精算中的概率问题研究

严雨萱

【摘要】赌徒破产问题作为经典的破产问题之一，在精算等领域中已经有了一定程度的研究。随着社会的进步，消费能力的提高，赌徒与赌场之间的博弈受到了愈加广泛的关注。本文从概率空间出发，将简单随机游走情形下的赌徒破产问题进一步推广，利用条件概率和全概率公式，给出非对称随机游走情形下赌徒破产问题中赌徒破产的概率表达式。

【关键词】赌徒破产问题 随机游走 概率空间 条件概率 全概率公式

【中图分类号】O21 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）48-0122-02

1.引言

随着当今社会的发展，经济水平的不断提高，风险理论得到了越来越多的重视，成为了当今世界精算等领域的热门话题。对于风险理论的研究，不光在概率上有着重要的意义，在现实的生活中也有着重要的影响。在十七世纪以后，随着概率体系的不断完善化，在讨论如何研究经济学效用值、回归分析和分散化风险的时候，人们开始用概率论的相关知识来研究赌博问题，试图对扑克、骰子和轮盘等赌博形式建立数学模型，研究胜负规律。

赌徒破产问题作为经典的破产问题和概率问题，其结局无非是赌徒完胜、双方平局或赌徒破产。如何去衡量赌徒破产的可能性，度量赌徒的平均收益，不仅关系到参与者的切身利益，更时刻提醒着人们游戏与现实生活的界限，从而可以更好地加深人们对赌博的认识，使得赌徒破产问题引起了国内外数学界、精算界的广泛关注。

2.问题重述

假设在某地有一赌场，赌场拥有初始本金M元，赌徒甲带着初始本金m元去赌博，假设赌徒甲每一局总是赢1元或者輸1元，获胜的概率为p。当赌徒输光m元（赌徒破产）或者赢了M元（赌徒完胜）时赌局结束，那么赌徒破产的概率是多少。

3.数学模型建立与推导

我们将在本节中给出上述问题的数学模型的建立及相应的赌徒破产概率公式的推导，首先我们先引入本文所需要的一些基础知识。

3.1理论知识

3.2赌徒破产概率公式推导

在上面一小节基础知识的介绍以后，我们将分成两部分对第2节赌徒破产模型中的赌徒破产概率进行推导：第一部分为简单随机游走情形下赌徒破产概率的推导；第二部分为非对称随机游走情形下赌徒破产概率的推导。

这也就是非对称随机游走情形下赌徒破产问题中赌徒破产的概率表达式。

4.总结与展望

本文运用概率论中概率空间的知识，结合首步分析法、条件概率和全概率公式，对赌徒破产问题中赌徒破产概率进行了研究。从简单随机游走情形下的赌徒破产模型出发，在得到这种简单情况下的赌徒破产概率的数学表达式后，将问题进一步扩展，变成非对称情况下的随机游走问题，并最终推导出非对称随机游走情形下的赌徒破产模型中赌徒破产概率的数学表达式，使其更具有一般性。但这两种模型考虑的问题仍旧相对简单，为了更加符合生活中的场景，我们还可以进一步考虑设置多个边界条件，或者多个赌徒同时参与等问题，将会使得问题变得更加的复杂和有趣，也使得模型更加的贴近于实际。

参考文献：

[1]何书元.本科生数学基础课教材， 概率论[M]. 北京大学出版社， 2006.

[2]赵娟.赌徒破产风险模型的进一步研究[D]. 燕山大学， 2010.