探究数学题中的“将军饮马”问题

摘要：相信大家都有听过：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”这两句话是来自诗人李颀的唐诗《古从军行》的开头前两句。其实在这首诗中，它又隐含着一个非常重要的初中数学问题，那就是轴对称的应用。

关键词：数学;“将军饮马”问题;轴对称

现很多人都把这个问题叫做“将军饮马问题”，大体意思就是：一位将军本来在山峰A处，但是他的马渴了，要将马骑到河边去喝水再回到营地B，那么要怎样走才能使得所走的路程最短？请画出，并说明理由。

分析：过点A作河岸的垂线，垂足为D，在垂线AD上截取A′D=AD，连接A′B，此时与河岸就有个交点C，那么这个点C就是将军去饮马的地方。

图1证明：如图1，如果将军在河边的另外任意点C′饮马，

所走的路程就是AC′+C′B，

因为A′C′+C′B>A′B=AC+BC，

所以在C点外任意一点饮马，所走的路程都要远些。

一、 拓展延伸

【例1】已知点P，Q是△ABC的边AB，AC上的两个定点，请同学们在BC上找一点R，使得△PQR的周长最短。

解：尺规作图，如图2：

二、 三角形中的运用

【例2】已知等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，EM+CM的最小值为。

分析：要求EM+CM的最小值，需考虑通过作辅助线转化EM，CM的值，从而找出其最小值求解。连接BE，与AD交于点M。则BE就是EM+CM的最小值。取CE中点F，连接DF。∵等边△ABC的边长为6，AE=2，

∴CE=AC-AE=6-2=4，∴CF=EF=AE=2，又∵AD是BC边上的中线，

∴DF是△BCE的中位线，∴BE=2DF，BE∥DF，又∵E为AF的中点，

∴M为AD的中点，∴ME是△ADF的中位线，∴DF=2ME，

∴BE=2DF=4ME，∴BM=BE-ME=4ME-ME=3ME，∴BE=43BM。

在直角△BDM中，BD=12BC=3，DM=12AD=332，∴BM=BD2+DM2=327，

∴BE=43×327=27。∵EM+CM=BE，∴EM+CM的最小值为27。

三、 平面直角坐标系中的运用

【例3】在平面直角坐标系中，已知有两个点坐标分别为A（2，-3），B（4，-1）。

（1）现要在x轴上找一个点P，使得与点A、点B组成的三角形周长最小，则点P的坐标为;

（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，且与A，B组成四边形ABDC，当周长最短时，a=;

（3）不同于（2），现另两个动点M，N，如果点M在x轴上，点N在y轴上运动，那么要使四边形ABMN的周长最短，则点M的坐标为;点N的坐标为。

分析：（1）此小题是找对称点的问题，只需找两个其中的一个即可，求解析式入手，注意点坐标的表示及符号问题;

（2）此题明显就是平移的结合，只需平移点A或点B，平移3个单位，画出图形，再找其中一个点的对称，就转化到第一小题了，有点难度，考察目的比较明显，学生不易解决;

（3）这是一道双动点的题目，但是可能比第二小步来的简单且易懂;如何把三边转化到同一条线段上，借助三点共线来解题是关键。找点A关于y轴的对称点A′，同理找点B′，再将A′，B′连接起来，A′B′为定长，故四边形ABMN周长最小值即可转化为线段B′M，MN，A′N三边之和的最小值问题;加于证明即可，再借助直角三角形的勾股定理或借助两点间的距离公式解题。

四、 代数应用

——利用图像解决相关代数最值问题：

【例4】已知代数式x2+4+（x-1）2+4，且满足0≤x≤1，则它的最小值为。

分析：通过前面的题型及分析知道可构造图形入手，结合线上一点到两点的距离之和最值问题即最短路线问题;刚好本题有两个根号，里面又是两个平方和，可考虑两个直角三角形，已知两边求第三边的问题，所以本题是一道综合性较强的题目，只需转化就变成简单的题目，画出图形后更为直接明了。

图3现构造图形如图3所示：

在直线AB上取线段AB=1，分别过点A、点B作AB的垂线，并截取AC=BD=2，

∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B。

那么PC+PD=x2+4+（x-1）2+4，所求x2+4+（x-1）2+4的最小值就是求PC+PD的最小值。就把代數问题转化为几何问题，而且是简单的几何问题。

现只需找点C或点D的对称点就可以了，现提供点C的对称点方法：

过点C作点C关于AB的对称点C′，连接C′D，则C′D为所求作的最小值。现过点C′作C′E⊥DB，交DB的延长线于点E。

则C′E=AB=1，DE=2+2=4，接下来就只要借助勾股定理求边即可。

作者简介：

蔡耀龙，福建省泉州市，福建省泉州市东海中学。