散斑可见度光谱法中的相干因子

张北帆+李然+杨晖

摘要： 散斑可见度光谱法是近年来兴起的研究密集颗粒流运动的新方法。针对散斑可见度光谱法测取颗粒温度的实验中，如何消除相干因子测量过程中的误差进行了研究。比较了静态散斑对比度以及散斑对比度系数的计算方法以及消除相干因子的方法，实验测量结果表明，由散斑对比度系数消除相干因子的方法能最大程度地保留测量准确度。该方法能够消除由环境不同及激光不稳定所带来的误差，使得同类实验具有更好的对比性。同时给出了计算量较大导致的时间分辨率较低这一问题的解决方法。

关键词：

散斑可见度光谱法； 相干因子； 颗粒流； 颗粒温度

中图分类号： TN 247；O 436.2

文献标志码： Adoi： 10.3969/j.issn.10055630.2017.06.007

Abstract：Based on the speckle visibility spectroscopy that is developed to study the dense particle flow in recent years，we discuss and compare the different methods to determine granular temperature through coherence parameter β，and draw a conclusion that using the method of calculating speckle visibility ratio to eliminate coherence parameter β can reduce the measurement error to the greatest extent.It makes better compared results from various experimental conditions because of elimination of the environmental error.Furthermore，we provide a solution to keep the high timeresolution，which is proved by experiments.

Keywords：

speckle visibility spectroscopy； coherence factor； particle flow； granular temperature

引言

散斑可見度光谱法（SVS）是近年来在扩散波光谱（DWS）理论基础上发展的一种用于研究时变动力学的新方法[1]，该方法有效解决了DWS法不适用于非平稳随机过程的问题。其原理是利用各态遍历系统具有时空等效的特点，用高速线阵CCD相机同时测量多个散斑，代替了DWS系统中只测量单个颗粒散斑的光电倍增管，通过空间遍历代替时间遍历的方法，实现了时变随机过程的颗粒流动力学测量。目前该方法已经被用于研究流化床中颗粒的碰撞运动[2]，沙堆表面的颗粒崩塌过程[34]，以及泡沫结构的演变过程。

颗粒的均方速度也称为颗粒温度，是一个用于表征颗粒物质间相互作用以及颗粒流运动活跃程度的重要参数。虽然SVS用于颗粒温度测量的理论已经基本完备，但到目前为止相关的研究和论述还很少，这是由于基于SVS测量颗粒温度的理论还不够系统和完善，使得大多数研究者都不能很好地理解和掌握；另一方面，由于对实际测量装置中的一些参数还缺少系统的研究，这就阻碍了该方法成为一种通用的标准颗粒温度测量方法，由此导致不同的研究结果之间可比性较差。鉴于此本文针对SVS中较为关键的相干因子β进行讨论研究，希望能建立一套研究标准，使得同类方法的研究结果具有更好的可对比性与可参照性。

不同于DWS法中用光电倍增管测量单颗粒散斑，散斑可见度光谱法测量某区域整体散斑，如图1（a）所示，当激光照射在密集的颗粒样品表面时，一部分光可以在穿透一些样品后最终从入射反方向离开，称为后向散射光（也称为背散射光），这部分后向散射光被CCD相机记录。由于光的波粒二相性，当存在一对走过相同路程的光子时，它们之间就会产生干涉，如图1（b）所示，从而形成亮暗相间的颗粒状光强分布模式，称为散斑效应。当照射区域内颗粒发生运动时，光子的光程会发生变化，从而引起散斑图像发生变化，称为散斑可见度或时变散斑，并且散斑的变化速率与颗粒的运动速率呈正相关。

颗粒运动速率的表征可以借鉴气体分子运动论的分析方法，将颗粒随机运动与气体分子的热运动相比拟，用颗粒温度描述由于碰撞造成的颗粒运动速度随机脉动，其定义为颗粒脉动速度平方的总体均值：

δv2=1m∑mi=1（vi-v—）2

（1）

式中：m为总颗粒数；vi为第i个颗粒的运动速度；v—为全部颗粒运动的平均速度[5]。

SVS通常利用CCD相机进行散斑图样采集，根据成像原理，每一个像素输出的灰度值即为该像素点表面光强在一定曝光时间内的积分，所以在相同的曝光时间下，散斑随时间变化越快，每一个像素点上的光强波动越剧烈，则CCD输出的灰度值随时间变化越平缓，该点的能见度越低。图2所示为线阵CCD相机在相同的曝光时间T时，测得不同运动速度的颗粒所产生的散斑可见度图像，其中横坐标为检测时间，纵坐标为CCD相机的像素。对于静止的散斑图像，CCD成像中每一个像素点测得的光强值不随检测时间改变，因此输出的灰度值也不变，成像图案表现为明暗相间的条纹，此时图像的对比度最高。随着散斑图像的变化，CCD相机每一个像素点上的光强也随时间发生变化，光强变化越剧烈，积分后输出的灰度值越平缓，图像对比度越低。因此，通过计量成像图案随时间变化的对比度，就可以度量颗粒的运动速率，即颗粒温度。endprint

