水平井双封隔器管柱力学分析

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(西安石油大学 机械工程学院，西安 710065)

在分层注水和分层压裂等油田增产措施中，井下管柱需要连接多个封隔器以实现油气井分段分层[1]。由于封隔器坐封工艺的影响，井下封隔器坐封时会使管柱发生变形。这种变形被封隔器约束后会转化为管柱的轴向应力，严重时会影响管柱的强度。为了确保井下管柱及后面下入的井下工具在井下作业中的安全性，有必要从理论上分析和了解初始状态下，封隔器坐封前后对管柱受力和长度的影响。

20世纪60年代，Lubinski[2]首次对带有单封隔器的管柱进行了受力和变形分析，他运用胡克定律和管柱螺旋屈曲理论研究了单封隔器管柱在4种效应下的轴向变形；20世纪80年代，Hammerlindl[3-4]进一步研究了双封隔器管柱的受力及变形问题；2001年，李钦道[5-6]等人对单封隔器管柱受力与变形进行了系统性的分析讨论。之后还有许多国内外专家和学者对封隔器管柱进行了研究。但是，他们大部分只以直井中的封隔器管柱以及插管式封隔器为研究对象，研究内容比较单一[7-10]。2014年，吕占国[11]以水平井封隔器管柱及水力压缩式封隔器为研究对象，对多封隔器管柱进行了力学分析，但是，他只研究了各个封隔器坐封时对管柱受力及变形的影响，而忽略了各个封隔器之间的相互作用。本文以水平井双封隔器管柱及水力压缩式封隔器为研究对象，综合考虑各个封隔器坐封时对管柱受力及变形以及对其余已经坐封的封隔器的影响，推导了在井口压力的作用下，封隔器对管柱的轴向力、轴向应力计算公式，以及在没有封隔器约束时管柱的变形量计算公式。

1 研究对象和基本假设

本文以水平井双封隔器管柱、水力压缩式封隔器及单一尺寸管柱为研究对象，所做的基本假设有：

1) 井内充满液体。

2) 不考虑流体摩阻影响。

3) 不考虑封隔器管柱自重力影响。

4) 不考虑水平段管柱屈曲变形影响。

5) 封隔器坐封时采用逐级逐次投球加压的方式。

水平井双封隔器管柱结构如图1所示。从靠近井底的封隔器往左依次编号，分别为封隔器Ⅰ、封隔器Ⅱ。弯曲段末端到封隔器Ⅰ的管柱长度为L；封隔器Ⅰ、Ⅱ之间的管柱长度为L1，为第1段管柱；封隔器Ⅱ到弯曲段末端的管柱长度为L2，为第2段管柱。h为井口到水平段管柱的垂深。

图1 水平井双封隔器管柱示意

2 封隔器Ⅰ坐封时管柱力学分析

当封隔器Ⅰ坐封时，从井口投入1个直径较小的钢球，落入封隔器Ⅰ的球座上，然后在井口施加压力p1。由拉梅公式可知，井口压力将会引起水平段管柱径向应力和环向应力[12]：

(1)

(2)

式中：p1i为井口压力p1引起的井底管柱内压，MPa，p1i=p1+ρigh，ρi为管柱内液体密度，kg/m3；h为水平井垂深，m；po为井底管柱外压，MPa；D为管柱外径，m；d为管柱内径，m；di为管柱横截面中任一点直径，m。

在上述两个应力的作用下管柱会产生径向变形，从而会使管柱产生轴向变形。根据广义胡克定律，水平段管柱的轴向应变为[13]：

(3)

式中：E为管柱的弹性模量，MPa；μ为管柱的泊松比，一般取μ=0.3；σ1z为水平段管柱的轴向应力，MPa。

则水平段管柱的轴向变形为：

(4)

假设水平段管柱没有封隔器Ⅰ的约束，即管柱不受轴向力作用时，管柱会发生自由变形，此时管柱的轴向应力σ1z=0。

由式(4)得水平段管柱的轴向变形为：

(5)

由于水平段管柱两端受到弯曲段摩阻和封隔器Ⅰ的约束，所以水平段管柱的轴向变形将会被限制，从而使封隔器Ⅰ对管柱作用1个轴向约束力。这个约束力使管柱的变形量为0，即ΔL=0。

由式(4)得水平段管柱的轴向应力为：

(6)

相应的轴向力为：

(7)

式中：As为管柱的横截面积，m2。

3 封隔器Ⅱ坐封时管柱力学分析

当封隔器Ⅱ坐封时，从井口投入一个直径较大的钢球落入封隔器Ⅱ的球座上，然后在井口施加压力p2，同样，井口压力将会引起第2段长为L2的管柱径向应力σ2r和环向应力σ2θ。

在上述2个应力的作用下，第2段管柱会产生径向变形，从而会使管柱产生轴向变形。根据广义胡克定律，第2段管柱的轴向应变为：

(8)

式中：σ2z为第2段管柱的轴向应力，MPa。

则第2段管柱的轴向变形为：

(9)

由于第2段管柱两端受到弯曲段摩阻和封隔器Ⅱ的约束，所以管柱的轴向变形将会被限制，从而使封隔器Ⅱ对管柱作用1个轴向约束力。这个约束力使第2段管柱的变形量为0，即ΔL2=0。

