关于超几何分布的探究

摘要：概率是描述随机事件发生可能性大小的度量。把随机试验的结果数量化，用随机变量表示随机试验的结果，就可以利用数学工具来研究所感兴趣的随机现象。超几何分布是离散型随机变量的分布列中具有实际意义的一种。高考中对超几何分布的要求是：理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。

关键词：概率；随机变量；超几何分布

一、 超几何分布的数学期望和方差

定义一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则

P（X=k）=CkM·Cn-kN-MCnN，k=0，1，2，…，m。

X01……m

PC0M·Cn-0N-MCnNC1M·Cn-1N-MCnN……CmM·Cn-mN-MCnN

其中，m=min{M，N}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布列，如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布，记作：X～H（n，M，N）。

从定义中可以看出，若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：①该试验是不放回地抽取n次；②随机变量X表示抽取到的次品件数（或类似事件），反之亦然。在解决超几何分布的问题时，应该先确定参数n，M，N的值；其次，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；最后，用表格的形式列出分布列，进而可以计算数学期望和方差及一些概率问题。

若随机变量X～H（n，M，N），随机变量X的数学期望和方差是否如二项分布那样，也与参数n，M，N有关呢？我们一探究竟吧。

由超几何分布的定义可知：P（X=k）=CkM·Cn-kN-MCnN，k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，N}。因此，E（X）=∑mk=0k·P（X=k）=∑mk=0k·CkM·Cn-kN-MCnN=∑mk=1M·Ck-1M-1·Cn-kN-MCnN=MCnN·∑mk=1Ck-1M-1·Cn-kN-M，因为（1+x）N-1=（1+x）M-1·（1+x）N-M，利用二项式定理比较两边xn-1的系数，（1+x）M-1=C0M-1+C1M-1·x+C2M-1·x2+…+CM-1M-1·xM-1，（1+x）N-M=C0N-M+C1N-M·x+C2N-M·x2+…+CN-MN-M·xN-M，所以，∑mk=1Ck-1M-1·Cn-kN-M=Cn-1N-1，故E（X）=M·Cn-1N-1CnN=n·MN。又因为D（X）=∑mi=0[xi-E（X）]2·pi=∑mi=0x2i·pi-E（X）2，所以，D（X）=∑mk=0k2·CM·Cn-kN-MCnN-nMN2=MCnN·∑mk=0k·Cn-kM-1·Cn-kN-M-nMN2=MCnN·∑mk=0（k-1）·Cn-kM-1·Cn-kN-M+MCnN·∑mk=0Cn-kM-1·Cn-kN-M-nMN2=M（M-1）CnN·∑mk=2Ck-2M-2·Cn-kN-M+MCnN·∑mk=1Ck-1M-1·Cn-kN-M-nMN2。

利用组合数公式∑mk=1Ck-1M-1·Cn-kN-M=Cn-1N-1得，∑mk=2Ck-2M-2·Cn-kN-M=Cn-2N-2。

從而，

D（X）=M（M-1）CnN·Cn-2N-2+MCnN·Cn-1N-1-nMN2

=MCnN·[（M-1）·Cn-2N-2+Cn-1N-1]-nMN2

=M·n·（N2-M·N-n·N+M·n）N2·（N-1）

=n·M·（N-M）·（N-n）N2·（N-1）。

即，D（X）=n·M·（N-M）·（N-n）N2·（N-1）。

二、 总结

通过公式的推导，我们发现，超几何分布的数学期望和方差推导过程比较复杂，但是从这个过程中可以体会出推理思路，有利于我们更好地理解超几何分布，应用公式解决问题。

作者简介：

鲍毅，宁夏回族自治区银川市，宁夏六盘山高级中学。endprint