2散斑对比度V2（T）与相干因子β

根据统计光学理论[6]，散斑图像的对比度V2（T）可以表示为光强平方的均值与光强均值的平方之比：

V2（T）=σTI2=I2I2-1

（2）

式中：T为曝光时间；σT为光强在曝光时间T内的方差；I为散射光强。

对于CCD来说，其输出的灰度值x等于曝光时间内光强的积分大小，因此有

xi，T=∫T0Ii（t′）dt′/T

（3）

式中xi，T为CCD相机第i个像素在曝光时间为T时输出的灰度值。

可得

I2=∑Ni（xi，T）2N=∑Ni∫T0∫T0Ii（t′）Ii（t″）dt′dt″/T22N

（4）

对于高斯光束有Siegert公式：

（Ii（t′）Ii（t″））=I2{1+β[g1（t′-t″）]2}

（5）

式中：β为系统的相干因子，主要与光学系统中的测量区域大小及其与探测器的测量距离有关；g1（t）为散射光场的自相关函数。将式（5）代入式（4）可得

I2=I2∫T0 ∫T0{1+β[g1（t′-t″）]2}dt′dt″/T2

（6）

再将式（6）代入式（2）得到散斑图像的对比度为

V2（T）=β∫T0∫T0[g1（t′-t″）]2dt′dt″/T2=

β∫T021-tT[g1（t）]2dtT

（7）

图1所示为颗粒物质中两路散射光经过多次散射并最终产生固定相位差的示意图。其中任一路光子的光程s为

s=∑Ni=0ri+1（t）-ri（t）=∑Ni=0kiki[ri+1（t）-ri（t）]

（8）

式中：ki为入射光经过i次散射后的波矢；ri（t）表示在t时刻颗粒的位置。

在此过程中，光子的相位改变φ（t）为

φ（t）=∑Ni=0ki（t）[ri+1（t）-ri（t）]

（9）

探测器测得的光强为

E（t）=∑pEpexp[φ（t）]

（10）

式中Ep表示光程为p的光子的电场强度。

根据散射光场的自相关函数定义

g1（t）=E（0）E（t）E2

（11）

将式（8）～（10）代入式（11）可以得到

g1（t）=∑∞j=0P（sj）exp-N6q2Δr2（t）（12）

式中：P（s）为光子传播路径的概率分布；Δr2（t）=（δvt）2为颗粒均方位移；q为散射矢量，其值可表示为

q=ki-ki+1=2k0sinθ2

（13）

式中：k0=2πn0/λ为散射矢量，λ为入射光波长，n0为介质的折射率；θ为散射角。

因此，有

q2=4k20（1-cosθ）=2k0（1-cosθ）=2k0l*l

（14）

式中：l*和l分别为光子传播和散射的平均自由程。

将式（14）代入式（12）可得

g1（t）=∫∞0P（s）exp-13k20Δr2（t）sl*ds

（15）

求解g1（t）的核心问题是求解光子传播路径的概率分布P（s），P（s）是一个与待测颗粒样本、激光入射位置以及散射光出射位置有关的函数，对于颗粒样品厚度为L的后向散射结构，根据文献[7]的计算结果，g1（t）为

g1（t）=sinh（L-z0）l*k0Δr2（t）+23k0Δr2（t）cosh（L-z0）l*k0Δr2（t）1+49k20Δr2（t）sinhLl*k0Δr2（t）+43k0Δr2（t）coshLl*k0Δr2（t）

（16）

式中：z0为从激光入射到颗粒表面到开始扩散的距离。如果样品的厚度足够大，即Ll，则式（16）可化简为

g1（t）=exp-z0l*k0Δr2（t）1+23k0Δr2（t）≈exp[-γk0Δr2（t）]

