极高Ra湍流热对流模拟及其流动特征

罗嘉辉+包芸

摘要：提出二维湍流热对流DNS模拟的并行直接求解方法（Parallel Direct Method of DNS，PDM-DNs），在“天河二号”超级计算机上实现高Ra和极高Ra湍流热对流大规模DNs计算。高分辨率的湍流热对流计算结果表明不同Ra（10³≤Ra≤10¹³）的瞬时温度场的流场特性完全不同。较低Ra流场中有明显的大尺度环流和角涡；较高Ra流场中羽流运动充满随机性；更高Ra流场出现小尺寸漩涡并不断从上下底板产生，这些涡相互影响作用，随大尺度环流一起作绕行运动。二维湍流热对流的Nu与Ra存在标度关系，标度律约为0.3。

关键词：Rayleigh-B6nard热对流；湍流；PDM-DNS；并行计算；极高Ra；羽流形态

中图分类号：0357.53 文献标志码：B

0引言

热对流广泛存在于自然界和工业生产中，研究热对流现象对天体物理、海洋环流、全球气候变化、工业冷却设计、反应堆设计等科学研究具有重要意义。Rayleigh-Benard（RB）对流系统是研究对流问题的经典物理和流体力学模型，是近年来物理学和流体力学研究领域的热门研究课题之一。热对流研究中的重要参数Ra（瑞利数），与研究对象的几何高度的3次方成正比，所以自然界中的对流现象大都具有极高的Ra。自从KRAICHNANt在1962年提出极高Ra时热对流随Ra的变化特性将进入“终极区间”的理论后，学者们一直都在寻找其存在的证据以及“终极区间”的起始临界Ra即Ra*。热对流研究中著名的GL理论预言认为，RB对流的特性将在Ra*=O（10¹⁴）时发生根本变化，流动将从湍流状态进入“终极状态”。到目前为止，RB对流实验研究的Ra几乎都在Ra*之下。发现极高Ra对流系统的“终极状态”并对其物理和流动特性进行研究，仍是该领域内的一个热点问题和巨大挑战。极高Ra的热对流特性研究对于天体物理学以及大气、海洋等自然界中的对流热输运等重大科学问题有极重要的意义。

DNS数值模拟是RB热对流的重要研究手段之一。随着Ra的提高，热对流流动进入湍流状态，所需DNS模拟的计算规模不断增大，导致计算所需要的成本巨大，最终数值计算难以实现。研究极高Ra湍流热对流的大规模DNS数值模拟技术仍然需要不断创新。湍流热对流的DNS数值模拟计算目前在Ra=O（10¹²）的水平，仍无法进行热对流“终极状态”的研究。

近年来，超级计算机硬件技术发展迅速，“天河二号”超级计算机可为DNS数值模拟技术的进步提供新的计算硬件技术支持。建立可以高效并行的湍流热对流DNS计算方法，对极高Ra湍流热对流及其物理特性的研究有很重要的意义。本文依据可以高效并行的针对泊松方程的PDD算法，提出二维RB热对流DNS的并行直接求解方法（Parallel Direct Method of DNS，PDM-DNS），在“天河二号”超级计算机上可实现大规模并行的二维高Ra湍流热对流DNS模拟计算。

1 RB热对流的控制方程及数值计算

在Boussinesq假设下，经过无量纲化后的二维RB热对流的描述方程为

式中：V为速度矢量；p为压力；θ为无量纲温度；t为时间；k为竖直方向单位矢量；Ra为瑞利数；Pr为普郎特数。计算边界条件：速度为四壁无滑移边界；温度（无量纲化）为下底板加热θ=0.5，上底板冷却θ=-0.5；侧壁为绝热边界。计算网格采用常用的交错网格，空间采用二阶精度离散格式，时间方向采用一阶精度。计算区域为矩形，见图1。计算网格数为n_x×n_z。并行计算的分区沿x方向水平分割，即图1中较粗的水平网格线。

2 PDM-DNS

PDM-DNS的求解过程采用投影法。投影法计算步骤为：（1）采用显式格式预估动量方程的速度；（2）结合连续方程推导出求解压力的泊松方程，求解泊松方程得到全场压力；（3）对预估动量方程的速度进行修正，得到同时满足连续方程和动量方程的速度场；（4）采用显式方法计算温度对流扩散方程。其中，动量方程和温度对流扩散方程中的速度和温度计算采用显示格式，并行计算容易实现。由连续方程推导出的压力泊松方程需要全流场联立求解，通常采用迭代计算，是整个DNS模拟中计算工作量最大的部分。泊松方程全场联立求解的要求造成并行计算的困难，是实现大规模高效并行计算的难点。因此，计算压力泊松方程的高效并行求解方案，是二维热对流DNS模拟可以实现大规模高效并行计算的关键技术。

泊松方程的迭代求解方法较容易实现并行计算，但进入湍流状态的热对流压力泊松方程的迭代次数非常大，反复的迭代计算需要很多计算时间，会大大增加计算工作量，而且每次迭代都需要进行数据通信，会造成整体的并行计算效率不高。

在以往小规模的二维热对流DNS模拟计算中，利用FFT变换解耦泊松方程，用追赶法求解三对角方程組的泊松方程直接解法，在单线程的计算上比用迭代求解方法效率高，但三对角方程组的追赶法无法直接进行大规模高效并行求解，使得压力泊松方程直接求解方法在规模并行计算上遇到困难。SUN等针对强对角占优的三对角方程组，提出可并行计算的PDD算法。PDD算法通过缩减方程组，在机器精度内得到与精确解等价的近似解，可大大改善需要数据通信的MPl分割并行的可扩展性和计算高效性。经过不断改进，PDD算法已经成为三对角方程组的规模并行近似求解的基本方法。PDD算法可为解决压力泊松方程直接求解的规模并行计算提供新的计算技术。

在超级计算机“天河二号”上，可进行MPI和OpenMP混编的大规模并行计算。本文对二维湍流热对流DNS模拟中的压力泊松方程采用并行直接求解的方法进行计算。针对二维湍流热对流并行计算，MPI计算区域沿x方向对z分割，即图1中较粗的水平线。相邻的MPI分割区域在并行计算中需要数据通讯，区域内部可用OpenMP并行，无须数据通讯。在直接求解泊松方程过程中，需要用离散快速傅里叶余弦变换解耦泊松方程，因此x方向必须采用等距网格。在z方向上可根据计算的需要采用非等距网格。通过PDD算法并行计算得到三对角方程的近似解，采用对应的离散快速傅里叶余弦反变换公式，得到全场的压力pⁿ⁺¹，完成泊松方程的并行直接求解。

本文利用以上高效的压力泊松方程并行直接求解方法，联合其他易并行的动量方程等计算方法，创建高效二维热对流的并行直接求解方法，并具有很好的并行效率，为大规模高效并行计算高Ra和极高Ra二维湍流热对流的DNS模拟提供全新的数值计算技术和计算方法。

3二维高Ra和极高Ra湍流热对流的流动特性endprint