金属圆柱壳谐振陀螺的静电激励方法研究

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(国防科技大学 光电科学与工程学院，长沙 410073)

0 引言

圆柱壳谐振陀螺是哥式振动陀螺的一种，它利用谐振子振动产生的驻波相对于谐振子本身的滞后效应，且滞后的角度与转速成正比的原理进行工作[1]。它的稳定性好、寿命长、可靠性高且抗辐射，极具发展潜力。圆柱壳谐振陀螺的工作振型是有4个波腹点和4个波节点的二阶振型。为了使圆柱壳谐振子产生这样的振型，必须对谐振子施加激励电场。对静止状态下的谐振子进行激励是整个陀螺工作系统中最初始的任务，激励方式的选择会影响谐振子的振动状态，进而影响后续信号采集系统的精度。本文对圆柱壳谐振子的激励方式进行了理论和实验两方面的研究，研究结果对提高陀螺输出信号的检测精度，构建完整的陀螺系统具有指导意义。

1 静电激励原理的理论分析

工作在角速率传感器模式下的陀螺是采用离散电极在固定位置对谐振子进行激励的[2-3]。对谐振子的激励和对振动的检测如图1所示。

图1 圆柱壳谐振子的激励与检测电极方位示意图Fig.1 The azimuth diagram of excitation and detectionelectrodes of the cylindrical shell resonator

图1中，选定一个参考轴及对称安装的一对激励电极，依据参考轴的位置标记这对激励电极的位置角为Φ。这样激励出来的振型波腹点恰好位于电极正中心，是一个四波腹振动模态[4]。当输入角速度为0时，振动驻波的方位是固定的，并由位置激励电极的方位Φ决定。检测谐振子振动幅度的对称安装的一对电极位于与激励电极成90°的位置。基于圆柱壳谐振陀螺的激励与检测方式，首先需要实现静态时谐振子的起振，得到四波腹振动模态。

圆柱壳谐振陀螺的驱动模态方程可以简化表示为如下的二阶微分方程[5]

(1)

静电驱动力与输出位移之间的传递函数可以表示为

(2)

分析该传递函数的幅频特性和相频特性可知，在谐振频率点，静电驱动力的相位比振动位移的相位超前90°，意味着当所施加的静电驱动力为Fx=Fcosωxt时，得到的振动位移为

x=Acos(ωxt-90°)=Asinωxt

(3)

本文的圆柱壳谐振陀螺采用电容式驱动方式。圆柱壳谐振子与底面电极之间的结构如图2与图3所示。

图2 谐振子结构图Fig.2 The structure of resonator

图3 底面电极结构图Fig.3 The structure of bottom electrodes

谐振子和底面基座由螺钉连接，之间留有一定间隙。谐振子由谐振环和导振环两部分组成，材质是金属铜；底面电极镀有一层薄铜膜。因此在谐振子底面与电极之间构成了若干个微小的电容，这些电容可近似看做平面电容器[6]。

图3中标注数字1～8的方框代表着用于对谐振子进行激励和检测的8个离散电极，对这些电极进行合理地分配和使用可以使谐振子维持稳定的四波腹振动[7-8]。将这样的底面电极与谐振子组装在一起，构成的微小电容经测量为10pF量级。由谐振子振动带来的电容变化量很小，由此要求陀螺的信号处理电路中电容检测部分有较高的灵敏度[9-10]。若能选择合适的激励方式，令谐振子产生较大的振动幅度从而产生较大的电容变化量，将有利于后续电容检测实现高精度。

平板电容极板的运动方向总是趋于使电容器的总能量最小，因此电容极板的位移与电容存储的能量之间满足如下关系

(4)

式中，E为电容存储的总能量，x为电容极板的位移。假设电容器的极板面积为S，则平板电容器的大小可以表示为

(5)

式中，ε为介电常数，x0为初始极板间隙，x为振动位移，当电容上的偏置电压为V时，其存储的能量为

(6)

代入式(4)中，可得静电力的表达式

(7)

激励电压一般采用直流和交流叠加的模式，如下

Vexc(t)=VD+VAsin(ωexct)

(8)