（17）

式中γ=z0l*+23是一个与颗粒大小和光学系统偏振态有关的常数。

将Δr2（t）=（δvt）2和k0=2πn/λ代入式（17），考虑到SVS系统的γ值在2左右，空气的折射率为1，得到

g1（t）≈exp（-4πδvt/λ）=exp（-Γt）

（18）

式中Γ=4πδv/λ为自相关函数g1（t）的衰减线宽。

将式（18）代入式（7）并进行积分，可以得到散斑对比度V2（T）与衰减线宽Γ的关系为

V2（T）=βexp（-2ΓT）-1+2ΓT2（ΓT）2

（19）

至此，建立了散斑对比度V2（T）与相干因子β和衰减线宽Γ的关系，其中V2（T）由成像系统直接采集，衰减线宽Γ与δv呈线性关系，因此求解颗粒温度转变为求解相干因子β的问题。

3相干因子β的计算与消除

3.1由静态散斑对比度V2（T）s计算相干因子β

根据散斑对比度的定义可知，当散斑静止时，对比度达到最大值，此时系统的相干因子β即为静态散斑对比度：

β=V2（T）s

（20）

式中：V2（T）s为颗粒系统静止时的散斑对比度。

由于β只与光学系统参数有关，与颗粒物质的运动状态无关，因此在测得系统的相干因子β后，代入动态散斑可见度对比度V2（T），可以得到散射光场衰減线宽Γ，再由δv2=Γλ4π2可以计算得到颗粒流的颗粒温度。endprint

3.2由散斑对比度系数R（mT） 消除相干因子β

通过测量静态散斑对比度V2（T）s计算相干因子β的方法在实际应用时可能存在2个问题：1） 由于外部环境和CCD相机自身的噪声影响，通过静态散斑测量系统的相干因子β存在一定的误差；2） 如果要检测的对象无法静止，则无法测得系统的相干因子β。

为了解决上述问题，可以计算2组不同曝光时间下散斑图像的对比度，然后将2组对比度相除就可以消去系统的相干因子β。

定义散斑对比度系数R（mT）为

R（mT）=V2（mT）V2（T）=exp（-2mΓT）-1+2mΓT[exp（-2ΓT）-1+2ΓT]m2，m=2，4，8，16，…

（21）

mT表征了不同的采样时刻，其中m为倍率，通过计算临近时刻散斑对比度V2（T）的比值可以消去相干因子β，即得到散斑对比度系数R（mT），再由R（mT）计算出衰减线宽Γ，最后由δv2=Γλ4π2计算出颗粒流的颗粒温度δv2。散斑对比度系数R（mT）法和散斑对比度V2（T）法相比，消除了系统的相干因子β的影响，能提高测量的准确性。但另一方面，该方法增加了系统运算量，降低了时间分辨率。

4实验对比分析

为了验证以上理论分析，针对两种计算颗粒温度的方法分别进行了实验对比，实验装置如图3所示。装置由透明水平滚筒（直径110 mm，长度200 mm）、波长为532 nm的激光器、线阵CCD相机及其他光学器件组成；滚筒内填充粒径为1.5 mm的透明玻璃珠，填充度为50%；滚筒由直流电机驱动匀速转动。随着滚筒转动抬升，颗粒呈现周期性崩塌，对比实验通过测取该过程颗粒温度从而比较两种方法的测量结果。

根据van CittertZernike定理[13]，直径为dm的散射区在距离为D的CCD相机表面形成的散斑尺寸ds为

ds=4λDπdm

（22）

应保证散斑尺寸ds大于CCD像素尺寸的2倍以上。

4.1由靜态散斑对比度V2（T）s计算相干因子β

根据式（20），可以通过测量颗粒静止时的散斑对比度V2（T）s来计算相干因子β。理论上，静态散斑对比度不因激光功率改变而改变，因此不同入射光功率下系统的相干因子β应一致。为验证该理论，测量5组不同激光功率入射下的相干因子β，每组实验测量10次，并进行对比。β的计算结果如图4所示。

由图4可见，在不同功率下以及同一功率下的多次测量结果中，相干因子β值都有较明显差异。这说明静态散斑对比度法对噪声干扰敏感：入射激光太弱时，信噪比过低；激光太强时对比度过小。

另外，改变CCD相机与滚筒的距离，并在不同距离D时分别测取颗粒温度（以方便与散斑对比度系数法进行比较）。测量距离直接影响CCD成像区域大小，对相干因子β以及颗粒温度结果均有影响。激光功率恒定300 mW时，不同测量距离D下的颗粒温度结果如图5所示。

