摭谈高中数学数列问题的解题技巧

☉江苏省泰州市姜堰区娄庄中学 陈爱兰

数列是高中数学课程教学的重要内容，数列知识抽象难懂，一直是学生学习的难点，很多学生遇到数列问题不知所措，在各类测试中成为主要失分题型之一.为帮助学生切实掌握解答数列题目的方法，帮助学生树立学习数列知识的自信心，数学教师应注重传授数列问题的解题技巧，要求学生冷静分析，总结解决数列问题的规律，提高解题正确率.本文根据高中数学教学实践，采取理论与案例相结合的方式，总结、归纳出解决数列问题的技巧与方法，以期达到抛砖引玉之效.

一、巧用整体思想求解数列问题

利用等差、等比数列性质可顺利求解一些数列题目，但是部分数列问题仅仅采用数列性质死套公式，求解难度反而加大，数列性质的灵活、巧妙运用显得十分重要.众所周知，无论等差还是等比数列通项公式中涉及很多量，解答一些题目时可不用求出每个量，从整体思想的角度进行数列公式的应用，不仅能保证解题的正确性，而且能显著提高解题效率.

例1 设Sn为等差数列｛an｝的前n项之和，且满足S6＞S7＞S5，则满足SkSk+1＜0的正整数k为多少？

剖析：本题中的题设信息比较简单，部分学生束手无策、无从下手，根据等差数列前n项之和与数列通项公式的关系可得，a6=S6-S5＞0，a7=S7-S6＜0，a6+a7＞0；此时从整体 思 想 角 度 出 发 可 知S12S13＜0，即满足SkSk+1＜0的正整数k=12.

点评：本题的类型与传统题目不同，解答中需要一定的技巧，发现技巧需要能够灵活应用所学的数列知识，不能被传统解题思维限制，题中不能直接求解数列中某一项的具体值，根据整体思想进行整体代换，化难为易；作为高中数学教师，在数列教学实践中，应该注重引导学生，不能盲目地乱套公式，遇到题目不要急于动笔，进行必要的思考与分析，找到解题切入点，切不可思维定式，走入解题的误区.

二、活用奇偶分析法求解数列问题

数列问题中有一种题型涉及符号数列的递推式问题，奇数项与偶数项的通项公式不同，求解时需要区别开来；针对这种题型可以灵活运用奇偶分析法进行处理，分别讨论奇数项和偶数项的通项公式，再进行相关问题的求解.

例2 已知数列｛an｝的通项公式为an=22n+1，bn=（-1）n-1·，求数列｛bn｝的前n项和Tn.

点评：本题涉及符号问题，采用奇偶分析法是常用的一种手段.在教学实践中，部分学生对奇数项和偶数项的个数判读不准确，或者部分学生不知道进行奇偶项数进行讨论，这些都是导致解题出错的重要原因.教学实践中发现，题中多项式的裂项处理也是学生容易“卡壳”之处，教师在教学中注意引导学生掌握“奇偶分析法”的解题技巧，注重解题思想方法的总结与反思.

三、借用通项放缩法求解数列问题

数列证明题是高中数列问题中的常见题型，在各级考试中出现的频率较高，通常具有较强的综合性，能够较好地考查学生应用技巧解题的能力.部分学生遇到此类问题时，根本不知道怎么证明；或者，证明过程较为模糊，过程不规范，虽然得出最终结果，但不能得全分，究其原因在于解题思路不清晰.实践表明，放缩法是数列证明中常用的方法之一，数学教师引导学生进行模仿、思考，将学习的知识转化为能力，进行顺利解题.

例3 已知数列｛an｝的通项公式为an=，令Sn为其前n项和，求证：对于一切n∈N*都有Sn＜2.

剖析：分析数列｛an｝的通项公式及要证明的结论，直接利用通项公式进行求和证明显然是行不通的，这里可以将数列通项式进行放缩处理，即.经过放缩后发现，当n=1时分母为零，当n≥2时，分母不为零；必须进行n=1和n≥2两种情况的分类讨论；当n=1时则对于一切n∈N*都有Sn＜2.

点评：本题的难点在于如何进行有效放缩，在解题教学实践中，由于放缩尺度把握不准，导致放缩失败无法解题的情况较多.理论上，对于这种放缩前后两项差异越小越好，当然要具体问题具体分析；譬如，的放缩”等形式，在具体题目中可以选择适合的放缩方式进行；放缩节点选择也是解题成败的关键之处，数学教师可以提供学生训练与思考的案例，让学生在实践中提升解题能力和技巧.

四、妙用构造法求解数列问题

在教学实践中，对于数列问题存在一些特殊的考查形式，这种数列问题利用等差或等比数列通项公式难以直接求解；可以结合等差或等比数列性质，将题设信息进行等价变换，构造出熟悉的等差或等比数列进行求解.解决此类题目的关键在于如何构造合适的数列，这就需要我们数学教师引导学生在实践中熟练掌握构造数列的方法与技巧.

例4 Sn为数列｛an｝的前n项和，满足关系式2Sn=an+1-2n+1+1，n∈N*，其中a1，a2+5，a3为等差数列，求an.

剖析： 根据题意得a1+a3=2（a2+5），2S1=a2-22+1=2a1，2S2=a3-23+1=2（a1+a2），则a1=1，a2=5，a3=19.

根据2Sn=an+1-2n+1+1可知，当n≥2时，2Sn-1=an-2n+1，将两式相减可得2an=an+1-an-2n，即an+1=3an+2n，当n=1时，a2=3a1+22满足an+1=3an+2n，在等式an+1=3an+2n两边均除以2n+1

点评：本题题设信息看似简单，实际难度较大.首先，要分析题设信息求出a1，a2，a3的值；其次，对关系式an+1=3an+2n合理构造出等比数列（解题的关键点）；最后，根据等比数列性质进行化简变形得出结论！教学实践中，数学教师可以引导学生对构造数列的方法进行总结与思考，促进学生解题效率的提升.

总而言之，高中数列问题难度大，题型多变，很多学生不容易掌握，作为高中数学教师应结合学生实际情况及数列性质特点，采取有效的教学方法，帮助学生厘清相关题型的解题思路，掌握解题技巧与方法；引导学生做好不同数列题型的总结分析，掌握不同数列题型的命题规律，活学活用，进而突破难点.