泰勒公式及其在工程实践中的应用

摘 要：在高等数学中，泰勒公式是一个非常重要的内容。除了作为理论工具以外，泰勒公式可以将复杂的函数近似地表达为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能也使它成为了研究众多数学问题的桥梁纽带，在实际的工程实践中进行数值计算，以服务并指导生产实践。本文以泰勒公式在微生物生长曲线规律中的应用和泰勒公式在农田排水沟管间距计算中的应用为例，作研究分析。

关键词：泰勒公式；逼近；近似；MATLAB

一、 综述

目前国内外对泰勒公式的理论基础研究已经非常成熟。除了作为理论工具以外，泰勒公式可以将复杂的函数近似地表达为简单的多项式函数，泰勒公式的引入可以大大降低问题的复杂程度，在实际的工程实践中进行数值计算，以服务并指导生产实践。

二、 泰勒公式在废水中微生物生长规律的研究中的应用

微生物在废水生物处理系统中起主导作用，微生物的生长曲线能够很好地描述废水中所含的微生物数量以及各自在不同的生长阶段的生长情况。利用计算机模拟微生物生长曲线，将有利于对不同环境下微生物的生长规律进行预测，为废水微生物处理工艺的改进提供参考。

（一） 微生物生长曲线方程

微生物的净增殖需要考虑到细胞合成与细胞内部代谢同步进行，即微生物的净增殖应该由细胞的增殖和细胞的消亡合并而成。得到微生物的净增殖速率为：

在应用中，通常通过对式（6）和（9）的联合迭代即可得到模拟微生物生长的基本情况。

（三） 数值实验

选择条件是在厌氧间隙曝气条件下微生物的增长系数Y=0.200，微生物衰减系数Kd=0.055d-1，饱和常数Ks=38.3 mg/L，微生物最大相对增长速度K=3.12d-1。采用某地生活污水提取的大肠杆菌作为微生物菌种进行模拟实验，若微生物的初始浓度为30 mg/L，有机物的初始浓度为350 mg/L。将这些数据代入式（6）和式（9），并且分别取值t=0，5，10，…，50，得到对应的X值，近似为表1所示：

利用三次样条插值的方法在MATLAB上可以得到插值函数的图像，即可以反映微生物浓度随时间变化的直观变化趋势。利用得到的数组进行三次样条插值，得到微生物浓度X随时间t变化的近似图像，如图1所示：

从得到的微生物浓度随时间变化的图像，在给定某时间段或具体的时刻下，就可以从图像上直接观测到具体微生物浓度。

（四） 微生物生长规律的预测及结论

根据得到的微生物生长曲线图像，可以预测微生物在某个时间段内或在具体的时刻下微生物的生长浓度。另外根据微生物的变化曲线判断生长变化率的增减性，进而得出环境对微生物生长的影响程度，以至通过控制环境的变化来影响微生物生长，为实际的生产实践和环境治理工作提供一定的参考。

三、 泰勒公式在农田排水沟（管）间距的计算中的应用

（一） 研究背景及潜水蒸发计算公式

根据水量平衡原理，建立考虑蒸发影响的地下水位下降的表达式，通过对设定的潜水下降速度函数V，采用泰勒公式展开，可以取展开式的前几项作为计算公式。

（二） 蒸发影响下的农田排水沟（管）计算方法

（三） 数值实验

对特定案例代入得出具体的计算结果，而在文献中有实际数值，通过相互比较验证公式的精确性。案例为：某排水地段，采用埋深hq=2.5 m，直径d=0.1 m的暗管排水，其设备处在轻壤土区域，有关参数为：E0=0.01 m/d，土壤渗透系数k=1.0 m/d，给水度δ=0.05，土壤参数a=1.4，b=10.6。计算得出两排水区暗管之间的间距，分别如下表2和表3所示。

得到的结果为L=107.6 m，而文献中数据为L=108.16 m，即在对指数型变化关系用泰勒展开作近似时，如果取展开式的前三项在实际应用中只存在0.6%的误差。

由表得知，取展开式的前四项的计算结果为L=108.19 m，而文献中的数据为L=108.16 m，误差为0.03%。另外考虑取展开式的前三项形式更简单，误差也仅仅为0.6%，因此在进行排水规划阶段计算排水沟（管）时尚能满足要求。

（四） 结论

在蒸发影响下的农田排水沟管间距的计算时，首先得到土壤参数等基础数据，通过上述的取泰勒公式的前三项得到的近似计算公式来近似得到排水沟管的间距，且误差比较小。

四、 总结与展望

在工程实践中泰勒公式有着众多应用，往往作为工具和指导实践的作用。本文主要讨论泰勒公式在微生物生长曲线规律研究中的应用和在农田排水沟管间距计算中的应用。

尽管泰勒公式在基础理论研究中非常完善，但在实际工程实践中仍有很大的研究空间。应该灵活地应用到实际工程实践中，从不同角度找出实际工程实践和泰勒公式的联系，指导解决更多工程实际问题。

参考文献：

[1] 丁庆伟，霍丽娟，杨改强，等.废水治理中微生物的生长规律研究[J].太原科技大学学报，2011，32（2）：163-165.

[2]王文焰，李智录，沈冰.对考虑蒸发影响下农田排水沟（管）间距计算的探讨[J].水利学报，1992，（7）：23-28.

[3]腾凯，曲新艳，刘继忠.对潜水影响下农田排水沟（管）间距计算方法的探讨[J].水力學报，1996，（6）：81-86.

作者简介：李志民，陕西省西安市，长安大学。endprint