可以看出静态散斑对比度法的测量结果受接收距离D的影响较大。随着D的增大，所测得的颗粒温度整体呈现降低趋势。这使得同种方法的测量结果无法比较，因而不是理想的结果。

4.2由散斑对比度系数R（mT）计算颗粒温度

采用散斑对比度系数法测取颗粒温度来进行对比，测量时滚筒转速以及环境与之前保持一致。实现效果如图6所示。

可见选取不同的系数m对于测量结果影响不大，均能较好地反映颗粒流运动剧烈程度，可根据实验需求的时空分辨率选择对比系数m。在此选择对比系数m=2来进行实验，对比与静态散斑对比度法同样的接收距离D下所测得的颗粒温度，实验结果如图7所示。

可以看出，在不同的接收距离D下，散斑对比度系数法的测量结果较为相近。这说明采用散斑对比度系数法能较好地避免由于背景噪声与接收距离系统参数不同而造成的误差。

总体来说，静态散斑对比度法对噪声敏感，环境变动对实验结果影响较大，而散斑对比度系数法则能消除环境影响，具有更高的准确性。随着计算机处理能力的快速提升，超大运算量的计算已不需要像以往那样花费大量时间，在处理时间可接受的前提下，采用散斑对比度系数R（mT）来消除相干因子β可在最大程度上保障测量准确性。同时图像采集过程与计算处理过程独立进行能在保障采样时空分辨率的同

时保留最大的测量准确性。实验中，颗粒温度的

时间分辨率主要受限于线阵CCD的采样速率，CCD相机的快速发展也使得实验中的时间分辨率不再是需要考虑的主要问题。

5结论

系统地探讨了散斑可见度光谱法中相干因子β的计算与消除方法，结果发现利用散斑对比度系数R（mT）来消除相干因子β能最大程度地避免由于外部环境或噪声影响而带来的误差，可以避免测量系统繁琐的停转与开启过程以及该过程所引入的误差；同时给出了散斑对比度系数

法中计算量较大导致的时间分辨率较低这一问题的解决方法。采用散斑对比度系数法计算得

出的颗粒温度由于方法统一，消除了外部环境不同造成的测量结果差距较大的问题，使得不同时段不同操作环境的实验结果具有可比性。

参考文献：

[1]BANDYOPADHYAY R，GITTINGS A S，SUH S S，et al.Specklevisibility spectroscopy：A tool to study timevarying dynamics[J].Review of Scientific Instruments，2005，76（9）：093110.

[2]DIXON P K，DURIAN D J.Speckle visibility spectroscopy and variable granular fluidization[J].Physical Review Letters，2003，90（18）：184302.endprint

[3]ABATE A R，KATSURAGI H，DURIAN D J.Avalanche statistics and timeresolved grain dynamics for a driven heap[J].Physical Review E，2007，76（6）：061301.

[4]KATSURAGI H，ABATEX A R，DURIAN D J.Jamming and growth of dynamical heterogeneities versus depth for granular heap flow[J].Soft Matter，2010，6（13）：30233029.

[5]OGAWA S，UMEMURA A，OSHIMA N.On the equations of fully fluidized granular materials[J].Zeitschrift Für Angewandte Mathematik und Physik Zamp，1980，31（4）：483493.

[6]GOODMAN J W.Statistical optics[M].New York：WileyInterscience，1985.

[7]WEITZ D A，PINE D J.Diffusing wave spectroscopy[M]∥BROWN W.Dynamic light scattering.New York：Oxford University Press，1993：652720.

[8]HUI Y，LI R，KONG P，et al.The dynamics of granular materials under the slumping regime in a rotating drum as revealed by speckle visibility spectroscopy[J].Physical Review E，2015，91（4）：042206.

[9]孫其诚，王光谦，杨宁.水平圆筒型混合机中颗粒混合的离散模拟[J].中国粉体技术，2002，8（1）：69.

[10]杨晖，郑刚，王雅静.用动态光散射现代谱估计法测量纳米颗粒[J].光学 精密工程，2010，18（9）：19962001.

[11]GITTINGS A，DURIAN D J.Statistics of bubble rearrangement dynamics in a coarsening foam[J].Physical Review E，2008，78（6）：066313.

[12]LE MERRER M，COHENADDAD S，HHLER R.Bubble rearrangement duration in foams near the jamming point[J].Physical Review Letters，2012，108（18）：188301.

[13]BORN M，WOLF E.Principles of optics：Electromagnetic theory of propagation，interference and diffraction of light[J].Physics Today，2000，53（10）：7778.

（编辑：张磊）endprint