由式(9)得第2段管柱的轴向应力为：

(10)

式中：p2i为井口压力p2引起的井底管柱内压，MPa，p2i=p2+ρigh。

相应的轴向力为：

(11)

现将水平段封隔器管柱简化为简支梁，如图2所示。图2中，从左到右第1个约束为弯曲段摩阻对管柱的约束，第2个约束为封隔器Ⅱ对管柱的约束，第3个约束为封隔器Ⅰ对管柱的约束。

图2 水平段封隔器管柱简化示意

假设去除封隔器Ⅰ、Ⅱ的约束，则在井口压力p2的作用下，第2段管柱会产生自由变形，此时第2段管柱的轴向应力σ2z=0。

由式(9)得第2段管柱的轴向变形为：

(12)

图3 去除封隔器2约束示意

图3中，F21为弯曲段摩阻对管柱的轴向力，F22为封隔器Ⅰ对管柱的轴向力。若以向右的轴向力为正方向，则由静力学平衡条件得：

F21-F2+F22=0

(13)

因为上述方程中有一个已知力F2，2个未知力F21和F22，但是只有1个方程，所以此简支梁结构为一次超静定结构。

根据以上分析得到变形协调方程：

(14)

物理方程：

(15)

(16)

将物理方程(15)、(16)带入变形协调方程(14)得：

F22L1-F21L2=0

(17)

联立方程(13)和(17)解之得：

(18)

(19)

从而可知，当封隔器Ⅱ的约束存在时，弯曲段摩阻对管柱产生的约束轴向力大小为F21，方向与图3中所示方向相反；封隔器Ⅰ对管柱产生的约束轴向力大小为F22，方向与图3中所示方向相反。

由以上分析可知，当封隔器Ⅱ坐封时，封隔器Ⅰ又会对管柱产生1个向左的轴向力，从而使封隔器1对水平段管柱的轴向力变为：

(20)

4 管柱强度校核

由以上分析可知，当2个封隔器都坐封之后，弯曲段末端到封隔器Ⅱ之间的管柱段所受到的轴向应力为：

(21)

封隔器Ⅰ、Ⅱ之间的管柱段所受到的轴向应力为：

(22)

应用材料力学中的第四强度理论进行校核：

(23)

其中，校核长为L1的管柱段时，式(23)中径向应力和环向应力分别由式(1)、(2)求得，轴向应力由式(22)求得；校核长为L2的管柱段时，将式(1)、(2)中的p1i用p2i替换即可求得式(23)中的径向应力和环向应力，轴向应力由式(21)求得。

5 算例分析

水平井垂深h为4 000 m，从管柱弯曲段底部到封隔器Ⅱ的长度L2为600 m，封隔器Ⅰ、Ⅱ之间的管柱长度L1为400 m，管柱外径D为88.9 mm，内径d为76 mm，泊松比μ为0.3，弹性模量E为2.1×1011Pa，许用应力为758 MPa，完井液密度为1.2×103kg/m3，井底外压为20 MPa，2个封隔器坐封时井口压力分别为10 MPa、15 MPa。

5.1 封隔器Ⅰ坐封时管柱受力及变形计算

由式(5)得当没有封隔器Ⅰ约束时水平段管柱的轴向变形为：

由式(6)得水平段管柱的轴向应力为：

由式(7)得水平段管柱所受轴向力为：

5.2 封隔器Ⅱ坐封时管柱受力及变形计算

由式(12)得当没有封隔器Ⅰ、Ⅱ约束时水平段管柱的轴向变形为：

由式(10)得第2段管柱的轴向应力为：

由式(11)得封隔器Ⅱ对管柱的轴向力为：

由式(19)得第3个约束对管柱的轴向力为：

由式(20)得，当封隔器Ⅱ坐封时，封隔器Ⅰ对水平段管柱的轴向力变为：

5.3 管柱强度校核

1) 长为L1的管柱段强度校核。

由式(1)、(2)求得管柱径向应力和环向应力分别为：

σ1r=-36.78 MPa，σ1θ=203.14 MPa

由式(22)求得管柱轴向应力为：

由式(23)求得管柱等效应力为：

σ4=218.65 MPa<758 MPa

因此第1段管柱安全。

2) 长为L2的管柱段强度校核。

由式(1)、(2)求得管柱径向应力和环向应力分别为：

σ2r=-38.99 MPa，σ2θ=232.49 MPa

由式(21)求得管柱轴向应力为：

由式(23)求得管柱等效应力为：

σ4=235.38 MPa<758 MPa

因此第2段管柱安全。

6 结论

1) 由于水力压缩式封隔器坐封条件的影响，封隔器在井下坐封时会使管柱产生径向应力和环向应力，从而使管柱产生轴向变形。

2) 由于封隔器对管柱有约束，限制了管柱的轴向变形，所以此轴向变形会转化为封隔器对管柱的轴向约束力，从而在管柱上产生轴向应力。

3) 后坐封封隔器在坐封时会使它到弯曲段之间的管柱上的轴向应力增加，而使它到先坐封封隔器之间的管柱上轴向应力降低。所以，危险截面出现在最后坐封的封隔器与弯曲段管柱之间，而靠近井底的管柱段轴向应力减小，管柱趋于安全。

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