讲题十道 不如“三思”一题

摘 要：每年四月份高三复习进入白热化阶段，最普遍的现象就是老师无限量地找题、解题、讲题，学生不知疲倦地听题、 读题、 解题，但这种依靠 “题海战术”的复习方式方法已很难适应现阶段高考 “能力立意”的要求.高考数学复习进入二轮，各校数学教师都有自己特有的复习方式，笔者认为无主题地讲一堆题，不如重点 “三思”一题，即思“源”、思“延”、思“原”。

关键词：数学；专题；策略

一、 思“源”

我们都清楚高考试题的特征：题在书外、理在书中、源于课本、高于课本，将课本题目改编编制是高考对试题改编的一种重要途径。对教材出现的例题或习题进行适当的改造、重组形成考题是高考试题的一个特点。对课本题源的适度改造，解决它们不需要特殊的技巧，这既体现了高考的公平、公正，也对中学数学的备课、教学、辅导、批改、讲评等提供了良好的导向作用，从而让一线的教师和学生从题海中解脱出来，真正做到求真务实、抓纲务本。

教材是高考试题的主要来源，重视教材的基础性和示范性，是高考命题的方向。纵观目前高三数学复习的状况，基本采用 “三轮复习法” ，第一轮基础知识和基本技能复习，第二轮是专题复习，第三轮是综合模拟练习。以上三轮复习基本上没有用到教材，有的教师认为教材简单没有什么好讲，学生也觉得没什么题好做，事实上，很多教师和学生并不是不重视教材，而是不知道如何使用教材。因此在二轮复习练习题教学中，我们应重视例题的“本源性”。解题后，回顾解题过程中用到哪些基础知识 ，尽量选取来源于课本并能发散的改编题，思考它们之间有什么联系，形成知识链，避免以后解决此类问题的盲目性。

案例1 已知定点A（-1，0），F（2，0），定直线l：x=12，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍。设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N。

（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由。

这是一道周练试题，围绕与双曲线有关的斜率之积，我让学生自己去课本上查找与之有关的练习题，首先大家找到的是与双曲线有关的选修2-1第55页探究：

如图，设点A，B的坐标分别为（-5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是49，求点M的轨迹方程并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状，与第41页2.2例3比较，你有什么发现？

另外通过学生发现关于斜率之商（和、差）为定值的轨迹问题还有第41页练习第4题的“斜率的商”、第74页B组第3题的“斜率的差”、第81页B组第5题的“斜率的和”。

我们知道，高考试题虽不直接取材于课本，但考查的知识却大多来自课本或间接涉及课本习题或改编自课本练习题或这些问题的结论或推广，因此以课本练习题为素材，重拾被遗忘忽视的课本，重视教材“母题”的引领作用，发挥教材母题做一当十的功效，对于学生和教师而言都是非常有必要的。

二、 思“延”

“延”即延伸与拓展，对知识的延展不仅要有横向的深入，更需要有纵向的联系组合、类比、沟通知识联系，实现知识由“厚”到“薄”、由“散乱”到“有序”的转化，从而实现“一个”问题到“一类”问题的转变。

如对案例1问题进一步深挖，就可使结论形成知识链：

延伸1（一般化） 椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）中，A，B为长轴端点，M为椭圆上的动点（异于A，B两点），则直线AM，BM的斜率之积为一个定值-b2a2。

延伸2（拓展） 若A，B在椭圆上且关于原点对称，则上述结论仍成立。

延伸3（类比） 椭圆的这些结论同样又可以类比回双曲线。

案例2 如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆x24+y22=1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k，对任意k>0，求证：PA⊥PB。

对于选择题和填空题，我们所得到的“结论和方法”可以直接使用，对于解答题，不宜直接使用，而应把定理推导重写一遍，即使这样也比常规方法简单的多。教学实践证明，对教材中一些典型例题和习题的结论进行推广，既可以培养学生的探究能力，又可以避免学生多走弯路。

适当的变式、拓展、延伸是挖掘例题、习题价值功能常见而又有效的手段，可以根据题目的差异采用不同的变式探究形式。即对例题、习题进行整理归类，观察共性和个性，发现归纳它们之间共同的本质属性或解题规律，这是提高学生解题能力的重要途径之一。

三、 思“原”

实践证明，反思错误原因，是学生深化知识理解的有效途径。学生在解题中往往会出现各种各样的错误，这些错误或是由知识上的缺陷而导致的，或是由能力上的不足而导致的，或是由非智力因素的影响而导致。非智力因素的影响主要表现在解题的过程不完整、 格式不规范、 条理不清晰等。因此，在数学教学中，对学生的疑惑或错误，教师要充分利用，并以适当的方式把它们 “揭露” 出来，以使它们成为学生进一步思考加工、 提炼完善的对象，使学生的思维向严谨靠拢、 向纵深发展。

建构主义学习观认为，学生的错误不可能依靠正面的示范和反复的练习得以纠正，其涉及的对象不仅指具体的认知活动，而且包括整体性的认知结构图和认知策略。这是思维活动的更高层次，利用学生错误资源，引发“观念冲突”，能促使学生对已完成的思維过程进行周密且有批判性的再思考。

值得注意的是，实际教学中，多数的学生忙于马不停蹄地做题，根本顾不上反思解题。因此，复习时，教师一定要留出时间让学生反思解题完成。古人云：“工欲善其事，必先利其器。”“反思解题”就是磨砺解题武器的过程，它能起到举一反三的作用，“三思”一题胜过讲解十道！

参考文献：

[1]赖国强.例析“支撑点”处的探究性问题设计 [J].中国数学教育，2011（3）第14页到15页

[2]潘学军.高考数学二轮复习的“三心”策略[J].中国数学教育，2013（4）第36页到第39页

[3]赖国强.数学教学中“错误资源”的有效教学策略[J].中国数学教育，2009（12）第11页到第12页

作者简介：赖国强，福建省宁化第一中学。endprint