电源剩余放电时间预测

赵 燕

(山西省机电职业技术学院 基础部，山西 长治 046001)

1 研究背景及问题重述

以2016年全国大学生数学建模竞赛C题为背景，主要解决三个问题：

问题一：同一批次电池出厂时以20 A到100 A不同电流强度下的放电测试数据赛题在图1中给出：

图1 赛题附件1部分数据的截图

图2 赛题附件2部分数据的截图

请用初等函数表示九种不同电流强度下的放电曲线；计算各放电曲线的平均相对误差MRE(从电池的最低电压为9 V开始，按不超过0.005 V的最大间隔提取231个电压样本点.这些电压值对应的模型已放电时间与采样已放电时间的平均相对误差定义为MRE)；新电池使用中，分别以30 A、40 A、50 A、60 A和70 A电流强度放电，测得电压都为9.8 V时，根据所获得的模型，计算电池的剩余放电时间分别是多少？

问题二：建立20 A到100 A之间任意一个恒定电流强度下，放电时的放电曲线模型，并用MRE评估模型精度.用表格和图形给出电流强度为55 A时的放电曲线.

问题三：同一电池在新电池状态和3种不同衰减状态下，以同一电流强度从充满电开始放电的记录数据给出.试预测图2中电池衰减状态3的剩余放电时间.

2 问题分析

2.1 问题一分析

根据20 A到100 A不同电流强度下的放电测试数据画出电压随时间变化的散点图，用MATLAB工具箱在散点图上拟合出各自的放电曲线模型；其次，根据MRE的定义，选20 A到100 A各电流强度下的231个采样点，并用Excel计算九种电流的平均相对误差；根据拟合的放电模型，算出9.8 V时已放电时间，再由测试数据得出总放电时间，最后相减求出9.8 V时电池的剩余放电时间估计值，可以和9.8 V时电池的剩余放电时间实际值进行比较，进一步检验模型的精确度.

2.2 问题二分析

根据问题一的放电曲线模型，找规律并建立电压关于电流、已放电时间的二元函数模型u(I,t)，由MRE的定义，选出20 A到100 A不同电流强度下的231个采样点，并用Excel计算九种电流的MRE进而确定模型精度；再将I=55 A代入二元函数u(I,t)模型中得55 A时的放电模型u(55,t)，用MATLAB画出其放电曲线；最后利用Excel列出放电时间所对应的电压值.

2.3 问题三分析

首先，新电池、衰减状态1、2的散点图及衰减状态3的已知点散点图以一定规律分布，用Excel处理放电时间的采样点，发现数据间的关系，根据关系补齐衰减状态3缺失的放电时间数据；最后，根据补齐的数据计算出衰减状态3的剩余放电时间.

3 符号说明

符号说明单位u电池已放电t分钟的电压值Vt电池已放电时间minI电流强度Aum电池的最低电压为9VV

4 模型建立与求解

4.1 问题一的模型及求解

4.1.1 不同电流强度下各放电曲线模型

利用MATLAB软件曲线拟合工具箱[1]，根据20 A～100 A的放电测试数据，以时间t为横轴，电压u为纵轴绘出画出散点图，模型为：

u(t)=aebt+cedt

(1)

模型系数a、b、c、d如表1所示：

表1 电流强度下放电模型系数

图3 电流强度为20 A的模型拟合图u(t)

图3为电流强度20 A的拟合效果图.从拟合图形看出，该模型的拟合效果比较好，模型的大部分值与样本值重合，其他电流强度的拟合图像与该图类似，不再列举.

4.1.2 计算平均相对误差(MRE)

模型u(t)=aebt+cedt在各个电流强度下的平均相对误差都没有超过1%，误差比较小,模型精度较高.

表2 各电流的平均相对误差

4.1.3 电压为9.8 V时电池的剩余放电时间估计

9.8 V时电池的剩余放电时间估计值=电池总放电时间-9.8 V时已放电时间

其中，电池总放电时间可从赛题附件1(图1)中查到，9.8 V时已放电时间可以根据u(t)的模型求出.9.8 V时的剩余放电时间如表3所示.

表3 9.8 V时的剩余放电时间

说明：9.8V 时电池的剩余放电时间实际值，可以根据赛题附件1的放电测试数据计算得到.

从表3可以看出，9.8 V时电池的剩余放电时间估计值与实际值很接近，进一步说明模型u(t)的精确度较高.

4.2 问题二的模型建立与求解

4.2.1 电压随时间和电流变化的模型建立

观察问题一的九个放电曲线模型很类似，仅仅系数不同.在MATLAB中以电流强度为横轴、系数为纵轴用多项式P1I8+P2I7+P3I6+P4I5+P5I4+P6I3+P7I2+P8I+P9进行拟合[2]，得到系数a(I)、b(I)、c(I)、d(I)(见表4).并代入模型(1)得电压随时间和电流变化的模型：

u(I,t)=a(I)eb(I)t+c(I)ed(I)t (2)

4.2.2 电压随时间和电流变化的模型MRE评估

根据问题一筛选出的231个电压样本点,算出各自的平均相对误差，再求出MRE的平均值,如表5所示.

表5 电压随时间和电流变化的模型各电流的平均相对误差

模型u(I,t)=a(I)eb(I)t+c(I)ed(I)t的平均相对误差的均值为0.43%，也非常小，说明该模型的精度较高.

4.2.3 电流强度为55A时的放电曲线图形及电压值

将I=55 A代入u(I,t)即得出电流强度为55 A时的放电时间数学模型为：

u(55,t)=a(55)eb(55)t+c(55)ed(55)t

根据55 A的数学模型在Excel中计算并列出各个时间点的电压部分截图如图4所示.

图4 55 A放电时间所对应的电压值

电流强度为55 A时的放电曲线用Matlab绘图如图5所示.

图5 电流强度为55 A时的放电曲线图u(55,t)

4.3 问题三的模型建立与求解

图6 补齐衰减状态3的剩余放电时间的缺失数据

以电压为横轴，以放电时间为纵轴画出新电池状态、衰减状态1、2及已知衰减状态3的散点图见图7，发现图像中每条曲线之间的间距有一定的规律，补齐后并画出四种状态下的放电时间见图8.

图7 新电池状态及衰减状态1、2及衰减状态3已知放电时间采样散点图

图8 补齐衰减状态3后，新电池状态及衰减状态1、2、3的放电时间散点图

根据预测数据得出衰减状态3总的放电时间为790.8 min，数据样本衰减状态3的已放电时间为596.2 min，故其剩余放电时间为194.6 min.

[1] 周凯，宋军全，邬学军.数学建模竞赛入门与提高[M].杭州：浙江大学出版社，2012：25-32.

[2] 王新华.应用数学基础[M].北京：清华大学出版社，2010：28-33.