例说三角函数周期问题的处理

蒲伯乐+丁自强

摘要：三角函数周期问题的处理是中学数学教学中颇感棘手的问题，其关节点就在于周期函数的定义域既无上界又无下界，为此，我们常在长度为所涉及周期的最小公倍且有利于问题处理的一个区间内求得问题的解答，再加上该区间长度的整数倍，扩展到整个定义域上。这种由局部窥视整体的解题方法便于利用函数图像，这个区间本文称作基本区间，它的选择具有灵活性，兹举例说明如下所示。

关键词：例说；三角函数周期问题；处理

例1求y=（sinx）-14的单调区间。

解：∵x必须满足sinx>0，此时，y=（sinx）-14是关于sinx的减函数.在区间（0，2π）内，sinx>0的解集为（0，π），当0

说明本例中长度为2π的任一区间都可作为基本区间，但（0，2π）靠近原点是sinx>0的解区间，因此，我们选（0，2π）为基本区间.

例2解不等式组cosx>-12tanx≤33

解在同一直角坐标系中画出两函数在区间-π2，3π2内的图像，显见在此区间内不等式组的解集为-π2，π6∪π2，2π3，∴不等式组的解集为2kπ-π2，2kπ+π6∪2kπ+π2，2kπ+2π3，（k∈Ζ）.

说明因为两个周期2π、π的最小公倍是2π，选-π2，3π2为基本区间，则正切曲线恰有两支完整的分支。

例3求y=lg（2cosx+2）+1-2sin2x3的定义域.

解要使函数有意义，必须且只需

2cosx+2>01-2sin2x3≥0亦即

cosx>-22（1）sin2π3≤12（2）

（1）、（2）的解集分别为：2kπ-3π4

3kπ+5x4≤x≤3kπ+13π4，（k∈Ζ）

cosx，sin2x3的周期分别为2π和3π，它们最小公倍数为6π。

先在区间[-π，5π>2]内求其交集为：-3π4，π4∪5π4，11π4∪17π4，19π4，∴所求的定义域为：6kπ+17π4，6kπ+19π4∪6kπ+5π4，6kπ+11π4∪6kπ-3π4，6kπ+π4（k∈Ζ）。

说明若按例2的方法求解，则需求出在同一坐标系中基本区间内两图象的交点横坐标，故分别求出两不等式的解集，再求公共解，因为两个周期2π、3π的最小公倍数是6π，同时考虑k=0时计算方便，在求公共解时，选[-π，5π]为基本区间.

例4解方程sin3x=cos3x

解 因为sin3x与cos3x不可能同时为0，原方程即

tan3x=1，在区间-π6，π6内，解为x=π12，∴原方程的解集為：xx=k·π3+π12，k∈Ζ.

说明这里的基本区间-π6，π6是根据周期π3及正切曲线的对称性选取的。

例5（1986年全国高中数学联赛单项选择题）

设-1

A. x2nx+Q

B. x2nπ-Q

C. x（2n-1）π+Q

D. x（2n-1）π-Q

解 当n=0时，各分支分别为：

A. Q

B. -Q

C. -π+Q

D. -π-Q

∵sinx

∴x只能在第三、四象限内，由Q的范围知：

A、C都包括x=0，B包括x=π2均应否定，从而选（D）。

说明：将基本区间内的解集加上这个区间长度的整数倍就得到整个定义域上的解集表达式，反之，在解集表达式中令整数n=0，即得基本区间内的解集，显然其中的任意一个值都是不等式的一个解。本例就是退到基本区间进行验证的。

由此可见，利用基本区间、可将整个定义域上的问题归结在一个区间内得到解决，同时又便于利用函数图象和集合运算，易于同学们掌握。

作者简介：丁自强，蒲伯乐，四川省广安市育才学校。