式中，VD和VA分别为驱动电压中的直流成分和交流幅值，ωexc为激励电压频率。将式(8)代入式(7)中，可得

(9)

若使ωexc=ωx，即激励频率等于谐振子的谐振频率，产生的静电力为

(10)

(11)

由式(10)和式(11)可以看出，对谐振子施加不同频率、不同幅值、不同直流分量的激励电压会产生大小不同的驱动力。下面将对谐振子进行激励实验，验证这部分的理论内容。

2 实验结果

根据现有的谐振子组装结构，选取位置正对的一对电极作为激励电极，由信号源产生小信号，经电压放大电路将电压放大，为谐振子提供激励电压。用多普勒激光测振仪测量谐振子的振动参数。

(1)单频激励，ωexc=ωx：

1)当施加的直流偏置量与交流电压的振幅相等(即VD=VA)时，施加在谐振子激励电极上的信号是全为正值的交流信号，此时静电驱动力可表示为

(12)

以10V为步长，令VD=VA=40～180V,测得谐振子的振动幅度随激励电压的变化曲线如图4所示。

图4 ωexc=ωx，VD=VA时振幅随交流电压幅值的变化Fig.4 The amplitude varies with AC voltageamplitude whenωexc=ωx,VD=VA

从图4中可以看出，谐振子的振动幅度随施加电压的增大而增大，且变化规律大致为二次曲线，这与静电驱动力随电压变化的趋势相同。当VA=180V时，振幅为8.86nm。

用激光测振仪记录的谐振子的振动模态图如图5所示。从图5中可以看出，在谐振环的边沿有4个基本对称的弧形，代表着谐振环边沿各点的振动幅度。颜色偏红的点具有较大的振动幅度，颜色偏绿的点具有较小的振动幅度。这便是谐振子振动模态图像[11]。波腹点与波节点的位置已在图中标出。

图5 静止状态下谐振子的振动模态图像Fig.5 The vibration mode image of resonator in static state

1)当VD=VA时，静电驱动力的表达式为

(13)

以10V为步长，令VD=VA=80～180V，测得谐振子的振动幅度随激励电压的变化趋势如图6所示。

图VD=VA时振幅随交流电压幅值的变化Fig.6 The amplitude varies with AC voltageVD=VA

从图6中可以看出，在这种激励方式下，谐振子的振幅随交流电压幅值的增大而增大，变化规律也大致符合二次曲线的规律，振动幅度同样较小，在0.2575～1.675nm的范围内。当VA=180V时，振幅为1.675nm。

2)当VD=0时，静电驱动力的表达式为

(14)

以10V为步长，令VD=VA=50～140V,测得谐振子的振动幅度随激励电压的变化趋势如图7所示。

图VD=0时振幅随交流电压幅值的变化Fig.7 The amplitude varies with AC voltageamplitude whenωexc=,VD=0

从图7中可以看出，谐振子的振幅随交流电压幅值的变化规律依然大致符合二次曲线的规律，只是相较于同种激励电压下的单频激励方式，振动幅度较小，在0.1194～0.92nm的范围内。当VA=140V时，振幅为0.92nm。

由于实验中所有电压都需要经过电压放大电路进行放大，受制于所选元件的最大耐压值，实验中VD=VA这种激励方式下所加交流电压幅值最高为180V，VD=0这种激励方式下所加交流电压幅值最高只有140V。为了比较不同激励方式所产生的振幅大小，选取140V这一电压点的振幅值进行比较，汇总如表1所示。

表1 不同激励方式下的振幅测量结果

从表1中可以看出，令激励频率等于谐振频率，并且令所加直流偏置量与交流信号振幅相等，可以得到远大于其他激励方式的振动幅度。理论上，这种激励方式下的静电驱动力最大，所带来的振动幅度也最大。实验结果与理论相符。

3 结束语

本文的圆柱壳谐振陀螺采用电容式驱动、电容式检测的方法。根据本文结论，采用能够使谐振子振动幅度较大的驱动方式可以带来较大的电容变化量，进而电容变化量占初始电容比例变大，信噪比得到提高，检测信号的难度下降。本文的实验结果对希望获得较大振幅的静电激励方式选择有一定的指导意义。

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