐波那契数列的组合数通式。

据观察，a1=C00，a2=C01，a3=C11+C02，a4=C12+C03，a5=C22+C13+C04，a6=C23+C14+C05，…

我们猜想a2n+1=Cnn+Cn-1n+1+Cn-2n+2+…+C02n；a2n=

Cn-1n+Cn-2n+1+Cn-3n+2+…+C02n-1。

并且，可以用数学归纳法证明。

（1）易知n=1，n=2时成立。

（2）假设n=k时成立则a2k=Ck-1k+Ck-2k+1+…+C02k-1，

a2k+1=Ckk+Ck-1k+1+…+C02k

（3）a2k+a2k+1=Ckk+1+Ck-1k+2+…+C12k+C02k=C（k+1）-1k+1+C（k+1）-2（k+1）+1+…+C12（k+1）-2+C02（k+1）-1=a2（k+1）成立，同理，a2k+1+a2k+2=a2（k+1）+1成立。所以n=k+1时成立。

所以由（1）（2）知，对任意正整数成立。

总的来说，通过杨辉三角的特点规律进行发散，并进行解释说明，可以帮助我们更好地认识杨辉三角，更好地运用组合数知识，更好地探索新的解题方法，更好地探秘数学世界。

作者简介：杨海跃，山东省莱芜市，莱芜一中。endprint